Anillo no conmutativo

Un anillo de división, también llamado cuerpo sesgado, es un anillo en el que la división es posible. Específicamente, es un anillo no nulo ^{[ 2 ]} en el que todo elemento no nulo a tiene un inverso multiplicativo , es decir, un elemento x tal que a · x = x · a = 1. Dicho de otro modo, un anillo es un anillo de división si y solo si su grupo de unidades es el conjunto de todos los elementos no nulos.

Los anillos de división se diferencian de los cuerpos únicamente en que su multiplicación no tiene por qué ser conmutativa . Sin embargo, según el pequeño teorema de Wedderburn, todos los anillos de división finitos son conmutativos y, por lo tanto , cuerpos finitos . Históricamente, a los anillos de división se les denominaba a veces cuerpos, mientras que a los cuerpos se les llamaba "cuerpos conmutativos".

Se dice que un módulo sobre un anillo (no necesariamente conmutativo) con unidad es semisimple (o completamente reducible) si es la suma directa de submódulos simples (irreducibles).

Se dice que un anillo es semisimple (izquierdo) si es semisimple como módulo izquierdo sobre sí mismo. Sorprendentemente, un anillo semisimple izquierdo también es semisimple derecho, y viceversa. Por lo tanto, la distinción izquierda/derecha resulta innecesaria.

Un anillo semiprimitivo, anillo semisimple de Jacobson o anillo J-semisimple es un anillo cuyo radical de Jacobson es cero. Este tipo de anillo es más general que un anillo semisimple , pero los módulos simples aún proporcionan suficiente información sobre el anillo. Anillos como el anillo de los enteros son semiprimitivos, y un anillo semiprimitivo artiniano es simplemente un anillo semisimple . Los anillos semiprimitivos pueden entenderse como productos subdirectos de anillos primitivos , que se describen mediante el teorema de densidad de Jacobson .

Un anillo simple es un anillo no nulo que no tiene ningún ideal de dos lados aparte del ideal nulo y él mismo. Un anillo simple siempre puede considerarse como un álgebra simple . Existen anillos que son simples como anillos pero no como módulos : el anillo de matrices completo sobre un cuerpo no tiene ideales no triviales (ya que cualquier ideal de M( n , R ) es de la forma M( n , I ) con I un ideal de R ), pero tiene ideales izquierdos no triviales (a saber, los conjuntos de matrices que tienen algunas columnas nulas fijas).

Según el teorema de Artin-Wedderburn , todo anillo simple que sea artiniano por la izquierda o por la derecha es un anillo de matrices sobre un anillo de división . En particular, los únicos anillos simples que son un espacio vectorial de dimensión finita sobre los números reales son anillos de matrices sobre los números reales, los números complejos o los cuaterniones .

Cualquier cociente de un anillo por un ideal maximal es un anillo simple. En particular, un cuerpo es un anillo simple. Un anillo R es simple si y solo si su anillo opuesto R₀ es ^simple .

Un ejemplo de un anillo simple que no es un anillo de matrices sobre un anillo de división es el álgebra de Weyl .

El pequeño teorema de Wedderburn afirma que todo dominio finito es un cuerpo . En otras palabras, para anillos finitos , no existe distinción entre dominios, anillos de división y cuerpos.

El teorema de Artin-Zorn generaliza el teorema a anillos alternativos : todo anillo alternativo simple finito es un cuerpo. ^{[ 3 ]}

El teorema de Artin-Wedderburn es un teorema de clasificación para anillos semisimples y álgebras semisimples . El teorema establece que un anillo semisimple (artiniano) ^{[ 4 ]} R es isomorfo a un producto de un número finito de anillos de matrices n _i × n _i sobre anillos de división D _i , para algunos enteros n _i , ambos determinados unívocamente salvo permutación del índice i . En particular, cualquier anillo artiniano simple izquierdo o derecho es isomorfo a un anillo de matrices n × n sobre un anillo de división D , donde tanto n como D están determinados unívocamente. ^{[ 5 ]}

Como corolario directo, el teorema de Artin-Wedderburn implica que todo anillo simple de dimensión finita sobre un anillo de división (un álgebra simple) es un anillo de matrices . Este es el resultado original de Joseph Wedderburn . Posteriormente, Emil Artin lo generalizó al caso de los anillos artinianos.

El teorema de densidad de Jacobson es un teorema relativo ^a módulos simples sobre un anillo R. ^{[ 6} ]

El teorema se puede aplicar para demostrar que cualquier anillo primitivo puede verse como un subanillo "denso" del anillo de transformaciones lineales de un espacio vectorial. ^{[ 7 ] [ 8 ]} Este teorema apareció por primera vez en la literatura en 1945, en el famoso artículo "Structure Theory of Simple Rings Without Finiteness Assumptions" de Nathan Jacobson . ^{[ 9 ]} Esto puede verse como una especie de generalización de la conclusión del teorema de Artin-Wedderburn sobre la estructura de los anillos artinianos simples .

De forma más formal, el teorema se puede enunciar de la siguiente manera:

Teorema de densidad de Jacobson. Sea U un R -módulo derecho simple , D = End( U _R ) , y X ⊂ U un conjunto finito y D -linealmente independiente. Si A es una transformación D -lineal en U , entonces existe r ∈ R tal que A ( x ) = x · r para todo x en X . ^{[ 10 ]}

Sea J( R ) el radical de Jacobson de R. Si U es un módulo derecho sobre un anillo R y I es un ideal derecho en R , entonces definimos U · I como el conjunto de todas las sumas (finitas) de elementos de la forma u · i , donde · es simplemente la acción de R sobre U. Necesariamente, U · I es un submódulo de U.

Si V es un submódulo maximal de U , entonces U / V es simple . Por lo tanto, U · J( R ) es necesariamente un subconjunto de V , por la definición de J( R ) y el hecho de que U / V es simple. ^{[ 11 ]} Así, si U contiene al menos un submódulo maximal (propio), U · J( R ) es un submódulo propio de U. Sin embargo, esto no tiene por qué cumplirse para módulos arbitrarios U sobre R , ya que U no tiene por qué contener ningún submódulo maximal. ^{[ 12 ]} Naturalmente, si U es un módulo noetheriano , esto se cumple. Si R es noetheriano y U es finitamente generado , entonces U es un módulo noetheriano sobre R , y la conclusión se satisface. ^{[ 13 ]} Es algo notable que la suposición más débil, a saber, que U es finitamente generado como un R -módulo (y ninguna suposición de finitud sobre R ), sea suficiente para garantizar la conclusión. Esto es esencialmente el enunciado del lema de Nakayama. ^{[ 14 ]}

Precisamente, se tiene lo siguiente.

Lema de Nakayama : Sea U un módulo derecho finitamente generado sobre un anillo R. Si U es un módulo no nulo, entonces U ^· J( R ) es un submódulo propio de U. [ ^{14 ]}

Una versión del lema es válida para módulos derechos sobre anillos unitarios no conmutativos R. El teorema resultante se conoce a veces como el teorema de Jacobson-Azumaya . ^{[ 15 ]}

La localización es un método sistemático para añadir inversos multiplicativos a un anillo , y se aplica generalmente a anillos conmutativos. Dado un anillo R y un subconjunto S , se busca construir un anillo R * y un homomorfismo de anillos de R a R *, de tal manera que la imagen de S esté formada por unidades (elementos invertibles) en R *. Además, se busca que R * sea la mejor forma posible o la más general de lograr esto ; por lo general ^, esto se expresa mediante una propiedad universal . La localización de R por S se suele denotar por S⁻¹R ; sin embargo, se utilizan otras notaciones en algunos casos especiales importantes. Si S es ^el conjunto de los elementos no nulos de un dominio de integridad , entonces la localización es el cuerpo de fracciones y, por lo tanto, se suele denotar Frac( R ). 

Localizar anillos no conmutativos es más difícil; la localización no existe para cada conjunto S de unidades potenciales. Una condición que garantiza que la localización existe es la condición de Ore .

Un caso en el que la localización tiene un claro interés para los anillos no conmutativos es el de los anillos de operadores diferenciales. Se interpreta, por ejemplo, como la adjunción de una inversa formal D ^{− 1} para un operador de diferenciación D. Esto se realiza en muchos contextos dentro de los métodos para ecuaciones diferenciales . Actualmente existe una extensa teoría matemática al respecto, denominada microlocalización , que se relaciona con numerosas otras ramas. El prefijo "micro-" hace referencia a sus conexiones con la teoría de Fourier , en particular.

La equivalencia de Morita es una relación definida entre anillos que conserva muchas propiedades de la teoría de anillos. Recibe su nombre del matemático japonés Kiiti Morita, quien definió la equivalencia y una noción similar de dualidad en 1958.

Se dice que dos anillos R y S (asociativos, con 1) son equivalentes ( Morita ) si existe una equivalencia entre la categoría de módulos (izquierdos) sobre R , R-Mod , y la categoría de módulos (izquierdos) sobre S , S-Mod . Se puede demostrar que las categorías de módulos izquierdos R-Mod y S-Mod son equivalentes si y solo si las categorías de módulos derechos Mod-R y Mod-S son equivalentes. Además, se puede demostrar que cualquier functor de R-Mod a S-Mod que produzca una equivalencia es automáticamente aditivo .

El grupo de Brauer de un cuerpo K es un grupo abeliano cuyos elementos son clases de equivalencia de Morita de álgebras simples centrales de rango finito sobre K , y la adición está inducida por el producto tensorial de álgebras. Surgió de los intentos de clasificar las álgebras de división sobre un cuerpo y recibe su nombre del algebrista Richard Brauer . El grupo también puede definirse en términos de la cohomología de Galois . De forma más general, el grupo de Brauer de un esquema se define en términos de álgebras de Azumaya .

La condición de Ore es una condición introducida por Øystein Ore , en relación con la cuestión de extender más allá de los anillos conmutativos la construcción de un cuerpo de fracciones , o más generalmente la localización de un anillo . La condición de Ore derecha para un subconjunto multiplicativo S de un anillo R es que para a ∈ R y s ∈ S , la intersección aS ∩ sR ≠ ∅ . ^{[ 16 ]} Un dominio que satisface la condición de Ore derecha se llama dominio de Ore derecha . El caso izquierdo se define de manera similar.

En matemáticas , el teorema de Goldie es un resultado estructural básico en la teoría de anillos , demostrado por Alfred Goldie durante la década de 1950. Lo que ahora se denomina un anillo de Goldie derecho es un anillo R que tiene dimensión uniforme finita (también llamada "rango finito") como módulo derecho sobre sí mismo, y satisface la condición de cadena ascendente sobre anuladores derechos de subconjuntos de R.

El teorema de Goldie establece que los anillos de Goldie derechos semiprimos son precisamente aquellos que poseen un anillo clásico derecho de cocientes artiniano semisimple . La estructura de este anillo de cocientes queda entonces completamente determinada por el teorema de Artin-Wedderburn .

En particular, el teorema de Goldie se aplica a los anillos noetherianos derechos semiprimos , ya que por definición los anillos noetherianos derechos tienen la condición de cadena ascendente en todos los ideales derechos. Esto es suficiente para garantizar que un anillo noetheriano derecho sea un anillo Goldie derecho. Lo contrario no se cumple: todo dominio de Ore derecho es un dominio Goldie derecho, y por lo tanto también lo es todo dominio integral conmutativo .

Una consecuencia del teorema de Goldie, también atribuible a Goldie, es que todo anillo ideal derecho principal semiprimo es isomorfo a una suma directa finita de anillos ideales derechos principales primos . Todo anillo ideal derecho principal primo es isomorfo a un anillo matricial sobre un dominio de Ore derecho.