Hispanopedia Wiki
Articulo de referencia

Filtros de síntesis de red

En el procesamiento de señales , los filtros de síntesis de red son filtros diseñados mediante el método de síntesis de red . Este método ha dado lugar a varias clases important...

Hispanopedia WikiContenido en espanolLectura gratuita

En el procesamiento de señales , los filtros de síntesis de red son filtros diseñados mediante el método de síntesis de red . Este método ha dado lugar a varias clases importantes de filtros, como el filtro Butterworth , el filtro Chebyshev y el filtro elíptico . Originalmente, se concibió para el diseño de filtros analógicos lineales pasivos , pero sus resultados también pueden aplicarse a implementaciones en filtros activos y digitales . La esencia del método consiste en obtener los valores de los componentes del filtro a partir de una función racional dada que representa la función de transferencia deseada .

Descripción del método

Este método puede considerarse el problema inverso del análisis de redes . El análisis de redes parte de una red y, mediante la aplicación de diversos teoremas de circuitos eléctricos, predice su respuesta. La síntesis de redes , por otro lado, parte de una respuesta deseada y sus métodos generan una red que produce, o se aproxima a, dicha respuesta. [ 1 ]

La síntesis de redes se concibió originalmente para producir filtros del tipo que antes se describía como filtros de onda, pero que ahora se denominan simplemente filtros. Es decir, filtros cuyo propósito es permitir el paso de ondas de ciertas frecuencias y rechazar las de otras. La síntesis de redes comienza con la especificación de la función de transferencia del filtro, H(s), en función de la frecuencia compleja , s. Esta se utiliza para generar una expresión para la impedancia de entrada del filtro (la impedancia del punto de excitación) que, mediante su expansión en fracciones continuas simples o fracciones parciales, da como resultado los valores requeridos de los componentes del filtro. En una implementación digital de un filtro, H(s) puede implementarse directamente. [ 2 ]

Las ventajas del método se comprenden mejor comparándolo con la metodología de diseño de filtros utilizada anteriormente, el método de imagen . El método de imagen considera las características de una sección de filtro individual en una cadena infinita ( topología de escalera ) de secciones idénticas. Los filtros producidos por este método presentan imprecisiones debido a que la impedancia de terminación teórica, la impedancia de imagen , generalmente no es igual a la impedancia de terminación real. Con los filtros de síntesis de red, las terminaciones se incluyen en el diseño desde el principio. El método de imagen también requiere cierta experiencia por parte del diseñador. El diseñador debe decidir primero cuántas secciones y de qué tipo se deben usar, y luego, tras el cálculo, obtendrá la función de transferencia del filtro. Esto puede no ser lo que se requiere y pueden ser necesarias varias iteraciones. El método de síntesis de red, por otro lado, parte de la función requerida y genera como resultado las secciones necesarias para construir el filtro correspondiente. [ 2 ]

En general, las secciones de un filtro de síntesis de red tienen una topología idéntica (normalmente del tipo escalera más simple), pero se utilizan diferentes valores de componentes en cada sección. Por el contrario, la estructura de un filtro de imagen tiene valores idénticos en cada sección, como consecuencia del enfoque de cadena infinita, pero puede variar la topología de una sección a otra para lograr diversas características deseables. Ambos métodos utilizan filtros prototipo de paso bajo , seguidos de transformaciones de frecuencia y escalado de impedancia para llegar al filtro final deseado. [ 2 ]

Clases de filtro importantes

La clase de un filtro se refiere a la clase de polinomios a partir de los cuales se deriva matemáticamente. El orden del filtro es el número de elementos presentes en su implementación en escalera. En general, cuanto mayor sea el orden del filtro, más pronunciada será la transición de corte entre la banda de paso y la banda de rechazo. Los filtros suelen recibir el nombre del matemático o la rama matemática en la que se basan, en lugar del descubridor o inventor del filtro.

Filtro Butterworth

Los filtros Butterworth se describen como máximamente planos, lo que significa que la respuesta en el dominio de la frecuencia es la curva más suave posible de cualquier clase de filtro del orden equivalente. [ 3 ]

La clase de filtros Butterworth fue descrita por primera vez en un artículo de 1930 por el ingeniero británico Stephen Butterworth, de quien recibe su nombre. La respuesta del filtro se describe mediante polinomios de Butterworth , también debidos a Butterworth. [ 4 ]

Filtro de Chebyshev

Un filtro Chebyshev tiene una transición de corte más rápida que un Butterworth, pero a costa de presentar ondulaciones en la respuesta en frecuencia de la banda de paso. Es necesario encontrar un equilibrio entre la atenuación máxima permitida en la banda de paso y la pendiente de la respuesta de corte. A este filtro también se le denomina a veces Chebyshev de tipo I, siendo el tipo II un filtro sin ondulaciones en la banda de paso, pero con ondulaciones en la banda de rechazo. El filtro recibe su nombre de Pafnuty Chebyshev , cuyos polinomios de Chebyshev se utilizan en la derivación de la función de transferencia. [ 3 ]

Filtro Cauer

Los filtros de Cauer tienen una ondulación máxima igual en la banda de paso y en la banda de rechazo. El filtro de Cauer tiene una transición más rápida de la banda de paso a la banda de rechazo que cualquier otra clase de filtro de síntesis de red. El término filtro de Cauer se puede usar indistintamente con filtro elíptico, pero el caso general de los filtros elípticos puede tener ondulaciones desiguales en la banda de paso y en la banda de rechazo. Un filtro elíptico en el límite de ondulación cero en la banda de paso es idéntico a un filtro de Chebyshev de tipo 2. Un filtro elíptico en el límite de ondulación cero en la banda de rechazo es idéntico a un filtro de Chebyshev de tipo 1. Un filtro elíptico en el límite de ondulación cero en ambas bandas de paso es idéntico a un filtro de Butterworth. El filtro recibe su nombre de Wilhelm Cauer y la función de transferencia se basa en funciones racionales elípticas . [ 5 ] Los filtros de tipo Cauer utilizan fracciones continuas generalizadas . [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]

Filtro de Bessel

El filtro Bessel presenta un retardo de tiempo ( retardo de grupo ) prácticamente plano en toda su banda de paso. Esto le confiere una respuesta de fase lineal y permite el paso de formas de onda con una distorsión mínima. El filtro Bessel presenta una distorsión mínima en el dominio del tiempo debido a su respuesta de fase con la frecuencia, a diferencia del filtro Butterworth, que presenta una distorsión mínima en el dominio de la frecuencia debido a su respuesta de atenuación con la frecuencia. El filtro Bessel recibe su nombre de Friedrich Bessel y su función de transferencia se basa en polinomios de Bessel . [ 9 ]

Impedancia del punto de conducción

Filtro de paso bajo implementado como una topología de escalera (Cauer).

La impedancia del punto de excitación es una representación matemática de la impedancia de entrada de un filtro en el dominio de la frecuencia, utilizando diversas notaciones como la transformada de Laplace (dominio s) o la transformada de Fourier ( dominio jω ). Al tratarla como una red de un puerto , la expresión se expande mediante expansiones en fracciones continuas o parciales . La expansión resultante se transforma en una red (generalmente una red en escalera) de elementos eléctricos. Al tomar la salida del extremo de esta red, así implementada, se obtiene un filtro de red de dos puertos con la función de transferencia deseada. [ 1 ]

No todas las funciones matemáticas posibles para controlar la impedancia puntual pueden implementarse con componentes eléctricos reales. Wilhelm Cauer (siguiendo el trabajo de RM Foster [ 10 ] ) realizó gran parte de los primeros estudios sobre qué funciones matemáticas podían implementarse y en qué topologías de filtro . La omnipresente topología de escalera para el diseño de filtros lleva el nombre de Cauer. [ 11 ]

Existen varias formas canónicas de impedancia de punto de excitación que pueden utilizarse para expresar todas las impedancias realizables (excepto las más simples). Las más conocidas son: [ 12 ]

  • La primera forma de impedancia de punto de excitación de Cauer consiste en una serie de condensadores en paralelo e inductores en serie, y resulta muy útil para filtros de paso bajo .
  • La segunda forma de impedancia de punto de excitación de Cauer consiste en una serie de condensadores en serie e inductores en paralelo y es la más útil para filtros de paso alto .
  • La primera forma de impedancia de punto de excitación de Foster consiste en resonadores LC conectados en paralelo (circuitos LC en serie) y es la más útil para filtros de paso de banda .
  • La segunda forma de impedancia de punto de excitación de Foster consiste en antirresonadores LC conectados en serie (circuitos LC en paralelo) y es la más útil para filtros de rechazo de banda .

Otto Brune realizó trabajos teóricos adicionales sobre filtros realizables en términos de una función racional dada como función de transferencia en 1931 [ 13 ] y Richard Duffin con Raoul Bott en 1949. [ 14 ] El trabajo fue resumido en 2010 por John H. Hubbard . [ 15 ] Cuando una función de transferencia se especifica como una función real positiva (el conjunto de números reales positivos es invariante bajo la función de transferencia), entonces se puede diseñar una red de componentes pasivos (resistores, inductores y condensadores) con esa función de transferencia.

Parámetros de impedancia y admitancia

Los parámetros de impedancia y admitancia pueden derivarse de la impedancia del punto de entrada. Si Z(s) es la relación polinómica de una impedancia conocida del punto de entrada, se pueden definir las siguientes variables para la derivación de los parámetros de impedancia (parámetros z) y de admitancia (parámetros y). Los parámetros z e y son útiles para simular la respuesta en frecuencia sin hardware sintetizado o para calcular la matriz de acoplamiento de la red.

Dejar:

m1 = términos pares del numerador de Z(s)

n1 = términos impares del numerador de Z(s)

m2 = términos pares del denominador de Z(s)

n2 = términos impares del denominador de Z(s)

Entonces:

Caso A:Caso B:z11=metro1norte2z11=norte1metro2z22=metro2norte2z22=norte2metro2z12=metro1metro2−norte1norte2norte2z12=norte1norte2−metro1metro2metro2y11=norte2metro1y11=metro2norte1y22=norte1metro1y22=metro1norte1y12=norte1norte2−metro1metro2metro1y12=metro1metro2−norte1norte2norte1{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{array}{l}{\text{Caso A:}}&{\text{Caso B:}}&\\z_{11}={\frac {m_{1}}{n_{2}}}&z_{11}={\frac {n_{1}}{m_{2}}}\\z_{22}={\frac {m_{2}}{n_{2}}}&z_{22}={\frac {n_{2}}{m_{2}}}\\z_{12}={\frac {\sqrt {m_{1}m_{2}-n_{1}n_{2}}}{n_{2}}}&z_{12}={\frac {\sqrt {n_{1}n_{2}-m_{1}m_{2}}}{m_{2}}}\\y_{11}={\frac {n_{2}}{m_{1}}}&y_{11}={\frac {m_{2}}{n_{1}}}\\y_{22}={\frac {n_{1}}{m_{1}}}&y_{22}={\frac {m_{1}}{n_{1}}}\\y_{12}={\frac {\sqrt {n_{1}n_{2}-m_{1}m_{2}}}{m_{1}}}&y_{12}={\frac {\sqrt {m_{1}m_{2}-n_{1}n_{2}}}{n_{1}}}\\\end{array}}\\\end{aligned}}}

El proceso de raíz cuadrada de polinomios puede utilizarse para obtener z 12 e y 12 en forma polinómica completa, suponiendo que los polinomios bajo la raíz cuadrada sean polinomios al cuadrado, lo cual no está garantizado. Si y 12 o z 12 no son polinomios al cuadrado, pueden elevarse al cuadrado multiplicando tanto el numerador como el denominador por un polinomio auxiliar de Hurwitz . [ 16 ]

Filtros prototipo

Los filtros prototipo se utilizan para que el proceso de diseño de filtros sea menos laborioso. El prototipo suele diseñarse como un filtro paso bajo con impedancia nominal unitaria y frecuencia de corte unitaria , aunque son posibles otros esquemas. Los cálculos de diseño completos a partir de las funciones y polinomios matemáticos relevantes se realizan una sola vez. El filtro real requerido se obtiene mediante un proceso de escalado y transformación del prototipo. [ 17 ]

Los valores de los elementos prototipo se publican en tablas, una de las primeras se debe a Sidney Darlington . [ 18 ] Tanto la potencia informática moderna como la práctica de implementar directamente las funciones de transferencia de filtros en el dominio digital han vuelto obsoleta en gran medida esta práctica.

Se requiere un prototipo diferente para cada orden de filtro en cada clase. Para aquellas clases en las que existe ondulación de atenuación, se requiere un prototipo diferente para cada valor de ondulación. El mismo prototipo puede utilizarse para producir filtros con una forma de banda diferente a la del prototipo. Por ejemplo, los filtros de paso bajo , paso alto , paso banda y rechazo de banda pueden producirse a partir del mismo prototipo. [ 19 ]

Véase también

Notas

  1. 1 2 E. Cauer, pág. 4
  2. 1 2 3 Matthaei, págs. 83-84
  3. 1 2 Matthaei et al., págs. 85-108
  4. ↑ Butterworth, S, "Sobre la teoría de los amplificadores de filtro", Wireless Engineer , vol. 7 , 1930, pp. 536–541.
  5. ↑ Mathaei, pág. 95
  6. ↑ Fry, TC (1929). "El uso de fracciones continuas en el diseño de redes eléctricas" . Bull. Amer. Math. Soc . 35 (4): 463– 498. doi : 10.1090/s0002-9904-1929-04747-5 . MR 1561770 . 
  7. ↑ Milton. GW (1987). " Compuestos multicomponentes de redes y nuevos tipos de fracciones continuas. I" . Commun. Math. Phys . 111 (2): 281– 327. Bibcode : 1987CMaPh.111..281M . doi : 10.1007/bf01217763 . MR 0899853. S2CID 120984103. Archivado del original el 11 de junio de 2020. Recuperado el 15 de mayo de 2022 .  
  8. ↑ Milton. GW (1987). " Compuestos multicomponentes de redes y nuevos tipos de fracciones continuas. II" . Commun. Math. Phys . 111 (3): 329–372 . Bibcode : 1987CMaPh.111..329M . doi : 10.1007/bf01238903 . MR 0900499. S2CID 189830750. Archivado del original el 24 de julio de 2020. Recuperado el 15 de mayo de 2022 .  
  9. ↑ Matthaei, págs. 108-113
  10. ↑ Foster, RM, "Un teorema de reactancia", Bell System Technical Journal , vol. 3 , pp. 259-267, 1924.
  11. ↑ E. Cauer, p1
  12. ↑ Darlington, S, "Una historia de la síntesis de redes y la teoría de filtros para circuitos compuestos de resistencias, inductores y condensadores", IEEE Trans. Circuits and Systems , vol. 31 , pág. 6, 1984.
  13. ↑ Otto Brune (1931) "Síntesis de una red finita de dos terminales cuya impedancia en el punto de excitación es una función prescrita de la frecuencia", MIT Journal of Mathematics and Physics , Vol. 10, págs. 191–236
  14. ↑ Richard Duffin y Raoul Bott , "Síntesis de impedancia sin el uso de transformadores", Journal of Applied Physics 20:816
  15. ^ John H. Hubbard (2010) "La síntesis de circuitos eléctricos de Bott-Duffin", págs. 33 a 40 en Una celebración del legado matemático de Raoul Bott , editor de P. Robert Kotiuga, Actas de CRM y notas de conferencias n.° 50, Sociedad Matemática Estadounidense
  16. ↑ Kinayman, Noyan; Aksun, MI (2005). Circuitos modernos de microondas . 685 Canton Street, Norwood, MA, EE. UU.: Artech House. págs. 124–134 , 509–510 . ISBN  1-58053-725-1.{{cite book}}: CS1 mantenimiento: ubicación ( enlace )
  17. ↑ Matthaei, pág. 83
  18. ↑ Darlington, S, "Síntesis de reactancia de 4 polos que producen características de pérdida de inserción prescritas", Jour. Math. and Phys. , Vol. 18 , pp. 257-353, septiembre de 1939.
  19. ^ Véase Matthaei para ver ejemplos.

Referencias

  • Matthaei, Young, Jones, Filtros de microondas, redes de adaptación de impedancia y estructuras de acoplamiento , McGraw-Hill 1964.
  • E. Cauer, W. Mathis y R. Pauli, «Vida y obra de Wilhelm Cauer (1900–1945)», Actas del Decimocuarto Simposio Internacional de Teoría Matemática de Redes y Sistemas (MTNS2000) , Perpiñán, junio de 2000. Recuperado en línea. Archivado el 8 de junio de 2011 en Wayback Machine el 19 de septiembre de 2008.