Ecuaciones de Nahm

En geometría diferencial y teoría de gauge , las ecuaciones de Nahm son un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias introducidas por Werner Nahm en el contexto de la transformada de Nahm , una alternativa a la construcción twistor de monopolos de Ward . Las ecuaciones de Nahm son formalmente análogas a las ecuaciones algebraicas en la construcción ADHM de instantones , donde las matrices de orden finito se reemplazan por operadores diferenciales.

Nigel Hitchin y Simon Donaldson llevaron a cabo un estudio profundo de las ecuaciones de Nahm . Conceptualmente, las ecuaciones surgen en el proceso de reducción hiperkähler de dimensión infinita . También pueden verse como una reducción dimensional de las ecuaciones de Yang-Mills anti-auto-duales (Donaldson 1984). Entre sus muchas aplicaciones podemos mencionar: la construcción de monopolos de Hitchin , donde este enfoque es crítico para establecer la no singularidad de las soluciones monopolares ; la descripción de Donaldson del espacio de módulos de monopolos ; y la existencia de la estructura hiperkähler en órbitas coadjuntas de grupos de Lie semisimples complejos , demostrada por (Kronheimer 1990), (Biquard 1996) y (Kovalev 1996).

Sean tres funciones meromórficas matriciales de variable compleja . Las ecuaciones de Nahm son un sistema de ecuaciones diferenciales matriciales. ${\displaystyle T_{1}(z),T_{2}(z),T_{3}(z)}$${\estilo de visualización z}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dT_{1}}{dz}}&=[T_{2},T_{3}]\\[3pt]{\frac {dT_{2}}{dz}}&=[T_{3},T_{1}]\\[3pt]{\frac {dT_{3}}{dz}}&=[T_{1},T_{2}],\end{aligned}}}$

junto con ciertas propiedades de analiticidad, condiciones de realidad y condiciones de contorno. Las tres ecuaciones se pueden escribir de forma concisa utilizando el símbolo de Levi-Civita , en la forma

${\displaystyle {\frac {dT_{i}}{dz}}={\frac {1}{2}}\sum _{j,k}\epsilon _{ijk}[T_{j},T_{k}]=\sum _{j,k}\epsilon _{ijk}T_{j}T_{k}.}$

De manera más general, en lugar de considerar matrices , se pueden considerar las ecuaciones de Nahm con valores en un álgebra de Lie . ${\estilo de visualización N}$${\estilo de visualización N}$${\estilo de visualización g}$

La variable está restringida al intervalo abierto y se imponen las siguientes condiciones: ${\estilo de visualización z}$${\estilo de visualización (0,2)}$

1. ${\displaystyle T_{i}^{*}=-T_{i};}$
2. ${\displaystyle T_{i}(2-z)=T_{i}(z)^{T};\,}$
3. $Estilo de visualización T_{i}N$puede continuarse hasta una función meromórfica de en un entorno del intervalo cerrado , analítica fuera de y , y con polos simples en y ; y${\estilo de visualización z}$${\estilo de visualización [0,2]}$${\estilo de visualización 0}$${\estilo de visualización 2}$${\displaystyle z=0}$${\displaystyle z=2}$
4. En los polos, los residuos de forman una representación irreducible del grupo SU(2) .$Estilo de visualización T_{1}, T_{2}, T_{3}$

Existe una equivalencia natural entre

1. los monopolos de carga para el grupo , transformaciones de calibre módulo y${\estilo de visualización K}$${\estilo de visualización SU(2)}$
2. las soluciones de las ecuaciones de Nahm que satisfacen las condiciones adicionales anteriores, módulo la conjugación simultánea de por el grupo .$Estilo de visualización T_{1}, T_{2}, T_{3}$${\displaystyle O(k,R)}$

Las ecuaciones de Nahm se pueden escribir en la forma Lax de la siguiente manera.

${\displaystyle {\begin{aligned}&A_{0}=T_{1}+iT_{2},\quad A_{1}=-2iT_{3},\quad A_{2}=T_{1}-iT_{2}\\[3pt]&A(\zeta )=A_{0}+\zeta A_{1}+\zeta ^{2}A_{2},\quad B(\zeta )={\frac {1}{2}}{\frac {dA}{d\zeta }}={\frac {1}{2}}A_{1}+\zeta A_{2},\end{aligned}}}$

entonces el sistema de ecuaciones de Nahm es equivalente a la ecuación de Lax

${\displaystyle {\frac {dA}{dz}}=[A,B].}$

Como corolario inmediato obtenemos que el espectro de la matriz no depende de . Por lo tanto, la ecuación característica ${\displaystyle A}$${\displaystyle z}$

${\displaystyle \det(\lambda I+A(\zeta ,z))=0,}$

lo que determina la llamada curva espectral en el espacio twistor es invariante bajo el flujo en . ${\displaystyle TP^{1}}$${\displaystyle z}$

• Ecuación de Bogomolny
• Ecuaciones de Yang-Mills-Higgs

• Nahm, W. (1981). "Todos los multimonopolos autoduales para grupos de calibración arbitrarios". CERN, Preprint TH. 3172 .
• Hitchin, Nigel (1983). "Sobre la construcción de monopolos". Communications in Mathematical Physics . 89 (2): 145–190. Bibcode :1983CMaPh..89..145H. doi :10.1007/BF01211826. S2CID  120823242.
• Donaldson, Simon (1984). "Ecuaciones de Nahm y la clasificación de monopolos". Communications in Mathematical Physics . 96 (3): 387–407. Bibcode :1984CMaPh..96..387D. doi :10.1007/BF01214583. S2CID  119959346.
• Atiyah, Michael ; Hitchin, NJ (1988). La geometría y dinámica de los monopolos magnéticos . Conferencias MB Porter. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 0-691-08480-7.
• Kronheimer, Peter B. (1990). "Una estructura hiperkähleriana en órbitas coadjuntas de un grupo complejo semisimple". Journal of the London Mathematical Society . 42 (2): 193–208. doi :10.1112/jlms/s2-42.2.193.
• Kovalev, AG (1996). "Ecuaciones de Nahm y órbitas adjuntas complejas". Quart. J. Math. Oxford . 47 (185): 41–58. doi :10.1093/qmath/47.1.41.
• Biquard, Olivier (1996). "Sur les équations de Nahm et la Structure de Poisson des algèbres de Lie semi-simples complexes" [Ecuaciones de Nahm y estructura de Poisson de álgebras de Lie complejas semisimples]. Matemáticas. Ana. 304 (2): 253–276. doi :10.1007/BF01446293. S2CID  73680531.

• Proyecto Islas: una wiki sobre las ecuaciones de Nahm y temas relacionados