Teorema del valor medio

En cálculo y análisis real , el teorema del valor medio (o teorema del valor medio de Lagrange ) es un teorema sobre funciones diferenciables que establece, en términos generales, que la tasa de cambio promedio de dicha función en un intervalo es igual a la tasa de cambio instantánea en algún punto de ese intervalo. Por ejemplo, si un automóvil recorre una cierta distancia de forma continua durante un intervalo de tiempo finito, entonces, en algún momento del trayecto, su velocidad instantánea es igual a su velocidad promedio durante todo el recorrido.

El teorema establece precisamente que si una función de valor real es continua en un intervalo cerrado $[a,b]$ , con $a<b$ y diferenciable en el interior $(a,b)$ , entonces hay al menos un punto en $(a,b)$ donde la derivada es igual a la tasa de cambio promedio de la función en todo el intervalo. Geométricamente, esto significa que en algún punto la tangente a la gráfica es paralela a la recta secante que pasa por los extremos del intervalo. Se utiliza para demostrar otras propiedades generales de las funciones derivables.

Historia

Un caso especial de este teorema para la interpolación inversa del seno fue descrito por primera vez por Parameshvara (1380–1460), de la Escuela de Astronomía y Matemáticas de Kerala en la India , en sus comentarios sobre Govindasvāmi y Bhāskara II . ^{[ 1 ]} Una forma restringida del teorema fue demostrada por Michel Rolle en 1691; el resultado fue lo que ahora se conoce como el teorema de Rolle , y fue demostrado solo para polinomios, sin las técnicas del cálculo. El teorema del valor medio en su forma moderna fue enunciado y demostrado por Augustin Louis Cauchy en 1823. ^{[ 2 ]} Desde entonces se han demostrado muchas variaciones de este teorema. ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

Declaración

{\displaystyle f} — La función $f$ alcanza la pendiente de la secante entre $a$ y $b$ como la derivada en el punto $c\in (a,b)$ .

También es posible que existan múltiples tangentes paralelas a la secante.

Dejar $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ sea una función continua en el intervalo cerrado $[a,b]$ y diferenciable en el intervalo abierto $(a,b)$ , dónde $a<b$ Entonces existe algo $c$ en $(a,b)$ de tal manera que: ^{[ 5 ]}

f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{ba}}.

El teorema del valor medio es una generalización del teorema de Rolle , que supone $f(a)=f(b)$ , de modo que el lado derecho de arriba sea cero.

El teorema del valor medio sigue siendo válido en un contexto ligeramente más general. Basta con suponer que $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ es continuo en $[a,b]$ y que por cada $x$ en $(a,b)$ el límite

\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}

existe como un número finito o igual $\infty$ o $-\infty$ . Si es finito, ese límite es igual a $f'(x)$ Un ejemplo donde se aplica esta versión del teorema viene dado por la función de raíz cúbica de valor real que mapea $x\mapsto x^{1/3}$ , cuya derivada tiende a infinito en el origen.

Prueba

La expresión ${\textstyle {\frac {f(b)-f(a)}{ba}}}$ da la pendiente de la línea que une los puntos $(a,f(a))$ y $(b,f(b))$ , que es una cuerda de la gráfica de $f$ , mientras $f'(x)$ da la pendiente de la tangente a la curva en el punto $(x,f(x))$ Así, el teorema del valor medio establece que, dada cualquier cuerda de una curva suave, podemos encontrar un punto en la curva comprendido entre los extremos de la cuerda, de modo que la tangente de la curva en ese punto sea paralela a la cuerda. La siguiente demostración ilustra esta idea.

Definir $g(x)=f(x)-rx$ , dónde $r$ es una constante. Dado que $f$ es continuo en $[a,b]$ y diferenciable en $(a,b)$ , lo mismo es cierto para $g$ Ahora queremos elegir $r$ de modo que $g$ satisface las condiciones del teorema de Rolle . A saber:

{\begin{aligned}g(a)=g(b)&\iff f(a)-ra=f(b)-rb\\&\iff r(ba)=f(b)-f(a)\\&\iff r={\frac {f(b)-f(a)}{ba}}.\end{aligned}}

Por el teorema de Rolle , dado que $g$ es diferenciable y $g(a)=g(b)$ , hay algunos $c$ en $(a,b)$ para qué $g'(c)=0$ y de ello se deduce la igualdad $g(x)=f(x)-rx$ eso,

{\begin{aligned}&g'(x)=f'(x)-r\\&g'(c)=0\\&g'(c)=f'(c)-r=0\\&\Rightarrow f'(c)=r={\frac {f(b)-f(a)}{ba}}\end{aligned}}

Trascendencia

Teorema 1: Supongamos que $f$ es una función continua de valor real definida en un intervalo arbitrario $I$ de la recta real. Si la derivada de $f$ en cada punto interior del intervalo $I$ existe y es cero, entonces $f$ es constante en $I$ .

Demostración: Supongamos que la derivada de $f$ en cada punto interior del intervalo $I$ existe y es cero. Sea $(a,b)$ sea un intervalo abierto arbitrario en $I$ Por el teorema del valor medio, existe un punto $c$ en $(a,b)$ de tal manera que

0=f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{ba}}.

Esto implica que $f(a)=f(b)$ . De este modo, $f$ es constante en el interior de $I$ y por lo tanto es constante en $I$ por continuidad. (Véase más abajo una versión multivariable de este resultado).

Observaciones:

Solo continuidad de $f$ Se necesita, no diferenciabilidad, en los extremos del intervalo. $I$ No es necesario enunciar ninguna hipótesis de continuidad si $I$ es un intervalo abierto , ya que la existencia de una derivada en un punto implica la continuidad en ese punto. (Véase la sección continuidad y diferenciabilidad del artículo derivada ).
La diferenciabilidad de $f$ puede relajarse a diferenciabilidad unilateral , una demostración se da en el artículo sobre semidiferenciabilidad .

Teorema 2: Si $f'(x)=g'(x)$ a pesar de $x$ en un intervalo $I$ del dominio de estas funciones, entonces $fg$ es constante, es decir $f=g+c$ dónde $c$ es una constante.

Prueba: Dejemos $F(x)=f(x)-g(x)$ , entonces $F'(x)=f'(x)-g'(x)=0$ en el intervalo $I$ . Por el teorema 1, $F$ es constante sobre $I$ , entonces $f=g+c$ encima $I$ , dónde $c$ es una constante.

Teorema 3: Si $F$ es un antiderivado de $f$ a intervalos $I$ , entonces el antiderivado más general de $f$ en $I$ es $F(x)+c$ dónde $c$ es una constante.

Demostración: Se deduce directamente del teorema 2 anterior.

Teorema del valor medio de Cauchy

El teorema del valor medio de Cauchy , también conocido como teorema del valor medio extendido , es una generalización del teorema del valor medio. ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]} Establece: si las funciones $f$ y $g$ ambas son continuas en el intervalo cerrado $[a,b]$ y diferenciable en el intervalo abierto $(a,b)$ , entonces existe algo $c\in (a,b)$ , de tal manera que

Significado geométrico del teorema de Cauchy

(f(b)-f(a))g'(c)=(g(b)-g(a))f'(c).

Por supuesto, si $g(a)\neq g(b)$ y $g'(c)\neq 0$ , esto es equivalente a:

{\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}.

Geométricamente, esto significa que hay alguna tangente a la gráfica de la curva ^{[ 8 ].}

{\begin{cases}[a,b]\to \mathbb {R} ^{2}\\t\mapsto (f(t),g(t))\end{cases}}

que es paralela a la línea definida por los puntos $(f(a),g(a))$ y $(f(b),g(b))$ Sin embargo, el teorema de Cauchy no afirma la existencia de tal tangente en todos los casos donde $(f(a),g(a))$ y $(f(b),g(b))$ son puntos distintos, ya que podría satisfacerse solo para algún valor $c$ con $f'(c)=g'(c)=0$ , en otras palabras, un valor para el cual la curva mencionada es estacionaria ; en tales puntos es improbable que se defina una tangente a la curva. Un ejemplo de esta situación es la curva dada por

t\mapsto \left(t^{3},1-t^{2}\right),

que en el intervalo $[-1,1]$ va desde el punto $(-1,0)$ a $(1,0)$ , sin embargo, nunca tiene una tangente horizontal; sin embargo, tiene un punto estacionario (de hecho, una cúspide ) en $t=0$ .

El teorema del valor medio de Cauchy se puede utilizar para demostrar la regla de L'Hôpital . El teorema del valor medio es el caso especial del teorema del valor medio de Cauchy cuando $g(t)=t$ .

Prueba

La demostración del teorema del valor medio de Cauchy se basa en la misma idea que la demostración del teorema del valor medio.

Definir $h(x)=(g(b)-g(a))f(x)-(f(b)-f(a))g(x)$ , entonces lo vemos fácilmente $h(a)=h(b)=f(a)g(b)-f(b)g(a)$ .

Desde $f$ y $g$ son continuos en $[a,b]$ y diferenciable en $(a,b)$ , lo mismo es cierto para $h$ . Considerándolo todo, $h$ satisface las condiciones del teorema de Rolle . En consecuencia, existe algún $c$ en $(a,b)$ para qué $h'(c)=0$ . Ahora usando la definición de $h$ tenemos:

0=h'(c)=(g(b)-g(a))f'(c)-(f(b)-f(a))g'(c)

El resultado se deduce fácilmente.

Teorema del valor medio en varias variables

El teorema del valor medio se generaliza a funciones reales de múltiples variables. El truco consiste en utilizar la parametrización para crear una función real de una variable y, a continuación, aplicar el teorema de una variable.

Dejar $G$ ser un subconjunto abierto de $\mathbb {R} ^{n}$ y dejar $f:G\to \mathbb {R}$ ser una función diferenciable. Puntos fijos $x,y\in G$ de tal manera que el segmento de línea entre $x,y$ se encuentra en $G$ y definir $g(t)=f{\big (}(1-t)x+ty{\big )}$ . Desde $g$ Si es una función diferenciable en una variable, el teorema del valor medio establece:

g(1)-g(0)=g'(c)

para algunos $c$ entre 0 y 1. Pero dado que $g(1)=f(y)$ y $g(0)=f(x)$ computación $g'(c)$ explícitamente tenemos:

f(y)-f(x)=\nabla f{\big (}(1-c)x+cy{\big )}\cdot (yx)

dónde $\nabla$ denota un gradiente y $\cdot$ un producto escalar . Este es un análogo exacto del teorema en una variable (en el caso $n=1$ Este es el teorema en una variable). Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz , la ecuación proporciona la estimación:

{\Bigl |}f(y)-f(x){\Bigr |}\leq {\Bigl |}\nabla f{\big (}(1-c)x+cy{\big )}{\Bigr |}\ {\Bigl |}y-x{\Bigr |}.

En particular, cuando $G$ es convexa y las derivadas parciales de $f$ están delimitados, $f$ es Lipschitz continua (y por lo tanto uniformemente continua ).

Como aplicación de lo anterior, demostramos que $f$ es constante si el subconjunto abierto $G$ está conectado y cada derivada parcial de $f$ es 0. Elige algún punto $x_{0}\in G$ y dejar $g(x)=f(x)-f(x_{0})$ Queremos mostrar $g(x)=0$ por cada $x\in G$ Para ello, dejemos $E=\{x\in G:g(x)=0\}$ . Entonces $E$ está cerrado en $G$ y no vacío. También está abierto: para cada $x\in E$ ,

{\Big |}g(y){\Big |}={\Big |}g(y)-g(x){\Big |}\leq (0){\Big |}y-x{\Big |}=0

por cada $y$ en balón abierto centrado en $x$ y contenido en $G$ . Desde $G$ está conectado, concluimos $E=G$ .

Los argumentos anteriores se hacen de manera independiente de las coordenadas; por lo tanto, se generalizan al caso en que $G$ es un subconjunto de un espacio de Banach.

Teorema del valor medio para funciones vectoriales

No existe un análogo exacto del teorema del valor medio para funciones vectoriales (véase más adelante). Sin embargo, existe una desigualdad que puede aplicarse a muchas de las mismas situaciones a las que se aplica el teorema del valor medio en el caso unidimensional: ^{[ 9 ]}

Teorema — Para una función vectorial continua $\mathbf {f$ diferenciable en $(a,b)$ , existe un número $c\in (a,b)$ de tal manera que

|\mathbf {f} (b)-\mathbf {f} (a)|\leq (b-a)\left|\mathbf {f} '(c)\right|

.

Prueba

Llevar $\varphi (t)=({\textbf {f}}(b)-{\textbf {f}}(a))\cdot {\textbf {f}}(t)$ . Entonces $\varphi$ es de valor real y, por lo tanto, según el teorema del valor medio,

\varphi (b)-\varphi (a)=\varphi '(c)(b-a)

para algunos $c\in (a,b)$ . Ahora, $\varphi (b)-\varphi (a)=|{\textbf {f}}(b)-{\textbf {f}}(a)|^{2}$ y $\varphi '(c)=({\textbf {f}}(b)-{\textbf {f}}(a))\cdot {\textbf {f}}'(c).$ Por lo tanto, utilizando la desigualdad de Cauchy-Schwarz , a partir de la ecuación anterior, obtenemos:

|{\textbf {f}}(b)-{\textbf {f}}(a)|^{2}\leq |{\textbf {f}}(b)-{\textbf {f}}(a)||{\textbf {f}}'(c)|(b-a).

Si ${\textbf {f}}(b)={\textbf {f}}(a)$ , el teorema se cumple trivialmente. De lo contrario, dividiendo ambos lados por $|{\textbf {f}}(b)-{\textbf {f}}(a)|$ produce el teorema.

Desigualdad del valor medio

Jean Dieudonné, en su clásico tratado Fundamentos del análisis moderno, descarta el teorema del valor medio y lo reemplaza por la desigualdad de la media, ya que la demostración no es constructiva y no permite hallar el valor medio; en las aplicaciones, solo se necesita la desigualdad de la media. Serge Lang, en Análisis I, utiliza el teorema del valor medio, en forma integral, como un reflejo instantáneo, pero este uso requiere la continuidad de la derivada. Si se utiliza la integral de Henstock-Kurzweil, se puede obtener el teorema del valor medio en forma integral sin la suposición adicional de que la derivada debe ser continua, ya que toda derivada es integrable en el sentido de Henstock-Kurzweil.

La razón por la que no existe un análogo de la igualdad del valor medio es la siguiente: Si $f : U \to R m$ es una función diferenciable (donde $U \subset R n$ es abierto) y si $x + th$ , $x, h \in R n, t \in [0, 1]$ es el segmento de recta en cuestión (que se encuentra dentro de $U$ ), entonces se puede aplicar el procedimiento de parametrización anterior a cada una de las funciones componentes $f i (i = 1, \dots, m)$ de f (en la notación anterior, el conjunto $y = x + h$ ). Al hacerlo, se encuentran puntos $x + t i h$ en el segmento de recta que satisfacen

f_{i}(x+h)-f_{i}(x)=\nabla f_{i}(x+t_{i}h)\cdot h.

Pero generalmente no habrá un solo punto $x + t * h$ en el segmento de línea que satisfaga

f_{i}(x+h)-f_{i}(x)=\nabla f_{i}(x+t^{*}h)\cdot h.

para todos $los i$ simultáneamente . Por ejemplo, defina:

{\begin{cases}f:[0,2\pi ]\to \mathbb {R} ^{2}\\f(x)=(\cos(x),\sin(x))\end{cases}}

Entonces $f(2\pi )-f(0)=\mathbf {0} \in \mathbb {R} ^{2}$ , pero $f_{1}'(x)=-\sin(x)$ y $f_{2}'(x)=\cos(x)$ nunca son simultáneamente cero como $x$ abarca $\left[0,2\pi \right]$ .

El teorema anterior implica lo siguiente:

Desigualdad del valor medio ^{[ 10 ]} — Para una función continua ${\textbf {f}}:[a,b]\to \mathbb {R} ^{k}$ , si ${\textbf {f}}$ es diferenciable en $(a,b)$ , entonces

|{\textbf {f}}(b)-{\textbf {f}}(a)|\leq (b-a)\sup _{(a,b)}|{\textbf {f}}'|

.

De hecho, la afirmación anterior es suficiente para muchas aplicaciones y puede probarse directamente de la siguiente manera. (Escribiremos $f$ para ${\textbf {f}}$ para facilitar la lectura.)

Prueba

Primero supongamos $f$ es diferenciable en $a$ también. Si $f'$ es ilimitado en $(a,b)$ No hay nada que probar. Por lo tanto, supongamos que... $\sup _{(a,b)}|f'|<\infty$ . Dejar $M>\sup _{(a,b)}|f'|$ Sea algún número real. $E=\{0\leq t\leq 1\mid |f(a+t(b-a))-f(a)|\leq Mt(b-a)\}.$ Queremos mostrar $1\in E$ . Por continuidad de $f$ , el conjunto $E$ está cerrado. También está no vacío como $0$ está en él. Por lo tanto, el conjunto $E$ tiene el elemento más grande $s$ . Si $s=1$ , entonces $1\in E$ y hemos terminado. Supongamos lo contrario. $1>t>s$ ,

{\begin{aligned}&|f(a+t(b-a))-f(a)|\\&\leq |f(a+t(b-a))-f(a+s(b-a))-f'(a+s(b-a))(t-s)(b-a)|+|f'(a+s(b-a))|(t-s)(b-a)\\&+|f(a+s(b-a))-f(a)|.\end{aligned}}

Dejar $\epsilon >0$ ser tal que $M-\epsilon >\sup _{(a,b)}|f'|$ . Por la diferenciabilidad de $f$ en $a+s(b-a)$ (nota $s$ puede ser 0), si $t$ está suficientemente cerca de $s$ , el primer término es $\leq \epsilon (t-s)(b-a)$ El segundo término es $\leq (M-\epsilon )(t-s)(b-a)$ El tercer término es $\leq Ms(b-a)$ Por lo tanto, sumando las estimaciones, obtenemos: $|f(a+t(b-a))-f(a)|\leq tM|b-a|$ , una contradicción a la máxima de $s$ . Por eso, $1=s\in M$ y eso significa:

|f(b)-f(a)|\leq M(b-a).

Desde $M$ es arbitrario, esto implica entonces la afirmación. Finalmente, si $f$ no es diferenciable en $a$ , dejar $a'\in (a,b)$ y aplicar el primer caso a $f$ restringido en $[a',b]$ , lo que nos da:

|f(b)-f(a')|\leq (b-a')\sup _{(a,b)}|f'|

desde $(a',b)\subset (a,b)$ Alquiler $a'\to a$ finaliza la prueba.

Casos en los que no se puede aplicar el teorema

Se requieren todas las condiciones para el teorema del valor medio:

${\boldsymbol {f}}$ es diferenciable en ${\boldsymbol {(a,b)}}$
${\boldsymbol {f}}$ es continuo en ${\boldsymbol {[a,b]}}$
${\boldsymbol {f}}$ es de valor real

Cuando no se cumple alguna de las condiciones anteriores, el teorema del valor medio no es válido en general y, por lo tanto, no se puede aplicar.

La necesidad de la primera condición se puede ver en el contraejemplo donde la función $f$ dado por $f(x)=|x|$ en $[-1,1]$ no es diferenciable en al menos un punto en $(-1,1)$ .

La necesidad de la segunda condición se puede ver en el contraejemplo donde la función $f$ dado por $f(x)={\begin{cases}1,&{\text{at }}x=0\\0,&{\text{if }}x\in (0,1]\end{cases}}$ satisface el criterio 1 ya que $f'(x)=0$ en $(0,1)$ pero no el criterio 2 ya que $f$ no es continuo por la izquierda en $0$ . La tasa promedio de cambio de $f$ encima $[0,1]$ es dado por ${\frac {f(1)-f(0)}{1-0}}=-1$ pero no existe $x\in (0,1)$ de tal manera que $f'(x)=-1$ , por lo tanto, el teorema no se cumple.

El teorema es falso si una función diferenciable es de valor complejo en lugar de real. Por ejemplo, si $f(x)=e^{xi}$ para todos los reales $x$ , entonces $f(2\pi )-f(0)=0=0(2\pi -0)$ mientras $f'(x)\neq 0$ para cualquier real $x$ .

Teoremas del valor medio para integrales definidas

Primer teorema del valor medio para integrales definidas

Geométricamente: interpretando f ( c ) como la altura de un rectángulo y b – a como el ancho, este rectángulo tiene la misma área que la región debajo de la curva de a a b ^{[ 11 ].}

Sea f : [ a , b ] → R una función continua. Entonces existe c en ( a , b ) tal que

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=f(c)(b-a).

Esto se demuestra dejando $m$ y $M$ sean los valores mínimo y máximo de $f$ en $[a,b]$ , respectivamente. Entonces $m\leq {\frac {1}{(b-a)}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq M$ Por el teorema del valor intermedio , dado que $f$ mapas $[a,b]$ sobre $[m,M]$ , existe un $c$ con la propiedad requerida.

Dado que el valor medio de f en [ a , b ] se define como

{\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx,

Podemos interpretar la conclusión como que f alcanza su valor medio en algún c en ( a , b ). ^{[ 12 ]}

En general, si f : [ a , b ] → R es continua y g es una función integrable que no cambia de signo en [ a , b ], entonces existe c en ( a , b ) tal que

\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=f(c)\int _{a}^{b}g(x)\,dx.

Segundo teorema del valor medio para integrales definidas

Existen varios teoremas ligeramente diferentes denominados segundo teorema del valor medio para integrales definidas . Una versión común es la siguiente:

Si

G:[a,b]\to \mathbb {R}

es una función positiva monótonamente decreciente y

{\displaystyle \varphi

es una función integrable, entonces existe un número x en ( a , b ] tal que

\int _{a}^{b}G(t)\varphi (t)\,dt=G(a^{+})\int _{a}^{x}\varphi (t)\,dt.

Aquí $G(a^{+})$ representa ${\textstyle {\lim _{x\to a^{+}}G(x)}}$ , cuya existencia se deduce de las condiciones. Nótese que es esencial que el intervalo ( a , b ] contenga b . Una variante que no tiene este requisito es: ^{[ 13 ]}

Si

G:[a,b]\to \mathbb {R}

es una función monótona (no necesariamente decreciente y positiva) y

{\displaystyle \varphi

es una función integrable, entonces existe un número x en ( a , b ) tal que

\int _{a}^{b}G(t)\varphi (t)\,dt=G(a^{+})\int _{a}^{x}\varphi (t)\,dt+G(b^{-})\int _{x}^{b}\varphi (t)\,dt.

Si la función $G$ devuelve un vector multidimensional, entonces el MVT para la integración no es verdadero, incluso si el dominio de $G$ También es multidimensional.

Por ejemplo, considere la siguiente función bidimensional definida en un $n$ Cubo dimensional:

{\begin{cases}G:[0,2\pi ]^{n}\to \mathbb {R} ^{2}\\G(x_{1},\dots ,x_{n})=\left(\sin(x_{1}+\cdots +x_{n}),\cos(x_{1}+\cdots +x_{n})\right)\end{cases}}

Entonces, por simetría es fácil ver que el valor medio de $G$ Su dominio es (0,0):

\int _{[0,2\pi ]^{n}}G(x_{1},\dots ,x_{n})dx_{1}\cdots dx_{n}=(0,0)

Sin embargo, no hay ningún punto en el que $G=(0,0)$ , porque $|G|=1$ en todos lados.

Generalizaciones

Álgebra lineal

Supongamos que $f,g,$ y $h$ son funciones diferenciables en $(a,b)$ que son continuos en $[a,b]$ . Definir

D(x)={\begin{vmatrix}f(x)&g(x)&h(x)\\f(a)&g(a)&h(a)\\f(b)&g(b)&h(b)\end{vmatrix}}

Existe $c\in (a,b)$ de tal manera que $D'(c)=0$ .

Observa que

D'(x)={\begin{vmatrix}f'(x)&g'(x)&h'(x)\\f(a)&g(a)&h(a)\\f(b)&g(b)&h(b)\end{vmatrix}}

y si colocamos $h(x)=1$ , obtenemos el teorema del valor medio de Cauchy . Si colocamos $h(x)=1$ y $g(x)=x$ obtenemos el teorema del valor medio de Lagrange .

La prueba de la generalización es bastante simple: cada uno de $D(a)$ y $D(b)$ son determinantes con dos filas idénticas, por lo tanto $D(a)=D(b)=0$ Entonces, el teorema de Rolle implica que existe $c\in (a,b)$ de tal manera que $D'(c)=0$ .

Teoría de la probabilidad

Sean X e Y variables aleatorias no negativas tales que E[ X ] < E[ Y ] < ∞ y $X\leq _{st}Y$ (es decir, X es menor que Y en el orden estocástico usual ). Entonces existe una variable aleatoria no negativa absolutamente continua Z con función de densidad de probabilidad

f_{Z}(x)={\Pr(Y>x)-\Pr(X>x) \over {\rm {E}}[Y]-{\rm {E}}[X]}\,,\qquad x\geqslant 0.

Sea g una función medible y diferenciable tal que E[ g ( X )], E[ g ( Y )] < ∞, y sea su derivada g′ medible e integrable en el sentido de Riemann en el intervalo [ x , y ] para todo y ≥ x ≥ 0. Entonces, E[ g′ ( Z )] es finito y ^[¹⁴^]

{\rm {E}}[g(Y)]-{\rm {E}}[g(X)]={\rm {E}}[g'(Z)]\,[{\rm {E}}(Y)-{\rm {E}}(X)].

Análisis complejo

Como se indicó anteriormente, el teorema no se cumple para funciones diferenciables de valores complejos. En cambio, se enuncia una generalización del teorema como sigue: ^{[ 15 ]}

Sea f : Ω → C una función holomorfa en el conjunto convexo abierto Ω, y sean a y b puntos distintos en Ω. Entonces existen puntos u , v en el interior del segmento de recta desde a hasta b tales que

\operatorname {Re} (f'(u))=\operatorname {Re} \left({\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\right),

\operatorname {Im} (f'(v))=\operatorname {Im} \left({\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\right).

Donde Re() es la parte real e Im() es la parte imaginaria de una función de valor complejo.

Véase también

Notas

↑ JJ O'Connor y EF Robertson (2000). Paramesvara , archivo de MacTutor History of Mathematics .
↑ Ádám Besenyei. «Desarrollo histórico del teorema del valor medio» (PDF) .
↑ Lozada-Cruz, German (2020-10-02). "Algunas variantes del teorema del valor medio de Cauchy" . Revista Internacional de Educación Matemática en Ciencia y Tecnología . 51 (7): 1155– 1163. Bibcode : 2020IJMES..51.1155L . doi : 10.1080/0020739X.2019.1703150 . ISSN 0020-739X . S2CID 213335491 .
↑ Sahoo, Prasanna. (1998). Teoremas del valor medio y ecuaciones funcionales . Riedel, T. (Thomas), 1962-. Singapur: World Scientific. ISBN 981-02-3544-5OCLC 40951137
↑ Rudin 1976 , pág. 108.
↑ Weisstein, Eric W. "Teorema del valor medio extendido" . MathWorld .
^ Rudin 1976 , págs .
↑ "Teorema del valor medio de Cauchy" . Math24 . Consultado el 8 de octubre de 2018 .
↑ Rudin 1976 , pág. 113.
↑ Hörmander 2015 , Teorema 1.1.1. y observación que le sigue.
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↑ Michael Comenetz (2002). Cálculo: Los elementos . World Scientific. pág. 159. ISBN 978-981-02-4904-5.
↑ Hobson, EW (1909). "Sobre el segundo teorema del valor medio del cálculo integral" . Proc. London Math. Soc. S2–7 (1): 14– 23. Bibcode : 1909PLMS...27...14H . doi : 10.1112/plms/s2-7.1.14 . MR 1575669 .
↑ Di Crescenzo, A. (1999). "Un análogo probabilístico del teorema del valor medio y sus aplicaciones a la teoría de la fiabilidad". J. Appl. Probab. 36 (3): 706– 719. doi : 10.1239/jap/1032374628 . JSTOR 3215435 . S2CID 250351233 .
↑ 1 J.-Cl. Evard, F. Jafari, Un teorema de Rolle complejo, American Mathematical Monthly, vol. 99, número 9, (noviembre de 1992), págs. 858-861.

Referencias

Rudin, Walter (1976). Principios de análisis matemático . Auckland: McGraw-Hill Publishing Company. ISBN 978-0-07-085613-4.
Hörmander, Lars (2015), Análisis de operadores diferenciales parciales lineales I: Teoría de la distribución y análisis de Fourier , Clásicos en matemáticas (2.ª ed.), Springer, ISBN 9783642614972

Enlaces externos

"Teorema de Cauchy" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press, 2001 [1994]
Teorema del valor medio en PlanetMath .
Weisstein, Eric W. "Teorema del valor medio" . MathWorld .
Weisstein, Eric W. "Teorema del valor medio de Cauchy" . MathWorld .
Cálculo diferencial (edición 2017) • Unidad 11: Aplicaciones de derivadas • Teorema del valor medio en la Khan Academy

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