Teoría O-mínima

En lógica matemática , y más específicamente en teoría de modelos , una estructura infinita${\displaystyle (M,<,\dots )}$que está totalmente ordenado por${\displaystyle <}$Se denomina estructura o-mínima si y solo si cada subconjunto definible${\displaystyle X\subsetequ M}$(con parámetros tomados de${\displaystyle M}$) es una unión finita de intervalos y puntos.

La minimalidad O puede considerarse una forma débil de eliminación de cuantificadores . Una estructura${\displaystyle M}$es o-mínimo si y solo si toda fórmula con una variable libre y parámetros en${\displaystyle M}$es equivalente a una fórmula sin cuantificadores que involucra solo el ordenamiento, también con parámetros en${\displaystyle M}$. Esto es análogo a las estructuras mínimas , que son exactamente la propiedad análoga hasta la igualdad.

Una teoría${\displaystyle T}$es una teoría o-minimal si cada modelo de${\displaystyle T}$es o-mínimo. Se sabe que la teoría completa${\displaystyle T}$de una estructura o-mínima es una teoría o-mínima. ^{[ 1 ]} Este resultado es notable porque, en contraste, la teoría completa de una estructura mínima no tiene por qué ser una teoría fuertemente mínima , es decir, puede haber una estructura elementalmente equivalente que no sea mínima.

Las estructuras O-minimales pueden definirse sin recurrir a la teoría de modelos. Aquí definimos una estructura en un conjunto no vacío.${\displaystyle M}$de manera conjuntista, como una secuencia${\displaystyle (S_{n})_{n=0}^{\infty }}$de tal manera que

1. ${\displaystyle S_{n}}$es un álgebra booleana de subconjuntos de${\displaystyle M^{n}}$
2. si${\displaystyle D\in S_{n}}$entonces${\displaystyle M\times D}$y${\displaystyle D\times M}$están en${\displaystyle S_{n+1}}$
3. el conjunto${\displaystyle \{(x_{1},\dots ,x_{n})\in M^{n}:x_{1}=x_{n}\}}$está en${\displaystyle S_{n}}$
4. si${\displaystyle D\in S_{n+1}}$y${\displaystyle \pi :M^{n+1}\to M^{n}}$es el mapa de proyección en el primero${\displaystyle n}$coordenadas, entonces${\displaystyle \pi (D)\in S_{n}}$.

Para un subconjunto${\displaystyle A}$de${\displaystyle M}$, consideramos la estructura más pequeña${\displaystyle S(A)}$que contiene${\displaystyle S}$de tal manera que cada subconjunto finito de${\displaystyle A}$está contenido en${\displaystyle S_{1}}$. Un subconjunto${\displaystyle D}$de${\displaystyle M^{n}}$se llama${\displaystyle A}$-definible si está contenido en${\displaystyle S_{n}(A)}$; en ese caso,${\displaystyle A}$se denomina un conjunto de parámetros para${\displaystyle D}$. Un subconjunto se denomina definible si es${\displaystyle A}$-definible para algunos${\displaystyle A}$.

Si${\displaystyle M}$tiene un orden lineal denso sin puntos finales, por ejemplo${\displaystyle <}$, luego una estructura${\displaystyle S}$en${\displaystyle M}$se denomina o-mínimo (con respecto a${\displaystyle <}$) si satisface los axiomas adicionales

6. el conjunto${\displaystyle <}$(identificado con su gráfico)${\displaystyle \{(x,y)\in M^{2}:x<y\}}$) está en${\displaystyle S_{2}}$
7. los subconjuntos definibles de${\displaystyle M}$son precisamente las uniones finitas de intervalos y puntos.

La "o" significa "orden", ya que cualquier estructura o-mínima requiere un ordenamiento en el conjunto subyacente.

Las estructuras O-mínimas se originaron en la teoría de modelos y, por lo tanto, tienen una definición más simple, pero equivalente, utilizando el lenguaje de la teoría de modelos. ^{[ 2 ]} Es decir, si${\displaystyle L}$es un lenguaje que incluye una relación binaria${\displaystyle <}$, y${\displaystyle (M,<,\dots )}$es un${\displaystyle L}$-estructura donde${\displaystyle <}$se interpreta que satisface los axiomas de un orden lineal denso, ^{[ 3 ]} entonces${\displaystyle (M,<,\dots )}$Se denomina estructura o-minimal si para cualquier conjunto definible${\displaystyle X\subsetequ M}$Hay un número finito de intervalos abiertos.${\displaystyle I_{1},\dots ,I_{r}}$en${\displaystyle M\cup \{\pm \infty \}}$y un conjunto finito${\displaystyle X_{0}}$de tal manera que

${\displaystyle X=X_{0}\cup I_{1}\cup \ldots \cup I_{r}.}$

Ejemplos de teorías o-mínimas son:

• La teoría completa de órdenes lineales densos en el lenguaje con solo el ordenamiento.
• RCF, la teoría de campos cerrados reales . ^{[ 4 ]}
• La teoría completa del campo real con funciones analíticas restringidas añadidas (es decir, funciones analíticas en un entorno de${\displaystyle [0,1]^{n}}$, restringido a${\displaystyle [0,1]^{n}}$(Nótese que la función seno sin restricciones tiene infinitas raíces, por lo que no puede definirse en una estructura o-mínima).
• La teoría completa del campo real con un símbolo para la función exponencial según el teorema de Wilkie . De forma más general, la teoría completa de los números reales con funciones pfaffianas añadidas.
• Los dos últimos ejemplos pueden combinarse: dada cualquier expansión o-minimal del cuerpo real (como el cuerpo real con funciones analíticas restringidas), se puede definir su clausura pfaffiana, que es de nuevo una estructura o-minimal. ^{[ 5 ]} (La clausura pfaffiana de una estructura es, en particular, cerrada bajo cadenas pfaffianas donde se utilizan funciones definibles arbitrarias en lugar de polinomios).

En el caso de RCF, los conjuntos definibles son los conjuntos semialgebraicos . Por lo tanto, el estudio de las estructuras y teorías o-minimales generaliza la geometría algebraica real . Una importante línea de investigación actual se basa en el descubrimiento de expansiones del campo ordenado real que sean o-minimales. A pesar de la generalidad de la aplicación, se puede demostrar mucho sobre la geometría de los conjuntos definibles en estructuras o-minimales. Existe un teorema de descomposición celular, ^{[ 6 ]} los teoremas de estratificación de Whitney y Verdier y una buena noción de dimensión y característica de Euler.

Además, las funciones definibles continuamente diferenciables en una estructura o-minimal satisfacen una generalización de la desigualdad de Łojasiewicz , ^{[ 7 ]} una propiedad que se ha utilizado para garantizar la convergencia de algunos métodos de optimización no suaves, como el método de subgradiente estocástico (bajo algunas suposiciones leves). ^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}

• Conjunto semialgebraico
• Geometría algebraica real
• Teoría fuertemente minimalista
• Estructura débilmente o-mínima
• Teoría C-minimalista
• Topología domesticada

• van den Dries, Lou (1998). Topología domesticada y estructuras o-mínimas . Serie de notas de clase de la Sociedad Matemática de Londres. Vol.  248. Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-59838-5. Zbl 0953.03045 . 
• Marker, David (2000). "Revisión de "Topología domesticada y estructuras o-mínimas"" (PDF) . Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 37 (3): 351– 357. doi : 10.1090/S0273-0979-00-00866-1 .
• Marker, David (2002). Teoría de modelos: Una introducción . Textos de posgrado en matemáticas. Vol.  217. Nueva York, NY: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-98760-6. Zbl 1003.03034 . 
• Pillay, Anand; Steinhorn, Charles (1986). " Conjuntos definibles en estructuras ordenadas I" (PDF) . Transactions of the American Mathematical Society . 295 (2): 565– 592. doi : 10.2307/2000052 . JSTOR 2000052. Zbl 0662.03023 .  
• Knight, Julia ; Pillay, Anand; Steinhorn, Charles (1986). " Conjuntos definibles en estructuras ordenadas II" . Transactions of the American Mathematical Society . 295 (2): 593– 605. doi : 10.2307/2000053 . JSTOR 2000053. Zbl 0662.03024 .  
• Pillay, Anand; Steinhorn, Charles (1988). " Conjuntos definibles en estructuras ordenadas III" . Transactions of the American Mathematical Society . 309 (2): 469– 476. doi : 10.2307/2000920 . JSTOR 2000920. Zbl 0707.03024 .  
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• Servidor de preimpresiones de Model Theory. Archivado el 3 de julio de 2013 en Wayback Machine.
• Servidor de preimpresiones de geometría analítica y algebraica real