Método Newmark-beta

El método Newmark-beta es un método de integración numérica utilizado para resolver ciertas ecuaciones diferenciales . Se utiliza ampliamente en la evaluación numérica de la respuesta dinámica de estructuras y sólidos, como en el análisis de elementos finitos para modelar sistemas dinámicos. El método lleva el nombre de Nathan M. Newmark , ^{[ 1 ]} antiguo profesor de Ingeniería Civil en la Universidad de Illinois en Urbana-Champaign , quien lo desarrolló en 1959 para su uso en dinámica estructural . La ecuación estructural semidiscretizada es un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.

${\displaystyle M{\ddot {u}}+C{\dot {u}}+f^{\textrm {int}}(u)=f^{\textrm {ext}}\,}$

aquí${\displaystyle M}$es la matriz de masas ,${\displaystyle C}$es la matriz de amortiguación ,${\displaystyle f^{\textrm {int}}}$y${\displaystyle f^{\textrm {ext}}}$son la fuerza interna por unidad de desplazamiento y las fuerzas externas, respectivamente.

Utilizando el teorema del valor medio extendido , el Newmark-${\displaystyle \beta }$El método establece que la primera derivada temporal (velocidad en la ecuación de movimiento ) se puede resolver como:

${\displaystyle {\dot {u}}_{n+1}={\dot {u}}_{n}+\Delta t~{\ddot {u}}_{\gamma }\,}$

dónde

${\displaystyle {\ddot {u}}_{\gamma }=(1-\gamma ){\ddot {u}}_{n}+\gamma {\ddot {u}}_{n+1}~~~~0\leq \gamma \leq 1}$

por lo tanto

${\displaystyle {\dot {u}}_{n+1}={\dot {u}}_{n}+(1-\gamma )\Delta t~{\ddot {u}}_{n}+\gamma \Delta t~{\ddot {u}}_{n+1}.}$

Sin embargo, debido a que la aceleración también varía con el tiempo, el teorema del valor medio extendido también debe extenderse a la segunda derivada temporal para obtener el desplazamiento correcto. Por lo tanto,

${\displaystyle u_{n+1}=u_{n}+\Delta t~{\dot {u}}_{n}+{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\Delta t^{2}~{\ddot {u}}_{\beta }}$

¿Dónde de nuevo?

${\displaystyle {\ddot {u}}_{\beta }=(1-2\beta ){\ddot {u}}_{n}+2\beta {\ddot {u}}_{n+1}~~~~0\leq 2\beta \leq 1}$

La ecuación estructural discretizada se convierte en

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\dot {u}}_{n+1}={\dot {u}}_{n}+(1-\gamma )\Delta t~{\ddot {u}}_{n}+\gamma \Delta t~{\ddot {u}}_{n+1}\\&u_{n+1}=u_{n}+\Delta t~{\dot {u}}_{n}+{\frac {\Delta t^{2}}{2}}\left((1-2\beta ){\ddot {u}}_{n}+2\beta {\ddot {u}}_{n+1}\right)\\&M{\ddot {u}}_{n+1}+C{\dot {u}}_{n+1}+f^{\textrm {int}}(u_{n+1})=f_{n+1}^{\textrm {ext}}\,\end{aligned}}}$

El esquema de diferencias centrales explícito se obtiene al establecer${\displaystyle \gamma =0.5}$y${\displaystyle \beta =0}$

La aceleración constante promedio (regla del punto medio) se obtiene al establecer${\displaystyle \gamma =0.5}$y${\displaystyle \beta =0.25}$

Se dice que un esquema de integración temporal es estable si existe un paso de tiempo de integración. ${\displaystyle \Delta t_{0}>0}$de modo que para cualquier${\displaystyle \Delta t\in (0,\Delta t_{0}]}$, una variación finita del vector de estado${\displaystyle q_{n}}$en ese momento${\displaystyle t_{n}}$induce únicamente una variación no creciente del vector de estado.${\displaystyle q_{n+1}}$calculado en un momento posterior${\displaystyle t_{n+1}}$Supongamos que el esquema de integración temporal es

${\displaystyle q_{n+1}=A(\Delta t)q_{n}+g_{n+1}(\Delta t)}$

La estabilidad lineal es equivalente a${\displaystyle \rho (A(\Delta t))\leq 1}$, aquí${\displaystyle \rho (A(\Delta t))}$es el radio espectral de la matriz de actualización${\displaystyle A(\Delta t)}$.

Para la ecuación estructural lineal

${\displaystyle M{\ddot {u}}+C{\dot {u}}+Ku=f^{\textrm {ext}}\,}$

aquí${\displaystyle K}$es la matriz de rigidez. Sea${\displaystyle q_{n}=[{\dot {u}}_{n},u_{n}]}$, la matriz de actualización es ${\displaystyle A=H_{1}^{-1}H_{0}}$, y

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1}={\begin{bmatrix}M+\gamma \Delta tC&\gamma \Delta tK\\\beta \Delta t^{2}C&M+\beta \Delta t^{2}K\end{bmatrix}}\qquad H_{0}={\begin{bmatrix}M-(1-\gamma )\Delta tC&-(1-\gamma )\Delta tK\\-({\frac {1}{2}}-\beta )\Delta t^{2}C+\Delta tM&M-({\frac {1}{2}}-\beta )\Delta t^{2}K\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

Para el caso sin amortiguación (${\displaystyle C=0}$), la matriz de actualización se puede desacoplar introduciendo los modos propios${\displaystyle u=e^{i\omega _{i}t}x_{i}}$del sistema estructural, que se resuelven mediante el problema generalizado de valores propios.

${\displaystyle \omega ^{2}Mx=Kx\,}$

Para cada modo propio, la matriz de actualización se convierte en:

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1}={\begin{bmatrix}1&\gamma \Delta t\omega _{i}^{2}\\0&1+\beta \Delta t^{2}\omega _{i}^{2}\end{bmatrix}}\qquad H_{0}={\begin{bmatrix}1&-(1-\gamma )\Delta t\omega _{i}^{2}\\\Delta t&1-({\frac {1}{2}}-\beta )\Delta t^{2}\omega _{i}^{2}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

La ecuación característica de la matriz de actualización es

${\displaystyle \lambda ^{2}-\left(2-(\gamma +{\frac {1}{2}})\eta _{i}^{2}\right)\lambda +1-(\gamma -{\frac {1}{2}})\eta _{i}^{2}=0\,\qquad \eta _{i}^{2}={\frac {\omega _{i}^{2}\Delta t^{2}}{1+\beta \omega _{i}^{2}\Delta t^{2}}}}$

En cuanto a la estabilidad, tenemos

Esquema explícito de diferencias centrales (${\displaystyle \gamma =0.5}$y${\displaystyle \beta =0}$) es estable cuando${\displaystyle \omega \Delta t\leq 2}$.

Aceleración constante promedio (Regla del punto medio )${\displaystyle \gamma =0.5}$y${\displaystyle \beta =0.25}$) es incondicionalmente estable.