ecuaciones de Nahm

En geometría diferencial y teoría de gauge , las ecuaciones de Nahm son un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias introducido por Werner Nahm ^{[ 1 ]} en el contexto de la transformada de Nahm , una alternativa a la construcción de monopolos mediante twistores de Ward . Las ecuaciones de Nahm son formalmente análogas a las ecuaciones algebraicas en la construcción ADHM de instantones (Nigel Hitchin las denominó una "adaptación audaz" ^{[ 2 ]} ), donde las matrices de orden finito se reemplazan por operadores diferenciales.

Nigel Hitchin y Simon Donaldson llevaron a cabo un estudio profundo de las ecuaciones de Nahm . Conceptualmente, las ecuaciones surgen en el proceso de reducción hiperkähler de dimensión infinita . También pueden considerarse como una reducción dimensional de las ecuaciones anti-autoduales de Yang-Mills . ^{[ 3 ]} Entre sus numerosas aplicaciones podemos mencionar: la construcción de monopolos de Hitchin , donde este enfoque es fundamental para establecer la no singularidad de las soluciones de monopolos ; la descripción del espacio de módulos de monopolos de Donaldson ; y la existencia de una estructura hiperkähler en órbitas coadjuntas de grupos de Lie semisimples complejos , demostrada por Kronheimer, ^{[ 4 ]} Biquard, ^{[ 5 ]} y Kovalev. ^{[ 6 ]}

Dejar${\displaystyle T_{1}(z),T_{2}(z),T_{3}(z)}$Sean tres funciones meromorfas con valores matriciales de una variable compleja.${\displaystyle z}$Las ecuaciones de Nahm son un sistema de ecuaciones diferenciales matriciales.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dT_{1}}{dz}}&=[T_{2},T_{3}]\\[3pt]{\frac {dT_{2}}{dz}}&=[T_{3},T_{1}]\\[3pt]{\frac {dT_{3}}{dz}}&=[T_{1},T_{2}],\end{aligned}}}$

junto con ciertas propiedades de analiticidad, condiciones de realidad y condiciones de contorno. Las tres ecuaciones se pueden escribir de forma concisa utilizando el símbolo de Levi-Civita , en la forma

${\displaystyle {\frac {dT_{i}}{dz}}={\frac {1}{2}}\sum _{j,k}\epsilon _{ijk}[T_{j},T_{k}]=\sum _{j,k}\epsilon _{ijk}T_{j}T_{k}.}$

En términos más generales, en lugar de simplemente considerar${\displaystyle N\times N}$Matrices, se pueden considerar las ecuaciones de Nahm con valores en un álgebra de Lie.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

Existe una equivalencia natural entre

1. los monopolos de carga${\displaystyle K}$para el grupo${\displaystyle SU(2)}$, módulo transformaciones de calibre y
2. las soluciones de las ecuaciones de Nahm que satisfacen las condiciones adicionales anteriores, módulo la conjugación simultánea de${\displaystyle T_{1},T_{2},T_{3}}$por el grupo${\displaystyle O(k,R)}$.

Las ecuaciones de Nahm se pueden escribir en la forma de Lax de la siguiente manera. Establezca

${\displaystyle {\begin{aligned}&A_{0}=T_{1}+iT_{2},\quad A_{1}=-2iT_{3},\quad A_{2}=T_{1}-iT_{2}\\[3pt]&A(\zeta )=A_{0}+\zeta A_{1}+\zeta ^{2}A_{2},\quad B(\zeta )={\frac {1}{2}}{\frac {dA}{d\zeta }}={\frac {1}{2}}A_{1}+\zeta A_{2},\end{aligned}}}$

Entonces, el sistema de ecuaciones de Nahm es equivalente a la ecuación de Lax.

${\displaystyle {\frac {dA}{dz}}=[A,B].}$

Como corolario inmediato, obtenemos que el espectro de la matriz${\displaystyle A}$no depende de${\displaystyle z}$Por lo tanto, la ecuación característica

${\displaystyle \det(\lambda I+A(\zeta ,z))=0,}$

que determina la llamada curva espectral en el espacio de twistores${\displaystyle T\mathbb {P} ^{1}}$es invariante bajo el flujo en${\displaystyle z}$. Además, el flujo de la EDO se linealiza en la variedad jacobiana de la curva espectral ^{[ 7 ].}

• ecuación de Bogomolny
• Ecuaciones de Yang-Mills-Higgs

• Nahm, W. (1981). "Todos los multimonopolos autoduales para grupos de gauge arbitrarios" . CERN, Preprint TH. 3172. 82 : 301–310 .
• Hitchin, Nigel (1983). "Sobre la construcción de monopolos". Communications in Mathematical Physics . 89 (2): 145– 190. Bibcode : 1983CMaPh..89..145H . doi : 10.1007/BF01211826 . S2CID 120823242 . 
• Donaldson, Simon (1984). "Las ecuaciones de Nahm y la clasificación de monopolos" . Communications in Mathematical Physics . 96 (3): 387– 407. Bibcode : 1984CMaPh..96..387D . doi : 10.1007/BF01214583 . S2CID 119959346 . 
• Atiyah, Michael ; Hitchin, NJ (1988). La geometría y la dinámica de los monopolos magnéticos . Conferencias MB Porter. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 0-691-08480-7.
• Kronheimer, Peter B. (1990). "Una estructura hiper-Kähleriana en órbitas coadjuntas de un grupo complejo semisimple" . Journal of the London Mathematical Society . 42 (2): 193– 208. doi : 10.1112/jlms/s2-42.2.193 .
• Kovalev, AG (1996). "Ecuaciones de Nahm y órbitas adjuntas complejas". Quart. J. Math. Oxford . 47 (185): 41– 58. doi : 10.1093/qmath/47.1.41 .
• Biquard, Olivier (1996). "Sur les équations de Nahm et la Structure de Poisson des algèbres de Lie semi-simples complexes" [ Ecuaciones de Nahm y estructura de Poisson de álgebras de Lie complejas semisimples ] . Matemáticas. Ana. 304 (2): 253– 276. doi : 10.1007/BF01446293 . S2CID 73680531 . 
• Griffiths, Phillip A. (1985). "Linealización de flujos y una interpretación cohomológica de las ecuaciones de Lax". American Journal of Mathematics . 107 (6): 1445– 1484. doi : 10.2307/2374412 .

• Proyecto Islas : una wiki sobre las ecuaciones de Nahm y temas relacionados.