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Factorización de matrices no negativas

Ilustración de la factorización aproximada de matrices no negativas: la matriz V está representada por las dos matrices más pequeñas W y H , que, al multiplicarse, reconstruyen ...

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Ilustración de la factorización aproximada de matrices no negativas: la matriz V está representada por las dos matrices más pequeñas W y H , que, al multiplicarse, reconstruyen aproximadamente V.

La factorización de matrices no negativas ( NMF o NNMF ), también conocida como aproximación de matrices no negativas [ 1 ] [ 2 ], es un conjunto de algoritmos en análisis multivariante y álgebra lineal donde una matriz V se factoriza en (generalmente) dos matrices W y H , con la propiedad de que ninguna de las tres contiene elementos negativos. Esta no negatividad facilita la inspección de las matrices resultantes. Además, en aplicaciones como el procesamiento de espectrogramas de audio o la actividad muscular, la no negatividad es inherente a los datos que se consideran. Dado que el problema no tiene una solución exacta en general, se suele aproximar numéricamente.

NMF encuentra aplicaciones en campos como la astronomía , [ 3 ] [ 4 ] la visión por computadora , la agrupación de documentos , [ 1 ] la imputación de datos faltantes , [ 5 ] la quimiometría , el procesamiento de señales de audio , los sistemas de recomendación , [ 6 ] [ 7 ] y la bioinformática . [ 8 ]

Historia

En quimiometría, la factorización de matrices no negativas tiene una larga historia bajo el nombre de "resolución de curvas de automodelado". [ 9 ] En este marco, los vectores de la matriz derecha son curvas continuas en lugar de vectores discretos. Asimismo, un grupo de investigadores finlandeses realizó trabajos iniciales sobre factorizaciones de matrices no negativas en la década de 1990 bajo el nombre de factorización de matrices positivas . [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] Se hizo más conocida como factorización de matrices no negativas después de que Lee y Seung investigaran las propiedades del algoritmo y publicaran algunos algoritmos simples y útiles para dos tipos de factorizaciones. [ 13 ] [ 14 ]

Fondo

Sea V la matriz producto de las matrices W y H ,

V=WH.{\displaystyle \mathbf {V} =\mathbf {W} \mathbf {H} \,.}

La multiplicación de matrices se puede implementar calculando los vectores columna de V como combinaciones lineales de los vectores columna en W utilizando coeficientes proporcionados por las columnas de H. Es decir, cada columna de V se puede calcular de la siguiente manera:

vi=Whi,{\displaystyle \mathbf {v} _{i}=\mathbf {W} \mathbf {h} _{i}\,,}

donde v i es el i -ésimo vector columna de la matriz producto V y h i es el i -ésimo vector columna de la matriz H.

Al multiplicar matrices, las dimensiones de las matrices factoriales pueden ser significativamente menores que las de la matriz producto, y esta propiedad constituye la base de la NMF. La NMF genera factores con dimensiones significativamente reducidas en comparación con la matriz original. Por ejemplo, si V es una matriz m × n , W es una matriz m × p y H es una matriz p × n , entonces p puede ser significativamente menor que m y n .

Aquí tenéis un ejemplo basado en una aplicación de minería de texto:

  • Sea V la matriz de entrada (la matriz que se va a factorizar) , con 10 000 filas y 500 columnas, donde las filas representan palabras y las columnas documentos. Es decir, tenemos 500 documentos indexados por 10 000 palabras. Por lo tanto, un vector columna v en V representa un documento.
  • Supongamos que le pedimos al algoritmo que encuentre 10 características para generar una matriz de características W con 10000 filas y 10 columnas y una matriz de coeficientes H con 10 filas y 500 columnas.
  • El producto de W y H es una matriz con 10000 filas y 500 columnas, la misma forma que la matriz de entrada V y, si la factorización funcionó, es una aproximación razonable a la matriz de entrada V.
  • Del tratamiento de la multiplicación de matrices anterior se deduce que cada columna de la matriz producto WH es una combinación lineal de los 10 vectores columna de la matriz de características W con coeficientes suministrados por la matriz de coeficientes H.

Este último punto es la base de NMF, ya que podemos considerar que cada documento original de nuestro ejemplo se construye a partir de un pequeño conjunto de características ocultas. NMF genera estas características.

Es útil pensar en cada característica (vector columna) en la matriz de características W como un arquetipo de documento que comprende un conjunto de palabras donde el valor de celda de cada palabra define el rango de la palabra en la característica: cuanto mayor sea el valor de celda de una palabra, mayor será su rango en la característica. Una columna en la matriz de coeficientes H representa un documento original con un valor de celda que define el rango del documento para una característica. Ahora podemos reconstruir un documento (vector columna) a partir de nuestra matriz de entrada mediante una combinación lineal de nuestras características (vectores columna en W ) donde cada característica está ponderada por el valor de celda de la característica de la columna del documento en H.

Propiedad de agrupamiento

NMF tiene una propiedad de agrupamiento inherente, [ 15 ] es decir, agrupa automáticamente las columnas de los datos de entrada.V=(v1,…,vnorte){\displaystyle \mathbf {V} =(v_{1},\dots,v_{n})}.

Más específicamente, la aproximación deV{\displaystyle \mathbf {V} }porV≃WH{\displaystyle \mathbf {V} \simeq \mathbf {W} \mathbf {H} }se logra encontrandoW{\displaystyle W}yH{\displaystyle H}que minimizan la función de error (utilizando la norma de Frobenius )

‖V−WH‖F,{\displaystyle \left\|V-WH\right\|_{F},}sujeto aW≥0,H≥0.{\displaystyle W\geq 0,H\geq 0.},

Si además imponemos una restricción de ortogonalidad enH{\displaystyle \mathbf {H} }, es decirHHT=I{\displaystyle \mathbf {H} \mathbf {H} ^{T}=I}, entonces la minimización anterior es matemáticamente equivalente a la minimización del agrupamiento K-means . [ 15 ]

Además, el calculadoH{\displaystyle H}da la pertenencia al clúster, es decir, siHkj>Hij{\displaystyle \mathbf {H} _{kj}>\mathbf {H} _{ij}}para todo i ≠ k , esto sugiere que los datos de entradavj{\displaystyle v_{j}}pertenece ak{\displaystyle k}-ésimo clúster. El calculadoW{\displaystyle W}da los centroides del clúster, es decir, elk{\displaystyle k}La -ésima columna da el centroide del clúster.k{\displaystyle k}-ésimo grupo. La representación de este centroide puede mejorarse significativamente mediante NMF convexa.

Cuando la restricción de ortogonalidadHHT=I{\displaystyle \mathbf {H} \mathbf {H} ^{T}=I}No se impone explícitamente, la ortogonalidad se cumple en gran medida y la propiedad de agrupamiento también se cumple.

Cuando la función de error que se va a utilizar es la divergencia de Kullback-Leibler , NMF es idéntica al análisis semántico latente probabilístico (PLSA), un método popular de agrupamiento de documentos. [ 16 ]

Tipos

Factorización aproximada de matrices no negativas

Generalmente, el número de columnas de W y el número de filas de H en NMF se seleccionan de manera que el producto WH se convierta en una aproximación de V. La descomposición completa de V da como resultado las dos matrices no negativas W y H , así como un residuo U , de modo que: V = WH + U. Los elementos de la matriz residual pueden ser negativos o positivos.

Cuando W y H son más pequeñas que V, resultan más fáciles de almacenar y manipular. Otra razón para factorizar V en matrices más pequeñas, W y H , es que si el objetivo es representar aproximadamente los elementos de V con una cantidad de datos significativamente menor, entonces es necesario inferir alguna estructura latente en los datos.

Factorización de matrices no negativas convexas

En la NMF estándar, el factor de matriz W ∈ R + m × k , es decir, W puede ser cualquier cosa en ese espacio. La NMF convexa [ 17 ] restringe las columnas de W a combinaciones convexas de los vectores de datos de entrada.(v1,…,vnorte){\displaystyle (v_{1},\dots,v_{n})}Esto mejora enormemente la calidad de la representación de datos de W. Además, el factor matricial resultante H se vuelve más disperso y ortogonal.

factorización de rango no negativo

En caso de que el rango no negativo de V sea igual a su rango real, V = WH se denomina factorización de rango no negativo (FRN). [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] Se sabe que el problema de encontrar la FRN de V , si existe, es NP-difícil. [ 21 ]

Diferentes funciones de coste y regularizaciones

Existen diferentes tipos de factorizaciones de matrices no negativas. Los diferentes tipos surgen del uso de diferentes funciones de coste para medir la divergencia entre V y WH y, posiblemente, mediante la regularización de las matrices W y/o H. [ 1 ]

Lee y Seung estudiaron dos funciones de divergencia sencillas: el error cuadrático (o norma de Frobenius ) y una extensión de la divergencia de Kullback-Leibler a matrices positivas (la divergencia original de Kullback-Leibler se define sobre distribuciones de probabilidad). Cada divergencia da lugar a un algoritmo NMF diferente, que generalmente minimiza la divergencia mediante reglas de actualización iterativas.

El problema de factorización en la versión de error cuadrático de NMF se puede enunciar como: Dada una matrizV{\displaystyle \mathbf {V} }encontrar matrices no negativas W y H que minimicen la función

F(W,H)=‖V−WH‖F2{\displaystyle F(\mathbf {W} ,\mathbf {H} )=\left\|\mathbf {V} -\mathbf {WH} \right\|_{F}^{2}}

Otro tipo de NMF para imágenes se basa en la norma de variación total . [ 22 ]

Cuando se agrega la regularización L1 (similar a Lasso ) a NMF con la función de costo de error cuadrático medio, el problema resultante puede llamarse codificación dispersa no negativa debido a la similitud con el problema de codificación dispersa , [ 23 ] [ 24 ] aunque también puede seguir siendo conocido como NMF. [ 25 ]

NMF en línea

Muchos algoritmos NMF estándar analizan todos los datos en conjunto; es decir, la matriz completa está disponible desde el principio. Esto puede resultar insatisfactorio en aplicaciones donde hay demasiados datos para almacenar en memoria o donde los datos se proporcionan en tiempo real . Un ejemplo de este tipo de uso es el filtrado colaborativo en sistemas de recomendación , donde puede haber muchos usuarios y muchos elementos para recomendar, y sería ineficiente recalcular todo cuando se agrega un usuario o un elemento al sistema. La función de costo para la optimización en estos casos puede o no ser la misma que para NMF estándar, pero los algoritmos deben ser bastante diferentes. [ 26 ] [ 27 ]

NMF convolucional

Si las columnas de V representan datos muestreados en dimensiones espaciales o temporales, por ejemplo, señales de tiempo, imágenes o vídeo, se pueden aprender características equivariantes con respecto a los desplazamientos a lo largo de estas dimensiones mediante NMF convolucional. En este caso, W es disperso con columnas que tienen ventanas de peso local no nulo que se comparten entre desplazamientos a lo largo de las dimensiones espacio-temporales de V , representando núcleos de convolución . Mediante la agrupación espacio-temporal de H y el uso repetido de la representación resultante como entrada para NMF convolucional, se pueden aprender jerarquías de características profundas. [ 28 ]

Algoritmos

Existen varias formas de encontrar W y H : la regla de actualización multiplicativa de Lee y Seung [ 14 ] ha sido un método popular debido a la simplicidad de su implementación. Este algoritmo es:

Inicializar: W y H no negativos.
Luego, actualice los valores en W y H calculando lo siguiente, connorte{\displaystyle n}como índice de la iteración.
H[i,j]norte+1←H[i,j]norte((Wnorte)TV)[i,j]((Wnorte)TWnorteHnorte)[i,j]{\displaystyle \mathbf {H} _{[i,j]}^{n+1}\leftarrow \mathbf {H} _{[i,j]}^{n}{\frac {((\mathbf {W} ^{n})^{T}\mathbf {V} )_{[i,j]}}{((\mathbf {W} ^{n})^{T}\mathbf {W} ^{n}\mathbf {H} ^{n})_{[i,j]}}}}
y
W[i,j]norte+1←W[i,j]norte(V(Hnorte+1)T)[i,j](WnorteHnorte+1(Hnorte+1)T)[i,j]{\displaystyle \mathbf {W} _{[i,j]}^{n+1}\leftarrow \mathbf {W} _{[i,j]}^{n}{\frac {(\mathbf {V} (\mathbf {H} ^{n+1})^{T})_{[i,j]}}{(\mathbf {W} ^{n}\mathbf {H} ^{n+1}(\mathbf {H} ^{n+1})^{T})_{[i,j]}}}}
Hasta que W y H sean estables.

Tenga en cuenta que las actualizaciones se realizan elemento por elemento, no mediante multiplicación de matrices.

Observamos que los factores multiplicativos para W y H , es decir,WTVWTWH{\textstyle {\frac {\mathbf {W} ^{\mathsf {T}}\mathbf {V} }{\mathbf {W} ^{\mathsf {T}}\mathbf {W} \mathbf {H} }}}yVHTWHHT{\textstyle {\textstyle {\frac {\mathbf {V} \mathbf {H} ^{\mathsf {T}}}{\mathbf {W} \mathbf {H} \mathbf {H} ^{\mathsf {T}}}}}}términos, son matrices de unos cuandoV=WH{\displaystyle \mathbf {V} =\mathbf {W} \mathbf {H} }.

Más recientemente se han desarrollado otros algoritmos. Algunos enfoques se basan en mínimos cuadrados no negativos alternados : en cada paso de dicho algoritmo, primero se fija H y se encuentra W mediante un solucionador de mínimos cuadrados no negativos, luego se fija W y se encuentra H de forma análoga. Los procedimientos utilizados para resolver W y H pueden ser los mismos [ 29 ] o diferentes, ya que algunas variantes de NMF regularizan uno de W y H. [ 23 ] Los enfoques específicos incluyen los métodos de descenso de gradiente proyectado , [ 29 ] [ 30 ] el método del conjunto activo , [ 6 ] [ 31 ] el método del gradiente óptimo, [ 32 ] , el descenso de coordenadas, [ 33 ] y el método de pivoteo principal de bloques [ 34 ] entre varios otros. [ 35 ]

Los algoritmos actuales son subóptimos, ya que solo garantizan encontrar un mínimo local, en lugar de un mínimo global de la función de costo. Es improbable que se encuentre un algoritmo óptimo demostrable en un futuro cercano, dado que se ha demostrado que el problema generaliza el problema de agrupamiento k-means, que se sabe que es NP-completo . [ 36 ] Sin embargo, como en muchas otras aplicaciones de minería de datos, un mínimo local aún puede resultar útil.

Además del paso de optimización, la inicialización tiene un efecto significativo en NMF. Los valores iniciales elegidos para W y H pueden afectar no solo la tasa de convergencia, sino también el error total en la convergencia. Algunas opciones para la inicialización incluyen la aleatorización completa, SVD , agrupamiento k-means y estrategias más avanzadas basadas en estos y otros paradigmas. [ 37 ]

Gráficos de varianza residual fraccionaria (FRV) para PCA y NMF secuencial; [ 4 ] para PCA, los valores teóricos son la contribución de los autovalores residuales. En comparación, las curvas FRV para PCA alcanzan una meseta plana donde no se captura ninguna señal de manera efectiva; mientras que las curvas FRV de NMF disminuyen continuamente, lo que indica una mejor capacidad para capturar la señal. Las curvas FRV para NMF también convergen a niveles más altos que PCA, lo que indica la menor propiedad de sobreajuste de NMF.

Métodos de clasificación variable

Entre dos mínimos locales cualesquiera de rangopag{\displaystyle p}, existe un camino "en su mayoría cuesta abajo" entre ellos en el espacio de rango2pag{\displaystyle 2p}soluciones. [ 38 ] Esto motiva la idea de expansión y contracción de rango como herramientas para escapar de mínimos locales deficientes. Para aumentar el rango, se pueden descubrir nuevos componentes utilizando la descomposición generalizada en valores singulares. [ 39 ] Para disminuir el rango, los pares de componentes pueden fusionarse vorazmente mediante un criterio de mínima pérdida. [ 38 ] Estas técnicas pueden utilizarse junto con una variedad de algoritmos NMF. La modificación de rango no necesariamente aumenta el tiempo de cálculo, principalmente porque los algoritmos NMF frecuentemente se ralentizan en una o más "mesetas" y empíricamente se encuentra que las soluciones de mayor rango tienen menos probabilidades de estancarse. [ 38 ]

NMF secuencial

La construcción secuencial de componentes NMF ( W y H ) se utilizó por primera vez para relacionar NMF con el Análisis de Componentes Principales (PCA) en astronomía. [ 40 ] La contribución de los componentes PCA se clasifica según la magnitud de sus autovalores correspondientes; para NMF, sus componentes se pueden clasificar empíricamente cuando se construyen uno por uno (secuencialmente), es decir, aprender la(norte+1){\displaystyle (n+1)}-ésimo componente con el primeronorte{\displaystyle n}componentes construidos.

La contribución de los componentes NMF secuenciales se puede comparar con el teorema de Karhunen-Loève , una aplicación de PCA, utilizando el gráfico de valores propios. Una elección típica del número de componentes con PCA se basa en el punto de "codo", entonces la existencia de una meseta plana indica que PCA no está capturando los datos de manera eficiente, y finalmente hay una caída repentina que refleja la captura de ruido aleatorio y cae en el régimen de sobreajuste. [ 41 ] [ 42 ] Para NMF secuencial, el gráfico de valores propios se aproxima por el gráfico de las curvas de varianza residual fraccionaria, donde las curvas disminuyen continuamente y convergen a un nivel más alto que PCA, [ 4 ] lo que es la indicación de un menor sobreajuste de NMF secuencial.

NMF exacto

Se pueden esperar soluciones exactas para las variantes de NMF (en tiempo polinomial) cuando se cumplen restricciones adicionales para la matriz V. Campbell y Poole dieron un algoritmo de tiempo polinomial para resolver la factorización de rango no negativo si V contiene una submatriz monomial de rango igual a su rango en 1981. [ 43 ] Kalofolias y Gallopoulos (2012) [ 44 ] resolvieron la contraparte simétrica de este problema, donde V es simétrica y contiene una submatriz principal diagonal de rango r. Su algoritmo se ejecuta en tiempo O(rm 2 ) en el caso denso. Arora, Ge, Halpern, Mimno, Moitra, Sontag, Wu y Zhu (2013) dan un algoritmo de tiempo polinomial para NMF exacto que funciona para el caso en que uno de los factores W satisface una condición de separabilidad. [ 45 ]

Relación con otras técnicas

En el estudio "Learning the parts of objects by non-negative matrix factorization", Lee y Seung [ 46 ] propusieron NMF principalmente para la descomposición de imágenes basada en partes. Comparan NMF con la cuantización vectorial y el análisis de componentes principales , y demuestran que, si bien las tres técnicas pueden expresarse como factorizaciones, implementan restricciones diferentes y, por lo tanto, producen resultados distintos.

NMF como modelo gráfico probabilístico: las unidades visibles ( V ) están conectadas a las unidades ocultas ( H ) a través de pesos W , de modo que V se genera a partir de una distribución de probabilidad con media∑aWiaha{\displaystyle \sum _{a}W_{ia}h_{a}}. [ 13 ] : 5

Posteriormente se demostró que algunos tipos de NMF son una instancia de un modelo probabilístico más general llamado "PCA multinomial". [ 47 ] Cuando NMF se obtiene minimizando la divergencia de Kullback-Leibler , es de hecho equivalente a otra instancia de PCA multinomial, el análisis semántico latente probabilístico , [ 48 ] entrenado mediante estimación de máxima verosimilitud . Este método se usa comúnmente para analizar y agrupar datos textuales y también está relacionado con el modelo de clase latente .

La NMF con el objetivo de mínimos cuadrados es equivalente a una forma relajada de agrupamiento K-means : el factor de matriz W contiene los centroides de los clústeres y H contiene los indicadores de pertenencia a los clústeres. [ 15 ] [ 49 ] Esto proporciona una base teórica para usar NMF para el agrupamiento de datos. Sin embargo, k-means no impone la no negatividad en sus centroides, por lo que la analogía más cercana es, de hecho, con "semi-NMF". [ 17 ]

NMF puede considerarse un modelo gráfico dirigido de dos capas con una capa de variables aleatorias observadas y una capa de variables aleatorias ocultas. [ 50 ]

NMF se extiende más allá de las matrices a tensores de orden arbitrario. [ 51 ] [ 52 ] [ 53 ] Esta extensión puede considerarse como una contraparte no negativa de, por ejemplo, el modelo PARAFAC .

Otras extensiones de NMF incluyen la factorización conjunta de varias matrices de datos y tensores donde algunos factores son compartidos. Estos modelos son útiles para la fusión de sensores y el aprendizaje relacional. [ 54 ]

NMF es una instancia de programación cuadrática no negativa , al igual que la máquina de vectores de soporte (SVM). Sin embargo, SVM y NMF están relacionadas a un nivel más íntimo que NQP, lo que permite la aplicación directa de los algoritmos de solución desarrollados para cualquiera de los dos métodos a problemas en ambos dominios. [ 55 ]

Unicidad

La factorización no es única: una matriz y su inversa pueden usarse para transformar las dos matrices de factorización, por ejemplo, [ 56 ].

WH=WBB−1H{\displaystyle \mathbf {WH} =\mathbf {WBB} ^{-1}\mathbf {H} }

Si las dos nuevas matricesW~=WB{\displaystyle \mathbf {{\tilde {W}}=WB} }yH~=B−1H{\displaystyle \mathbf {\tilde {H}} =\mathbf {B} ^{-1}\mathbf {H} }son no negativos forman otra parametrización de la factorización.

La no negatividad deW~{\displaystyle \mathbf {\tilde {W}} }yH~{\displaystyle \mathbf {\tilde {H}} }Se aplica al menos si B es una matriz monomial no negativa . En este caso simple, simplemente corresponderá a un escalamiento y una permutación .

Se obtiene un mayor control sobre la no unicidad de NMF con restricciones de escasez. [ 57 ]

Aplicaciones

Astronomía

En astronomía, NMF es un método prometedor para la reducción de dimensionalidad en el sentido de que las señales astrofísicas son no negativas. NMF se ha aplicado a las observaciones espectroscópicas [ 58 ] [ 3 ] y a las observaciones de imágenes directas [ 4 ] como un método para estudiar las propiedades comunes de los objetos astronómicos y posprocesar las observaciones astronómicas. Los avances en las observaciones espectroscópicas de Blanton y Roweis (2007) [ 3 ] tienen en cuenta las incertidumbres de las observaciones astronómicas, lo que posteriormente fue mejorado por Zhu (2016) [ 40 ] donde también se consideran los datos faltantes y se habilita la computación paralela . Su método fue luego adoptado por Ren et al. (2018) [ 4 ] al campo de imágenes directas como uno de los métodos para detectar exoplanetas , especialmente para la imagen directa de discos circunestelares .

Ren et al. (2018) [ 4 ] son ​​capaces de demostrar la estabilidad de los componentes NMF cuando se construyen secuencialmente (es decir, uno por uno), lo que permite la linealidad del proceso de modelado NMF; la propiedad de linealidad se utiliza para separar la luz estelar y la luz dispersada por los exoplanetas y los discos circunestelares .

En la imagen directa, para revelar los débiles exoplanetas y discos circunestelares de las brillantes luces estelares circundantes, que tienen un contraste típico de 10⁵ a 10¹⁰, se han adoptado varios métodos estadísticos, [ 59 ] [ 60 ] [ 41 ] sin embargo, la luz de los exoplanetas o discos circunestelares generalmente se sobreajusta, donde se debe adoptar el modelado directo para recuperar el flujo real. [ 61 ] [ 42 ] El modelado directo está actualmente optimizado para fuentes puntuales, [ 42 ] pero no para fuentes extendidas, especialmente para estructuras de forma irregular como los discos circunestelares. En esta situación, NMF ha sido un método excelente, siendo menos sobreajustado en el sentido de la no negatividad y la escasez de los coeficientes de modelado NMF, por lo que el modelado directo se puede realizar con unos pocos factores de escala, [ 4 ] en lugar de una reducción de datos computacionalmente intensiva en los modelos generados.

imputación de datos

Para imputar datos faltantes en estadística, NMF puede tomar datos faltantes mientras minimiza su función de costo, en lugar de tratar estos datos faltantes como ceros. [ 5 ] Esto lo convierte en un método matemáticamente probado para la imputación de datos en estadística. [ 5 ] Al probar primero que los datos faltantes se ignoran en la función de costo, luego probar que el impacto de los datos faltantes puede ser tan pequeño como un efecto de segundo orden, Ren et al. (2020) [ 5 ] estudiaron y aplicaron tal enfoque para el campo de la astronomía. Su trabajo se centra en matrices bidimensionales, específicamente, incluye derivación matemática, imputación de datos simulada y aplicación a datos del cielo.

El procedimiento de imputación de datos con NMF puede constar de dos pasos. Primero, cuando se conocen los componentes de NMF, Ren et al. (2020) demostraron que el impacto de los datos faltantes durante la imputación de datos ("modelado objetivo" en su estudio) es un efecto de segundo orden. Segundo, cuando se desconocen los componentes de NMF, los autores demostraron que el impacto de los datos faltantes durante la construcción de componentes es un efecto de primer a segundo orden.

Dependiendo de cómo se obtengan los componentes NMF, el paso anterior puede ser independiente o dependiente del siguiente. Además, la calidad de la imputación puede mejorarse al utilizar más componentes NMF; véase la Figura 4 de Ren et al. (2020) para una ilustración. [ 5 ]

Minería de texto

La NMF se puede utilizar en aplicaciones de minería de texto . En este proceso, se construye una matriz documento-término con los pesos de varios términos (generalmente información de frecuencia de palabras ponderada) de un conjunto de documentos. Esta matriz se factoriza en una matriz término-característica y una matriz característica-documento . Las características se derivan del contenido de los documentos, y la matriz característica-documento describe grupos de datos de documentos relacionados.

Una aplicación específica utilizó NMF jerárquica en un pequeño subconjunto de resúmenes científicos de PubMed . [ 62 ] Otro grupo de investigación agrupó partes del conjunto de datos de correo electrónico de Enron [ 63 ] con 65 033 mensajes y 91 133 términos en 50 grupos. [ 64 ] NMF también se ha aplicado a datos de citas, con un ejemplo que agrupa artículos de la Wikipedia en inglés y revistas científicas basándose en las citas científicas salientes en la Wikipedia en inglés. [ 65 ]

Arora, Ge, Halpern, Mimno, Moitra, Sontag, Wu y Zhu (2013) han presentado algoritmos de tiempo polinomial para aprender modelos de temas utilizando NMF. El algoritmo asume que la matriz de temas satisface una condición de separabilidad que suele cumplirse en estos entornos. [ 45 ]

Hassani, Iranmanesh y Mansouri (2019) propusieron un método de aglomeración de características para matrices término-documento que opera utilizando NMF. El algoritmo reduce la matriz término-documento a una matriz más pequeña más adecuada para la agrupación de texto. [ 66 ]

Análisis de datos espectrales

NMF también se utiliza para analizar datos espectrales; uno de esos usos es en la clasificación de objetos y desechos espaciales. [ 67 ]

Predicción de distancia de Internet escalable

NMF se aplica en la predicción escalable de distancias de Internet (tiempo de ida y vuelta). Para una red connorte{\displaystyle N}anfitriones, con la ayuda de NMF, las distancias de todos losnorte2{\displaystyle N^{2}}Los enlaces de extremo a extremo se pueden predecir después de realizar soloO(norte){\displaystyle O(N)}mediciones. Este tipo de método se introdujo por primera vez en el Servicio de Estimación de Distancias de Internet (IDES). [ 68 ] Posteriormente, como un enfoque totalmente descentralizado, se propuso el sistema de coordenadas de red Phoenix [ 69 ] . Este logra una mayor precisión de predicción general al introducir el concepto de ponderación.

Eliminación de ruido en voz no estacionaria

La eliminación de ruido en el habla ha sido un problema persistente en el procesamiento de señales de audio . Existen muchos algoritmos para eliminar el ruido cuando este es estacionario. Por ejemplo, el filtro de Wiener es adecuado para ruido gaussiano aditivo . Sin embargo, si el ruido no es estacionario, los algoritmos clásicos de eliminación de ruido suelen tener un rendimiento deficiente debido a la dificultad para estimar la información estadística del ruido no estacionario. Schmidt et al. [ 70 ] utilizan NMF para eliminar el ruido del habla bajo ruido no estacionario, lo cual es completamente diferente de los enfoques estadísticos clásicos. La idea clave es que una señal de habla limpia puede representarse de forma dispersa mediante un diccionario de voz, pero el ruido no estacionario no. De manera similar, el ruido no estacionario también puede representarse de forma dispersa mediante un diccionario de ruido, pero el habla no.

El algoritmo para la eliminación de ruido mediante NMF funciona de la siguiente manera: Se necesitan entrenar dos diccionarios, uno para el habla y otro para el ruido, fuera de línea. Una vez que se proporciona un habla con ruido, primero calculamos la magnitud de la Transformada de Fourier de Tiempo Corto (STFT). Segundo, la dividimos en dos partes mediante NMF: una puede representarse de forma dispersa con el diccionario de habla y la otra con el diccionario de ruido. Tercero, la parte representada por el diccionario de habla será el habla limpia estimada.

genética de poblaciones

La NMF dispersa se utiliza en genética de poblaciones para estimar coeficientes de mezcla individuales, detectar grupos genéticos de individuos en una muestra poblacional o evaluar la mezcla genética en genomas muestreados. En la agrupación genética humana, los algoritmos NMF proporcionan estimaciones similares a las del programa informático STRUCTURE, pero son computacionalmente más eficientes y permiten el análisis de grandes conjuntos de datos genómicos poblacionales. [ 71 ]

Bioinformática

NMF se ha aplicado con éxito en bioinformática para agrupar datos de expresión génica y metilación del ADN y encontrar los genes más representativos de los grupos. [ 24 ] [ 72 ] [ 73 ] [ 74 ] En el análisis de mutaciones cancerosas se ha utilizado para identificar patrones comunes de mutaciones que ocurren en muchos cánceres y que probablemente tienen causas distintas. [ 75 ] Las técnicas NMF pueden identificar fuentes de variación tales como tipos de células, subtipos de enfermedades, estratificación de la población, composición tisular y clonalidad tumoral. [ 76 ]

Una variante particular de NMF, denominada Trifactorización de Matrices No Negativas (NMTF), [ 77 ] se ha utilizado para tareas de reposicionamiento de fármacos con el fin de predecir nuevas dianas proteicas e indicaciones terapéuticas para fármacos aprobados [ 78 ] y para inferir pares de fármacos anticancerígenos sinérgicos. [ 79 ]

Imágenes nucleares

NMF, también conocido en este campo como análisis factorial, se ha utilizado desde la década de 1980 [ 80 ] para analizar secuencias de imágenes en imágenes médicas dinámicas SPECT y PET . La falta de unicidad de NMF se abordó mediante restricciones de escasez. [ 81 ] [ 82 ] [ 83 ]

Investigación actual

La investigación actual (desde 2010) en factorización de matrices no negativas incluye, pero no se limita a:

  1. Algorítmico: búsqueda de mínimos globales de los factores e inicialización de factores. [ 84 ]
  2. Escalabilidad: cómo factorizar matrices de millones por miles de millones, que son comunes en la minería de datos a escala web, por ejemplo, véase Factorización de matrices no negativas distribuida (DNMF), [ 85 ] Factorización de matrices no negativas escalable (ScalableNMF), [ 86 ] Descomposición estocástica de valores singulares distribuida. [ 87 ]
  3. En línea: cómo actualizar la factorización cuando llegan nuevos datos sin volver a calcular desde cero, por ejemplo, ver en línea CNSC [ 88 ]
  4. Factorización colectiva (conjunta): factorización de múltiples matrices interrelacionadas para el aprendizaje de múltiples vistas, por ejemplo, agrupamiento de múltiples vistas, ver CoNMF [ 89 ] y MultiNMF [ 90 ]
  5. Problema de Cohen y Rothblum de 1993: si una matriz racional siempre tiene una NMF de dimensión interna mínima cuyos factores también son racionales. Recientemente, este problema ha sido respondido negativamente. [ 91 ]

Véase también

Notas

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