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control no lineal

Un sistema de control por retroalimentación . Se busca controlar un sistema (a menudo llamado planta ) para que su salida siga una señal de referencia deseada. Un sensor monitor...

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Un sistema de control por retroalimentación . Se busca controlar un sistema (a menudo llamado planta ) para que su salida siga una señal de referencia deseada. Un sensor monitorea la salida y un controlador resta la salida real de la salida de referencia deseada, aplicando esta señal de error al sistema para aproximar la salida a la referencia. En un sistema de control no lineal, al menos uno de los bloques (sistema, sensor o controlador) es no lineal.

La teoría de control no lineal es un área de la teoría de control que se ocupa de sistemas no lineales , variables en el tiempo o ambos. La teoría de control es una rama interdisciplinaria de la ingeniería y las matemáticas que se ocupa del comportamiento de sistemas dinámicos con entradas y de cómo modificar la salida mediante cambios en la entrada utilizando retroalimentación , anticipación o filtrado de señales . El sistema que se va a controlar se denomina " planta ". Una forma de lograr que la salida de un sistema siga una señal de referencia deseada es comparar la salida de la planta con la salida deseada y proporcionar retroalimentación a la planta para modificar la salida y acercarla a la salida deseada.

La teoría de control se divide en dos ramas. La teoría de control lineal se aplica a sistemas formados por dispositivos que obedecen el principio de superposición . Estos sistemas se rigen por ecuaciones diferenciales lineales . Una subclase importante son los sistemas lineales invariantes en el tiempo (LTI), que no varían con el tiempo. Estos sistemas pueden resolverse mediante técnicas matemáticas en el dominio de la frecuencia , como la transformada de Laplace , la transformada de Fourier , la transformada Z , el diagrama de Bode , el lugar de las raíces y el criterio de estabilidad de Nyquist .

La teoría de control no lineal se aplica a una clase más amplia de sistemas del mundo real que no obedecen el principio de superposición. Estos sistemas suelen estar gobernados por ecuaciones diferenciales no lineales . Las técnicas matemáticas desarrolladas para manejarlos son menos generales y a menudo se aplican solo a categorías reducidas de sistemas. Estas incluyen la teoría de ciclos límite , mapas de Poincaré , la teoría de estabilidad de Lyapunov y funciones descriptivas . En algunas circunstancias, cerca de un punto de interés estable, estos sistemas pueden aproximarse como sistemas lineales mediante linealización , lo que permite el uso de técnicas lineales. [ 1 ] Los sistemas no lineales se analizan a menudo mediante métodos numéricos en computadoras , por ejemplo, simulando su funcionamiento con un lenguaje de simulación . Incluso si la planta es lineal, un controlador no lineal puede tener características atractivas como una implementación más simple, mayor velocidad, mayor precisión o menor energía de control, lo que justifica el procedimiento de diseño más complejo.

Un ejemplo de sistema de control no lineal es un sistema de calefacción controlado por termostato . Un sistema de calefacción como una caldera tiene una respuesta no lineal a los cambios de temperatura; simplemente está encendida o apagada, y carece del control preciso que un dispositivo proporcional (lineal) tendría ante las diferencias de temperatura. Por lo tanto, la caldera permanece apagada hasta que la temperatura desciende por debajo del punto de ajuste de encendido del termostato, momento en el que se activa. Debido al calor que aporta la caldera, la temperatura aumenta hasta alcanzar el punto de ajuste de apagado del termostato, lo que apaga la caldera, y el ciclo se repite. Esta oscilación de la temperatura alrededor de la temperatura deseada se denomina ciclo límite y es característica de los sistemas de control no lineal.

Propiedades de los sistemas no lineales

Algunas propiedades de los sistemas dinámicos no lineales son [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]

  • No siguen el principio de superposición (linealidad y homogeneidad).
  • Pueden tener múltiples puntos de equilibrio aislados.
  • Pueden presentar propiedades tales como ciclo límite , bifurcación , caos .
  • Tiempo de escape finito: Las soluciones de los sistemas no lineales pueden no existir para todos los tiempos.

Análisis y control de sistemas no lineales

Existen varias técnicas bien desarrolladas para analizar sistemas de retroalimentación no lineales (véase, por ejemplo, [ 5 ] y [ 2 ] ):

También existen técnicas de diseño de control para sistemas no lineales. Estas se pueden subdividir en técnicas que intentan tratar el sistema como un sistema lineal en un rango limitado de operación y utilizan técnicas de diseño lineal (bien conocidas) para cada región:

Aquellos que intentan introducir retroalimentación no lineal auxiliar de tal manera que el sistema pueda ser tratado como lineal a efectos del diseño de control:

Y métodos basados ​​en Lyapunov :

Análisis de retroalimentación no lineal: el problema de Lur'e

Diagrama de bloques del problema de Lur

Un problema inicial de análisis de sistemas de retroalimentación no lineales fue formulado por AI Lur'e . Los sistemas de control descritos por el problema de Lur'e tienen una trayectoria directa que es lineal e invariante en el tiempo, y una trayectoria de retroalimentación que contiene una no linealidad estática sin memoria, posiblemente variable en el tiempo.

La parte lineal se puede caracterizar mediante cuatro matrices ( A , B , C , D ), mientras que la parte no lineal es Φ( y ) conΦ(y)y∈[a,b],a<b∀y{\displaystyle {\frac {\Phi (y)}{y}}\in [a,b],\quad a<b\quad \forall y}(una no linealidad de sector).

Problema de estabilidad absoluta

Considerar:

  1. ( A , B ) es controlable y ( C , A ) es observable.
  2. dos números reales a , b con a  < b , que definen un sector para la función Φ 

El problema de Lur'e (también conocido como el problema de estabilidad absoluta) consiste en derivar condiciones que involucren solo la matriz de transferencia H ( s ) y { a , b } tales que x  =  0 sea un equilibrio globalmente uniformemente asintóticamente estable del sistema.

Existen dos conjeturas erróneas bien conocidas sobre el problema de la estabilidad absoluta:

Gráficamente, estas conjeturas pueden interpretarse en términos de restricciones gráficas en el gráfico de Φ( y ) x y o también en el gráfico de d Φ/ dy x Φ/ y . [ 6 ] Hay contraejemplos a las conjeturas de Aizerman y Kalman tales que la no linealidad pertenece al sector de la estabilidad lineal y el único equilibrio estable coexiste con una solución periódica estable: oscilación oculta .

Existen dos teoremas principales sobre el problema de Lur'e que proporcionan condiciones suficientes para la estabilidad absoluta:

Resultados teóricos en control no lineal

Teorema de Frobenius

El teorema de Frobenius es un resultado profundo en geometría diferencial. Cuando se aplica al control no lineal, dice lo siguiente: Dado un sistema de la forma

incógnita˙=∑i=1kFi(incógnita)túi(t){\displaystyle {\dot {x}}=\sum _{i=1}^{k}f_{i}(x)u_{i}(t)\,}

dóndeincógnita∈Rnorte{\displaystyle x\in R^{n}}, F1,…,Fk{\displaystyle f_{1},\dots ,f_{k}}son campos vectoriales que pertenecen a una distribuciónΔ{\displaystyle \Delta }ytúi(t){\displaystyle u_{i}(t)}son funciones de control, las curvas integrales deincógnita{\displaystyle x}están restringidos a una variedad de dimensionesmetro{\displaystyle m}sidurar⁡(Δ)=metro{\displaystyle \operatorname {span} (\Delta )=m}yΔ{\displaystyle \Delta }es una distribución involutiva .

Véase también

Referencias

  1. ↑ "punto de recorte" . Archivado del original el 8 de febrero de 2012. Consultado el 19 de julio de 2014 .
  2. 1 2 Khalil, 2002
  3. ↑ Sastry, Shankar (1999). Sistemas no lineales: análisis, estabilidad y control . Nueva York, NY: Springer. ISBN 978-0-387-98513-8.
  4. ↑ Wiggins, Stephen (2003). Introducción a los sistemas dinámicos no lineales aplicados y al caos (Textos en matemáticas aplicadas ). Nueva York, NY: Springer. ISBN 978-0-387-00177-7.
  5. ↑ Strogatz, 1994
  6. ↑ Naderi, T.; Materassi, D.; Innocenti, G.; Genesio, R. (2019). "Revisiting Kalman and Aizerman Conjectures via a Graphical Interpretation". IEEE Transactions on Automatic Control . 64 (2): 670– 682. doi : 10.1109/TAC.2018.2849597 . ISSN 0018-9286 . S2CID 59553748 .  

Lecturas adicionales

  • Lur'e, AI; Póstnikov, VN (1944). "К теории устойчивости регулируемых систем" [ Sobre la teoría de la estabilidad de los sistemas de control ] . Prikladnaya Matematika I Mekhanika (en ruso). 8 (3): 246–248 .
  • Vidyasagar, M. (1993). Análisis de sistemas no lineales (2.ª  ed.). Englewood Cliffs: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-623463-0.
  • Isidori, A. (1995). Sistemas de control no lineales (3.ª  ed.). Berlín: Springer. ISBN 978-3-540-19916-8.
  • Khalil, HK (2002). Sistemas no lineales (3.ª  ed.). Upper Saddle River: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-067389-3.
  • Brogliato, B.; Lozano, R.; Maschke, B.; Egeland, O. (2020). Análisis y control de sistemas disipativos (3.ª  ed.). Londres: Springer.
  • Strogatz, Steven H. (1994). Dinámica no lineal y caos: con aplicaciones a la física, la biología, la química y la ingeniería . Perseus Books.
  • Leonov GA; Kuznetsov NV (2011). "Algoritmos para la búsqueda de oscilaciones ocultas en los problemas de Aizerman y Kalman" (PDF) . Doklady Mathematics . 84 (1): 475– 481. doi : 10.1134/S1064562411040120 . S2CID 120692391 . 
  • Bragin VO; Vagaitsev VI; Kuznetsov NV; Leonov GA (2011). "Algoritmos para encontrar oscilaciones ocultas en sistemas no lineales. Las conjeturas de Aizerman y Kalman y los circuitos de Chua" (PDF) . Journal of Computer and Systems Sciences International . 50 (5): 511– 543. doi : 10.1134/S106423071104006X . S2CID 21657305 . 
  • Leonov GA, Kuznetsov NV (2011). Sergio, Bittanti (ed.). "Métodos analítico-numéricos para la investigación de oscilaciones ocultas en sistemas de control no lineales" (PDF) . IFAC Proceedings Volumes (IFAC-PapersOnline) . Actas del 18.º Congreso Mundial de la IFAC. 18 (1): 2494–2505 . doi : 10.3182/20110828-6-IT-1002.03315 . ISBN 9783902661937.
  • Funciones del lenguaje Wolfram para sistemas de control no lineales