Distribución gaussiana normal-inversa

La distribución gaussiana normal-inversa ( NIG , también conocida como distribución normal-Wald ) es una distribución de probabilidad continua que se define como la mezcla de varianza-media normal donde la densidad de mezcla es la distribución gaussiana inversa . La distribución NIG fue descrita por Blaesild en 1977 como una subclase de la distribución hiperbólica generalizada descubierta por Ole Barndorff-Nielsen . ^[2] Al año siguiente, Barndorff-Nielsen publicó la NIG en otro artículo. ^[3] Fue introducida en la literatura de finanzas matemáticas en 1997. ^[4]

Los parámetros de la distribución gaussiana normal-inversa se utilizan a menudo para construir un gráfico de pesadez y asimetría llamado triángulo NIG. ^[5]

El hecho de que exista una expresión simple para la función generadora de momentos implica que existen expresiones simples para todos los momentos. ^{[6] [7]}

Esta clase está cerrada bajo transformaciones afines , ya que es un caso particular de la distribución hiperbólica generalizada , que tiene la misma propiedad. Si

${\displaystyle x\sim {\mathcal {NIG}}(\alpha ,\beta ,\delta ,\mu ){\text{ y }}y=ax+b,}$

entonces ^[8]

${\displaystyle y\sim {\mathcal {NIG}}{\bigl (}{\frac {\alpha }{\left|a\right|}},{\frac {\beta }{a}},\left|a\right|\delta ,a\mu +b{\bigr )}.}$

Esta clase es infinitamente divisible , ya que es un caso particular de la distribución hiperbólica generalizada , que tiene la misma propiedad.

La clase de distribuciones gaussianas inversas normales está cerrada bajo convolución en el siguiente sentido: ^[9] si y son variables aleatorias independientes que están distribuidas NIG con los mismos valores de los parámetros y , pero posiblemente diferentes valores de los parámetros de ubicación y escala, , y , respectivamente, entonces está distribuida NIG con los parámetros y$Estilo de visualización X_{1}$$Estilo de visualización X_{2}$ ${\estilo de visualización \alpha}$${\estilo de visualización \beta}$$estilo de visualización {\mu _{1}}$$estilo de visualización {\delta _{1}}$${\displaystyle \mu_{2},}$ ${\displaystyle \delta _{2}}$$Estilo de visualización X_{1}+X_{2}}$${\estilo de visualización \alfa ,}$ ${\estilo de visualización \beta ,}$${\displaystyle \mu _{1}+\mu _{2}}$${\displaystyle \delta _{1}+\delta _{2}.}$

La clase de distribuciones NIG es un sistema flexible de distribuciones que incluye distribuciones de cola gruesa y sesgadas, y la distribución normal surge como un caso especial al establecer y dejar . ${\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2}),}$${\displaystyle \beta = 0,\delta =\sigma ^{2}\alpha ,}$${\displaystyle \alpha \rightarrow \infty }$

La distribución gaussiana normal-inversa también puede verse como la distribución marginal del proceso gaussiano normal-inverso que proporciona una forma alternativa de construirlo explícitamente. Comenzando con un movimiento browniano a la deriva ( proceso de Wiener ), , podemos definir el proceso gaussiano inverso Luego, dado un segundo movimiento browniano a la deriva independiente, , el proceso gaussiano normal-inverso es el proceso cambiado en el tiempo . El proceso en el tiempo tiene la distribución gaussiana normal-inversa descrita anteriormente. El proceso NIG es una instancia particular de la clase más general de procesos de Lévy . ${\displaystyle W^{(\gamma )}(t)=W(t)+\gamma t}$${\displaystyle A_{t}=\inf\{s>0:W^{(\gamma )}(s)=\delta t\}.}$${\displaystyle W^{(\beta )}(t)={\tilde {W}}(t)+\beta t}$${\displaystyle X_{t}=W^{(\beta )}(A_{t})}$${\displaystyle X(t)}$${\displaystyle t=1}$

Sea , donde ; y sea , sigue entonces la distribución NIG, con parámetros, . Esto se puede utilizar para generar variables NIG mediante muestreo ancestral. También se puede utilizar para derivar un algoritmo EM para la estimación de máxima verosimilitud de los parámetros NIG. ^[10]${\displaystyle {\mathcal {IG}}}$${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle z\sim {\mathcal {IG}}(\delta ,\gamma )}$${\displaystyle \gamma ={\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}}$${\displaystyle x\sim {\mathcal {N}}(\mu +\beta z,z)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \alpha ,\beta ,\delta ,\mu }$