Nilsecuencia

En matemáticas , una nilsecuencia es un tipo de secuencia numérica que desempeña un papel en la teoría ergódica y la combinatoria aditiva . ^{[ 1 ]} El concepto está relacionado con los grupos de Lie nilpotentes y la casi periodicidad . El nombre surge del papel que desempeñan en la teoría las nilvariedades compactas del tipo${\displaystyle G/\Gamma }$dónde${\displaystyle G}$es un grupo mentiroso nilpotente y${\displaystyle \Gamma }$una celosía en ella.

La idea de una nilsecuencia básica definida por un elemento${\displaystyle g}$de${\displaystyle G}$y función continua${\displaystyle f}$en${\displaystyle G/\Gamma }$es tomar${\displaystyle b(n)}$, para${\displaystyle n}$un número entero, como${\displaystyle f(g^{n}\Gamma )}$Las nilsecuencias generales son entonces límites uniformes de nilsecuencias básicas. ^{[ 2 ]} Para el enunciado de conjeturas y teoremas, se introducen condiciones técnicas y cuantificaciones de complejidad. Gran parte de la importancia combinatoria de las nilsecuencias refleja su estrecha conexión con la norma de Gowers . ^{[ 3 ]} Como explican Host y Kra, las nilsecuencias se originan al evaluar funciones en órbitas en un "nilsistema"; y los nilsistemas son "característicos de las correlaciones múltiples". ^{[ 4 ]}

El grupo del círculo surge como un caso especial de la recta real y su subgrupo de los enteros . Tiene clase de nilpotencia igual a 1, siendo abeliano, y los requisitos de la teoría general son generalizar a la clase de nilpotencia.${\displaystyle s>1.}$El intervalo unitario semiabierto [ 0,1) es un dominio fundamental , y por esa razón la función de parte fraccionaria está involucrada en la teoría. Funciones que involucran la parte fraccionaria${\displaystyle \{\{x\}\}}$de la variable en el grupo circular aparecen, bajo el nombre de "polinomios de corchetes". Dado que la teoría se basa en funciones de Lipschitz , que son a fortiori continuas, es necesario manejar la discontinuidad de la parte fraccionaria en 0.

Dicho esto, las secuencias${\displaystyle \{\{\alpha n\}\}}$, dónde${\displaystyle \alpha }$es un número real irracional dado, y${\displaystyle n}$un entero, y estudiado en aproximación diofántica , son ejemplos sencillos para la teoría. Su construcción puede pensarse en términos de la construcción de producto sesgado en la teoría ergódica, añadiendo una dimensión. ^{[ 5 ] [ 6 ]}

La función exponencial imaginaria${\displaystyle e(x)}$asigna los números reales al grupo del círculo (véase la fórmula de Euler#Interpretación topológica ). Una secuencia numérica${\displaystyle e(P(n))}$dónde${\displaystyle P}$es una función polinómica con coeficientes reales, y${\displaystyle n}$es una variable entera, es un tipo de polinomio trigonométrico , llamado "secuencia polinómica" para los propósitos de la teoría de nilsecuencias. La generalización a grupos nilpotentes que no son abelianos se basa en la identidad de Hall-Petresco de la teoría de grupos para una teoría de polinomios viable. ^{[ 7 ]} En particular, la secuencia polinómica viene con un grado definido .

Una familia de conjeturas${\displaystyle MN(s)}$fue realizado por Ben Green y Terence Tao , en relación con la función de Möbius de la teoría de los números primos y${\displaystyle s}$-paso nilsecuencias. Aquí el grupo subyacente${\displaystyle G}$Se supone que es simplemente conectado y nilpotente con una longitud máxima${\displaystyle s}$. Las secuencias nulas consideradas son de tipo${\displaystyle f(g^{n}x\Gamma )}$con algunos fijos${\displaystyle x}$en${\displaystyle G}$y la función${\displaystyle f}$continua y tomando valores en [ -1,1 ] . ^{[ 8 ]} La forma de la conjetura, que requiere una métrica declarada en la nilvariedad y una cota de Lipschitz en la constante implícita, es que el promedio de${\displaystyle \mu (n)f(g^{n}x\Gamma )}$arriba a${\displaystyle N}$es asintóticamente menor que cualquier potencia inversa fija de${\displaystyle logN.}$^{[ 9 ]} Como lo expresó un artículo posterior publicado en 2012 que demostraba las conjeturas,la función de Möbius es fuertemente ortogonal a las nilsecuencias. ^{[ 10 ]}

Posteriormente, Green, Tao y Tamar Ziegler también demostraron ser una familia.${\displaystyle IG(s)}$de teoremas inversos para la norma de Gowers, enunciados en términos de nilsecuencias. Esto completó un programa de demostración de asintóticas para valores primos simultáneos de formas lineales. ^{[ 11 ]}

Tao ha comentado en su libro Análisis de Fourier de Orden Superior sobre el papel de las nilsecuencias en la demostración del teorema inverso. El problema radicaba en extender los resultados de IG del caso de cuerpos finitos a grupos cíclicos finitos generales ; las "fases clásicas" —esencialmente las exponenciales de polinomios naturales para el grupo del círculo— habían resultado inadecuadas. Existían otras opciones además de las nilsecuencias, en particular el uso directo de polinomios de corchetes. Pero Tao escribe que prefiere las nilsecuencias por la estructura subyacente de la teoría de Lie. ^{[ 12 ]}