polinomio positivo

Un polinomio univariado real es no negativo en${\displaystyle \mathbb {R} }$si y solo si es una suma de dos cuadrados de polinomios reales univariados . ^{[ 3 ]} Esta equivalencia no se generaliza a polinomios multivariados, lo cual fue demostrado originalmente por Hilbert. No se conocía un ejemplo explícito de tal polinomio hasta que Theodore Motzkin demostró en 1967 que${\displaystyle X^{4}Y^{2}+X^{2}Y^{4}-3X^{2}Y^{2}+1}$no es una suma de cuadrados de polinomios pero es no negativo en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, lo cual se deduce de la desigualdad AM-GM . ^{[ 4 ]}

En dimensiones superiores, un polinomio real en${\displaystyle n}$Las variables no son negativas en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$si y solo si es una suma de cuadrados de funciones racionales reales en${\displaystyle n}$variables. Este problema fue planteado originalmente como el decimoséptimo problema de Hilbert en 1900 y posteriormente resuelto por Emil Artin en 1927. ^{[ 5 ]}

Para polinomios homogéneos , se puede determinar más información sobre el denominador. Supongamos que${\displaystyle p\in \mathbb {R} [X_{1},\dots ,X_{n}]}$es homogéneo de grado 2k . Si es positivo en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}}$, entonces existe un número entero${\displaystyle m}$de tal manera que${\displaystyle (X_{1}^{2}+\cdots +X_{n}^{2})^{m}p}$es una suma de cuadrados de polinomios homogéneos de grado${\displaystyle m+2k}$. ^{[ 6 ]}

Para polinomios de grado${\displaystyle {}\leq 1}$Tenemos la siguiente variante del lema de Farkas : Si${\displaystyle f,g_{1},\dots ,g_{k}}$tener título${\displaystyle {}\leq 1}$y${\displaystyle f(x)\geq 0}$por cada${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$satisfactorio${\displaystyle g_{1}(x)\geq 0,\dots ,g_{k}(x)\geq 0}$entonces existen números reales no negativos${\displaystyle c_{0},c_{1},\dots ,c_{k}}$de tal manera que${\displaystyle f=c_{0}+c_{1}g_{1}+\cdots +c_{k}g_{k}}$.

Para polinomios de grado superior en el simplex, Pólya demostró que si${\displaystyle p\in \mathbb {R} [X_{1},\dots ,X_{n}]}$es homogéneo y positivo en el conjunto${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid x_{1}\geq 0,\dots ,x_{n}\geq 0,x_{1}+\cdots +x_{n}\neq 0\}}$, entonces existe un número entero${\displaystyle m}$de tal manera que${\displaystyle (x_{1}+\cdots +x_{n})^{m}p}$tiene coeficientes no negativos. ^{[ 7 ]}

Para polinomios de grado superior en politopos compactos generales, tenemos el teorema de Handelman: ^{[ 8 ]} Si${\displaystyle K}$es un politopo compacto en euclidiano${\displaystyle d}$-espacio, definido por desigualdades lineales${\displaystyle g_{i}\geq 0}$y si${\displaystyle f}$es un polinomio en${\displaystyle d}$variables que son positivas en${\displaystyle K}$, entonces${\displaystyle f}$puede expresarse como una combinación lineal con coeficientes no negativos de productos de miembros de${\displaystyle \{g_{i}\}}$.

Para conjuntos semialgebraicos generales, el resultado más general es el Positivstellensatz de Stengle .

Para conjuntos semialgebraicos compactos tenemos el positivstellensatz de Schmüdgen , ^{[ 9 ] [ 10 ]} el positivstellensatz de Putinar ^{[ 11 ] [ 12 ]} y el positivstellensatz de Vasilescu. ^{[ 13 ]} En particular, no se necesitan denominadores.

Para conjuntos semialgebraicos compactos suficientemente agradables de baja dimensión, existe un nichtnegativstellensatz sin denominadores. ^{[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]}

Un polinomio${\displaystyle p}$en variables complejas${\displaystyle z_{1},\dots ,z_{n}}$y sus conjugados${\displaystyle z_{1}^{*},\dots ,z_{n}^{*}}$es hermitiano si toma solo valores reales para todas las elecciones de${\displaystyle z}$. Es una suma de cuadrados hermitiana (HSOS) si se puede escribir como$${\displaystyle p=\sum _{i=1}^{k}g_{i}^{*}g_{i}}$$para algunos polinomios${\displaystyle g_{1},\dots ,g_{k}}$solo en las variables${\displaystyle z_{1},\dots ,z_{n}}$. Un resultado debido a Quillen establece que cualquier polinomio hermitiano homogéneo y estrictamente positivo es una suma de cuadrados hermitiana de funciones racionales cuyo denominador es la norma al cuadrado.${\displaystyle z_{1}^{*}z_{1}+\dots +z_{n}^{*}z_{n}}$[ ^{17 ] Posteriormente ,} Putinar lo generalizó a una clase mucho más amplia de espacios, incluyendo todas las variedades proyectivas complejas. ^{[ 2 ]} En el caso hermitiano, la representación de suma de cuadrados hermitiana es única si existe y se puede encontrar diagonalizando una matriz hermitiana dada explícitamente , lo cual fue observado por primera vez por Putinar. ^{[ 2 ]}