−1

Multiplicar un número por −1 es equivalente a cambiar el signo del número; es decir, para cualquier x tenemos (−1) ⋅ x = − x . Esto se puede demostrar utilizando la propiedad distributiva y el axioma de que 1 es el elemento neutro de la multiplicación :

x + (−1) ⋅ x = 1 ⋅ x + (−1) ⋅ x = (1 + (−1)) ⋅ x = 0 ⋅ x = 0 .

Aquí hemos utilizado el hecho de que cualquier número x multiplicado por 0 es igual a 0 , lo cual se deduce por cancelación de la ecuación.

0 ⋅ x = (0 + 0) ⋅ x = 0 ⋅ x + 0 ⋅ x .

En otras palabras,

x + (−1) ⋅ x = 0 ,

por lo tanto , (−1) ⋅ x es el inverso aditivo de x , es decir, (−1) ⋅ x = − x , como se iba a demostrar.

El cuadrado de −1 (es decir, −1 multiplicado por −1) es igual a 1. En consecuencia, el producto de dos números negativos es positivo. Para una demostración algebraica de este resultado, comencemos con la ecuación

0 = −1 ⋅ 0 = −1 ⋅ [1 + (−1)] .

La primera igualdad se deduce del resultado anterior, y la segunda se deduce de la definición de −1 como inverso aditivo de 1: es precisamente aquel número que, al sumarse a 1, da como resultado 0. Ahora bien, utilizando la ley distributiva, se puede observar que

0 = −1 ⋅ [1 + (−1)] = −1 ⋅ 1 + (−1) ⋅ (−1) = −1 + (−1) ⋅ (−1) .

La tercera igualdad se deduce del hecho de que 1 es una identidad multiplicativa. Pero ahora, al sumar 1 a ambos lados de esta última ecuación, se deduce que

(−1) ⋅ (−1) = 1 .

Los argumentos anteriores son válidos en cualquier anillo , un concepto de álgebra abstracta que generaliza los números enteros y reales . ^{[ 1 ] : p.48}

Aunque no existen raíces cuadradas reales de −1, el número complejo i satisface i² = −1 ^y , como tal, puede considerarse una raíz cuadrada de −1. ^{[ 2 ]} El único otro número complejo cuyo cuadrado es −1 es −i porque existen exactamente dos raíces cuadradas de cualquier número complejo distinto ^de cero, lo cual se deduce del teorema fundamental del álgebra . En el álgebra de los cuaterniones —donde el teorema fundamental no se aplica— que contiene los números complejos, la ecuación x² = −1 tiene infinitas soluciones . ^{[ 3 ] [ 4 ]}

La exponenciación de un número real distinto de cero puede extenderse a enteros negativos , donde elevar un número a la potencia −1 tiene el mismo efecto que tomar su inverso multiplicativo :

x ⁻¹ = 1 / x .​​

Esta definición se aplica luego a los enteros negativos, preservando la ley exponencial x ^a x ^b = x ^{( a + b )} para los números reales a y b .

Un superíndice −1 en f ⁻¹ ( x ) toma la función inversa de f ( x ) , donde ( f ( x )) ⁻¹ denota específicamente un recíproco puntual . ^{[ a ]} ​​Donde f es biyectiva especificando un codominio de salida de cada y ∈ Y de cada dominio de entrada x ∈ X , habrá

f ⁻¹ ( f ( x )) = x , y f ⁻¹ ( f ( y )) = y .

Cuando se especifica un subconjunto del codominio dentro de la función f , su inversa producirá una imagen inversa , o preimagen, de ese subconjunto bajo la función.

La exponenciación a enteros negativos puede extenderse aún más a elementos invertibles de un anillo definiendo x ⁻¹ como el inverso multiplicativo de x ; en este contexto, estos elementos se consideran unidades . ^{[ 1 ] : p.49}

En un dominio polinomial F [ x ] sobre cualquier cuerpo F , el polinomio x no tiene inverso. Si tuviera un inverso q ( x ) , entonces habría ^{[ 5 ]}

x q ( x ) = 1 ⇒ deg ( x ) + deg ( q ( x )) = deg (1)

                ⇒ 1 + grado ( q ( x )) = 0

                ⇒ grado ( q ( x )) = −1

lo cual no es posible y, por lo tanto, F [ x ] no es un cuerpo. Más específicamente, debido a que el polinomio no es constante , no es una unidad en F.