asimetría no paramétrica

La asimetría no paramétrica se define como

${\displaystyle S={\frac {\mu -\nu }{\sigma }}}$

donde la media ( μ ), la mediana ( ν ) y la desviación estándar ( σ ) de la población tienen sus significados habituales.

La asimetría no paramétrica es un tercio del coeficiente de asimetría de Pearson 2 y se encuentra entre −1 y +1 para cualquier distribución. ^{[ 5 ] [ 6 ]} Este rango se deduce del hecho de que la media se encuentra dentro de una desviación estándar de cualquier mediana. ^{[ 7 ]}

Bajo una transformación afín de la variable ( X ), el valor de S no cambia excepto por un posible cambio de signo. En símbolos

${\displaystyle S(aX+b)=\operatorname {sign} (a)\,S(X)}$

donde a  ≠  0 y b son constantes y S ( X ) es la asimetría no paramétrica de la variable X .

Para una muestra finita con tamaño de muestra n ≥ 2 con x _r es el estadístico de orden ^r , m la media de la muestra y s la desviación estándar de la muestra corregida por grados de libertad, ^{[ 13 ]}

${\displaystyle {\frac {|m-x_{r}|}{s}}\leq {\text{max}}\left[{\sqrt {\frac {(n-1)(r-1)}{n(n-r+1)}}},{\sqrt {\frac {(n-1)(nr)}{nr}}}\right]}$

Sustituyendo r por n / 2 se obtiene el resultado apropiado para la mediana de la muestra: ^{[ 14 ]}

${\displaystyle {\frac {|ma|}{s}}\leq {\sqrt {\frac {n^{2}-n}{n^{2}}}}={\sqrt {\frac {n-1}{n}}}}$

donde a es la mediana de la muestra.

Para distribuciones de probabilidad simétricas, el valor de la asimetría no paramétrica es 0.

Es positivo para distribuciones asimétricas a la derecha y negativo para distribuciones asimétricas a la izquierda. Los valores absolutos  ≥  0,2 indican una asimetría marcada.

Puede resultar difícil determinar S para algunas distribuciones. Esto se debe generalmente a que no se conoce una forma cerrada para la mediana: ejemplos de tales distribuciones incluyen la distribución gamma , la distribución chi-cuadrado inversa , la distribución gamma inversa y la distribución chi-cuadrado inversa escalada .

Se conocen los siguientes valores para S :

• Distribución Beta : 1 < α < β donde α y β son los parámetros de la distribución, entonces con una buena aproximación ^{[ 21 ]}

${\displaystyle S={\frac {1}{3}}{\frac {(\alpha -2\beta )(\alpha +\beta +1)^{1/2}}{(\alpha +\beta -2/3)(\alpha \beta )^{1/2}}}}$

Si 1 < β < α , entonces las posiciones de α y β se invierten en la fórmula. S siempre es < 0.

• Distribución binomial : varía. Si la media es un número entero, entonces S = 0. Si la media no es un número entero, S puede tener signo positivo o negativo, o ser cero. ^{[ 22 ]} Está acotada por ±min{  max{ p , 1 − p }, log _e 2 } / σ donde σ es la desviación estándar de la distribución binomial. ^{[ 23 ]}        
• Distribución de Burr :
• Distribución de Birnbaum-Saunders :

${\displaystyle S={\frac {2}{\beta ^{2}(4+5\alpha ^{2})}}}$

donde α es el parámetro de forma y β es el parámetro de ubicación.

• Distribución de Cantor : a pesar de que la distribución es simétrica respecto a su media de${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$, la mediana puede ser cualquier valor en${\displaystyle \left[{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{3}}\right]}$ya que este intervalo central tiene probabilidad cero

${\displaystyle {\frac {-4}{3}}\leq S\leq {\frac {4}{3}}}$

• Distribución chi cuadrado : aunque S ≥ 0 su valor depende del número de grados de libertad ( k ).

${\displaystyle S\approx {\frac {1-(1-{\frac {2}{k}})^{3}}{2}}}$

• Distribución de Dagum :
• Distribución exponencial :

${\displaystyle S=1-\log _{e}(2)\approx 0.31}$

• Distribución exponencial con dos parámetros: ^{[ 24 ]}

${\displaystyle S=1-\log _{e}(2)\approx 0.31}$

• Distribución exponencial-logarítmica

${\displaystyle S=-{\frac {polylog(2,1-p)+\ln(1+{\sqrt {p}})\ln p}{\sqrt {-[2polylog(3,1-p)+polylog^{2}(2,1-p)]}}}}$

Aquí S siempre es > 0.

• Distribución gaussiana modificada exponencialmente :

${\displaystyle 0\leq S\leq 1-\log _{e}(2)}$

• Distribución F con n y n grados de libertad ( n > 4): ^{[ 25 ]}

${\displaystyle S=n^{-3/2}{\sqrt {\frac {n-4}{n-2}}}+O(n^{-5/2})}$

• Distribución de Fréchet : La varianza de esta distribución está definida solo para α > 2.

${\displaystyle S={\frac {\Gamma \left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)-{\frac {1}{{\sqrt {\alpha }}\log _{e}(2)}}}{\sqrt {\Gamma \left(1-{\frac {2}{\alpha }}\right)-\left(\Gamma \left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)\right)^{2}}}}}$

• Distribución gamma : La mediana solo se puede determinar de forma aproximada para esta distribución. ^{[ 26 ]} Si el parámetro de forma α es ≥ 1 entonces

${\displaystyle S\approx {\frac {\beta }{3\alpha +0.2}}}$

donde β > 0 es el parámetro de velocidad. Aquí S siempre es > 0.

• Distribución normal generalizada versión 2

${\displaystyle S=-{\frac {\exp({\frac {-k^{2}}{2}})-1}{\sqrt {\exp({\frac {k^{2}}{2}})-1}}}}$

S siempre es < 0.

• Distribución de Pareto generalizada : S se define solo cuando el parámetro de forma ( k ) es < 1/2. S es < 0 para esta distribución.

${\displaystyle S=\left({\frac {2^{k}-1}{k}}-2^{k}\right)(1-2k)^{0.5}}$

• Distribución de Gumbel :

${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}[\gamma +\log _{e}(\log _{e}(2))]}{\pi }}\approx 0.1643}$

donde γ es la constante de Euler . ^{[ 27 ]}

• Distribución seminormal : ^{[ 24 ]}

${\displaystyle S\approx {\frac {{\sqrt {2}}-0.6745{\sqrt {\pi }}}{\sqrt {\pi -2}}}\approx 0.36279}$

• Distribución de Kumaraswamy
• Distribución log-logística (distribución de Fisk): Sea β el parámetro de forma. La varianza y la media de esta distribución solo están definidas cuando β > 2. Para simplificar la notación, sea b = β / π .

${\displaystyle S={\frac {b-\sin(b)}{\sqrt {b\tan(b)-b^{2}}}}}$

La desviación estándar no existe para valores de b > 4,932 (aproximadamente). Para los valores para los que se define la desviación estándar, S es > 0.

• Distribución log-normal : Con media ( μ ) y varianza ( σ² ⁾

${\displaystyle S={\frac {1}{(e^{\frac {\sigma ^{2}}{2}}+1)(e^{\mu +\sigma ^{2}})}}}$

• Distribución Log-Weibull : ^{[ 24 ]}

${\displaystyle S\approx {\frac {[\log _{e}(\log _{e}(2))-0.5772]{\sqrt {6}}}{\pi }}\approx -0.1643}$

• Distribución de Lomax : S se define solo para α > 2

${\displaystyle S={\frac {(\alpha -1)(\alpha -2)(1-(\alpha -1)(2^{1/\alpha }-1))}{\alpha ^{1/2}}}}$

• Distribución de Maxwell-Boltzmann : ^{[ 24 ]}

${\displaystyle S\approx {\frac {{\sqrt {2}}-1.5382\Gamma ({\frac {3}{2}})}{\sqrt {2(\Gamma ({\frac {5}{2}})-\Gamma ({\frac {3}{2}}))}}}\approx 0.0854}$

• Distribución de Nakagami

${\displaystyle S=-1}$

• Distribución de Pareto : para α > 2 donde α es el parámetro de forma de la distribución,

${\displaystyle S=(\alpha -2^{1/\alpha }[\alpha -1])({\frac {\alpha -2}{\alpha }})^{1/2},}$

y S siempre es > 0.

• Distribución de Poisson :

${\displaystyle {\frac {-\log _{e}(2)}{\lambda ^{\frac {1}{2}}}}\leq S\leq {\frac {1}{3\lambda ^{\frac {1}{2}}}}}$

donde λ es el parámetro de la distribución. ^{[ 28 ]}

• Distribución de Rayleigh :

${\displaystyle S={\sqrt {\frac {2}{4-\pi }}}[({\frac {\pi }{2}})^{0.5}-\log _{e}(4)]\approx 0.1251}$

• Distribución de Weibull :

${\displaystyle S={\frac {\Gamma (1+1/k)-\log _{e}(2)^{1/k}}{(\Gamma (1+2/k)-\Gamma (1+1/k))^{1/2}}},}$

donde k es el parámetro de forma de la distribución. Aquí S siempre es > 0.

La regla que establece que, para algunas distribuciones, la diferencia entre la media y la moda es tres veces mayor que la diferencia entre la media y la mediana se debe a Pearson, quien la descubrió mientras investigaba sus distribuciones de tipo 3. Se suele aplicar a distribuciones ligeramente asimétricas que se asemejan a una distribución normal, pero no siempre se cumple.

En 1895, Pearson observó que para lo que ahora se conoce como la distribución gamma , la relación ^{[ 29 ]}

${\displaystyle \nu -\theta =2(\mu -\nu )}$

donde θ , ν y μ son la moda, la mediana y la media de la distribución respectivamente era aproximadamente cierto para distribuciones con un parámetro de forma grande.

En 1917, Doodson demostró que la mediana se encuentra entre la moda y la media para distribuciones moderadamente asimétricas con momentos cuartos finitos. ^{[ 36 ]} Esta relación se cumple para todas las distribuciones de Pearson y todas ellas presentan una asimetría no paramétrica positiva.

Doodson también señaló que para esta familia de distribuciones, con una buena aproximación,

${\displaystyle \theta =3\nu -2\mu ,}$

donde θ , ν y μ son la moda, la mediana y la media de la distribución, respectivamente. La aproximación de Doodson fue investigada y confirmada posteriormente por Haldane . ^{[ 37 ]} Haldane observó que las muestras con variables aleatorias idénticas e independientes con un tercer cumulante tenían medias muestrales que obedecían la relación de Pearson para tamaños de muestra grandes. Haldane requirió una serie de condiciones para que esta relación se cumpliera, incluyendo la existencia de una expansión de Edgeworth y la unicidad tanto de la mediana como de la moda. Bajo estas condiciones, encontró que la moda y la mediana convergían a 1/2 y 1/6 del tercer momento, respectivamente. Este resultado fue confirmado por Hall bajo condiciones más débiles utilizando funciones características . ^{[ 38 ]}

La relación de Doodson fue estudiada por Kendall y Stuart en la distribución log-normal, para la cual encontraron una relación exacta cercana a ella. ^{[ 39 ]}

Hall también demostró que para una distribución con colas que varían regularmente y exponente α que ^{[ 38 ]}

${\displaystyle \mu -\theta =\alpha (\mu -\nu )}$

Gauss demostró en 1823 que para una distribución unimodal ^{[ 40 ]}

${\displaystyle \sigma \leq \omega \leq 2\sigma }$

y

${\displaystyle |\nu -\mu |\leq {\sqrt {\frac {3}{4}}}\omega ,}$

donde ω es la desviación cuadrática media con respecto a la moda.

Para una gran clase de distribuciones unimodales con asimetría positiva, la moda, la mediana y la media caen en ese orden. ^{[ 41 ]} Por el contrario, para una gran clase de distribuciones unimodales con asimetría negativa, la media es menor que la mediana, que a su vez es menor que la moda. En símbolos para estas distribuciones unimodales con asimetría positiva

${\displaystyle \theta \leq \nu \leq \mu }$

y para estas distribuciones unimodales con asimetría negativa

${\displaystyle \mu \leq \nu \leq \theta }$

Esta clase incluye las importantes distribuciones F, beta y gamma.

Esta regla no se cumple para la distribución unimodal de Weibull. ^{[ 42 ]}

Para una distribución unimodal se conocen los siguientes límites, que son precisos: ^{[ 43 ]}

${\displaystyle {\frac {|\theta -\mu |}{\sigma }}\leq {\sqrt {3}},}$

${\displaystyle {\frac {|\nu -\mu |}{\sigma }}\leq {\sqrt {0.6}},}$

${\displaystyle {\frac {|\theta -\nu |}{\sigma }}\leq {\sqrt {3}},}$

donde μ , ν y θ son la media, la mediana y la moda respectivamente.

El límite medio limita la asimetría no paramétrica de una distribución unimodal a aproximadamente ±0,775.

La siguiente desigualdad,

${\displaystyle \theta \leq \nu \leq \mu ,}$

donde θ , ν y μ son la moda, la mediana y la media de la distribución respectivamente, se cumple si

${\displaystyle F(\nu -x)+F(\nu +x)\geq 1{\text{ for all }}x,}$

donde F es la función de distribución acumulativa de la distribución. ^{[ 44 ]} Estas condiciones se han generalizado desde entonces ^{[ 33 ]} y se han extendido a distribuciones discretas. ^{[ 45 ]} Cualquier distribución para la que esto se cumple tiene una asimetría no paramétrica cero o positiva.

En 1964, van Zwet propuso una serie de axiomas para ordenar las medidas de asimetría. ^{[ 46 ]} La asimetría no paramétrica no satisface estos axiomas.

La ley de Benford es una ley empírica relativa a la distribución de dígitos en una lista de números. Se ha sugerido que las variables aleatorias de distribuciones con asimetría no paramétrica positiva obedecerán esta ley. ^{[ 47 ]}

Esta estadística es muy similar al coeficiente de asimetría de Bowley ^{[ 48 ].}

${\displaystyle SK_{2}={\frac {Q_{3}+Q_{1}-2Q_{2}}{Q_{3}-Q_{1}}}}$

donde Q _i es el i-ésimo cuartil de la distribución.

Hinkley generalizó esto ^{[ 49 ]}

${\displaystyle SK={\frac {F^{-1}(1-\alpha )+F^{-1}(\alpha )-2Q_{2}}{Q_{3}-Q_{1}}}}$

dónde${\displaystyle \alpha }$se encuentra entre 0 y 0,5. El coeficiente de Bowley es un caso especial con${\displaystyle \alpha }$igual a 0,25.

Groeneveld y Meeden ^{[ 50 ]} eliminaron la dependencia de${\displaystyle \alpha }$integrándolo.

${\displaystyle SK_{3}={\frac {\mu -Q_{2}}{E|y-Q_{2}|}}}$

El denominador es una medida de dispersión. Sustituyendo el denominador por la desviación estándar, obtenemos la asimetría no paramétrica.