Número palindrómico

Un número palíndromo (también conocido como palíndromo numérico ) es un número (como 16361) que permanece igual al invertir sus dígitos. En otras palabras, tiene simetría de reflexión respecto a un eje vertical. El término palíndromo deriva de palíndromo , que se refiere a una palabra (como rotor o coche de carreras ) cuya ortografía no cambia al invertir sus letras. Los primeros 30 números palíndromos (en decimal ) son:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, 202, ... (secuencia A002113 en el OEIS ) .

Los números palíndromos reciben mayor atención en el ámbito de las matemáticas recreativas . Un problema típico consiste en buscar números que posean una propiedad determinada y sean palíndromos. Por ejemplo:

• Los números primos palíndromos son 2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, ... (secuencia A002385 en el OEIS ) .
• Los números cuadrados palíndromos son 0, 1, 4, 9, 121, 484, 676, 10201, 12321, ... (secuencia A002779 en el OEIS ) .

En cualquier base existen infinitos números palíndromos, puesto que en cualquier base la secuencia infinita de números escrita (en esa base) como 101, 1001, 10001, 100001, etc., consiste únicamente en números palíndromos.

Aunque los números palíndromos se consideran con mayor frecuencia en el sistema decimal , el concepto de palindrómica puede aplicarse a los números naturales en cualquier sistema numérico . Consideremos un número n  >  0 en base b  ≥  2, que se escribe en notación estándar con k + 1 dígitos a _i como:

${\displaystyle n=\sum _{i=0}^{k}a_{i}b^{i}}$

con, como es habitual, 0  ≤ a _i < b para todo i y a _k ≠ 0. Entonces n es palíndromo si y solo si a _i = a _{k − i} para todo i . El cero se escribe 0 en cualquier base y también es palíndromo por definición.       

Todos los números con una sola cifra son palíndromos, por lo que en base 10 hay diez números palíndromos con una sola cifra:

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Hay 9 números palíndromos de dos dígitos:

{11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}.

^{Todos los} números palíndromos con un número par de dígitos son divisibles por 11. [ ^{1 ]}

De manera similar, si los múltiplos de 3 que se encuentran a intervalos iguales son la mitad de palíndromos de 6 dígitos (por ejemplo, 345.543 y 852.258), todos esos palíndromos (de 6 dígitos, 12 dígitos, 18 dígitos, etc.) son múltiplos de 1.221 (11 × 111).

Hay 90 números palíndromos de tres dígitos (usando la regla del producto : 9 opciones para el primer dígito, que determina también el tercer dígito, multiplicadas por 10 opciones para el segundo dígito):

{101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, ..., 909, 919, 929, 939, 949, 959, 969, 979, 989, 999}

Asimismo, existen 90 números palíndromos de cuatro dígitos (nuevamente, 9 opciones para el primer dígito multiplicadas por diez opciones para el segundo dígito. Los otros dos dígitos se determinan por la elección de los dos primeros):

{1001, 1111, 1221, 1331, 1441, 1551, 1661, 1771, 1881, 1991, ..., 9009, 9119, 9229, 9339, 9449, 9559, 9669, 9779, 9889, 9999},

Por lo tanto, hay 199 números palíndromos menores que ^10⁴ .

Hay 1099 números palíndromos menores que 10⁵ ^y para otros exponentes de 10ⁿ ^tenemos : 1999, 10999, 19999, 109999, 199999, 1099999, ... (secuencia A070199 en la OEIS ) . A continuación se muestra la cantidad de números palíndromos que tienen alguna otra propiedad:

Los números palíndromos pueden considerarse en sistemas numéricos distintos del decimal . Por ejemplo, los números palíndromos binarios son aquellos con las siguientes representaciones binarias:

0, 1, 11, 101, 111, 1001, 1111, 10001, 10101, 11011, 11111, 100001, ... (secuencia A057148 en el OEIS )

o en decimal:

0, 1, 3, 5, 7, 9, 15, 17, 21, 27, 31, 33, ... (secuencia A006995 en el OEIS )

Los números primos de Fermat y los números primos de Mersenne forman un subconjunto de los números primos palíndromos binarios.

Cualquier número${\displaystyle n}$es palíndromo en todas las bases${\displaystyle b}$con${\displaystyle b>n}$(trivialmente, porque${\displaystyle n}$es entonces un número de un solo dígito), y también en base${\displaystyle n-1}$(porque${\displaystyle n}$es entonces${\displaystyle 11_{n-1}}$). Incluso excluyendo los casos en que el número es menor que la base, la mayoría de los números son palíndromos en más de una base. Por ejemplo,${\ Displaystyle 1221_ {4} = 151_ {8} = 77_ {14} = 55_ {20} = 33_ {34} = 11_ {104}}$,${\displaystyle 1991_{10}=7C7_{16}}$. Un número${\displaystyle n}$nunca es palíndromo en base${\displaystyle b}$si${\displaystyle n/2\leq b\leq n-2}$Además, un número primo${\displaystyle p}$nunca es palíndromo en base${\displaystyle b}$si${\displaystyle {\sqrt {p}}<b<p-1}$.

Un número que no es palíndromo en todas las bases b en el rango 2  ≤ b ≤ n − 2 se puede llamar un número estrictamente no palíndromo . Por ejemplo, el número 6 se escribe como "110" en base 2, "20" en base 3 y "12" en base 4, ninguno de los cuales es un palíndromo. Todos los números estrictamente no palíndromos mayores que 6 son primos. De hecho, si     ${\displaystyle n>6}$es compuesto, entonces o${\displaystyle n=ab}$para algunos${\displaystyle 1<a<b-1}$, en cuyo caso n es el palíndromo "aa" en base${\displaystyle b-1}$o bien es un cuadrado perfecto${\displaystyle n=a^{2}}$, en cuyo caso n es el palíndromo "121" en base 121.${\displaystyle a-1}$(excepto en el caso especial de${\displaystyle n=9=1001_{2}}$). ^{[ 4 ] [ 5 ]}

Los primeros números estrictamente no palíndromos (secuencia A016038 en la OEIS ) son:

0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 11 , 19 , 47 , 53 , 79 , 103 , 137 , 139 , 149 , 163 , 167 , 179 , 223 , 263 , 269 , 283 , 293 , 311, 317, 347, 359, 367, 389, 439, 491, 563, 569, 593, 607, 659, 739, 827, 853, 877, 977, 983, 997, ...

Si los dígitos de un número natural no solo tienen que invertirse en orden, sino también restarse de${\displaystyle b-1}$para devolver la secuencia original, entonces se dice que el número es antipalindrómico . Formalmente, en la descomposición usual de un número natural en sus dígitos${\displaystyle a_{i}}$en base${\displaystyle b}$, un número es antipalindrómico si y solo si${\displaystyle a_{i}=b-1-a_{ki}}$. ^{[ 6 ]}

Los números no palíndromos se pueden combinar con números palíndromos mediante una serie de operaciones. Primero, se invierte el número no palíndromo y el resultado se suma al número original. Si el resultado no es un número palíndromo, se repite el proceso hasta obtener uno. Este número se denomina "palíndromo retardado".

Se desconoce si todos los números no palíndromos pueden emparejarse con números palíndromos de esta manera. Si bien no se ha demostrado que ningún número no pueda emparejarse, muchos no parecen serlo. Por ejemplo, 196 no produce un palíndromo ni siquiera después de 700.000.000 de iteraciones. Cualquier número que nunca se convierta en palíndromo de esta forma se conoce como número de Lychrel .

El 24 de enero de 2017, el número 1.999.291.987.030.606.810 se publicó en la OEIS como A281509 y se anunció como "El palíndromo más grande conocido con mayor retraso". La secuencia de 125 palíndromos de 261 pasos con mayor retraso que preceden a 1.999.291.987.030.606.810 y que no se había informado anteriormente se publicó por separado como A281508 .

La suma de los recíprocos de los números palíndromos es una serie convergente, cuyo valor es aproximadamente 3,37028... (secuencia A118031 en la OEIS ) .

Los números de Scheherazade son un conjunto de números identificados por Buckminster Fuller en su libro Synergetics . ^{[ 7 ]} Fuller no da una definición formal para este término, pero a partir de los ejemplos que da, se puede entender que son aquellos números que contienen un factor del primorial n #, donde n ≥ 13 y es el mayor factor primo en el número. Fuller llamó a estos números números de Scheherazade porque deben tener un factor de 1001. Scheherazade es la narradora de Las mil y una noches , que cuenta una nueva historia cada noche para retrasar su ejecución. Dado que n debe ser al menos 13, el primorial debe ser al menos 1·2·3·5·7·11·13, y 7×11×13 = 1001. Fuller también se refiere a las potencias de 1001 como números de Scheherazade. El primorial más pequeño que contiene un número de Scheherazade es 13# = 30,030.

Fuller señaló que algunos de estos números son palíndromos por grupos de dígitos. Por ejemplo, 17# = 510,510 muestra una simetría de grupos de tres dígitos. Fuller llamó a tales números Dividendos Integrales Sublimemente Recordables de Scheherazade , o números SSRCD. Fuller observa que 1001 elevado a una potencia no solo produce números sublimemente recordables que son palíndromos en grupos de tres dígitos, sino que también los valores de los grupos son los coeficientes binomiales . Por ejemplo,

${\displaystyle (1001)^{6}=1,006,015,020,015,006,001}$

Esta secuencia falla en (1001) ¹³ porque en algunos grupos se toma un dígito de acarreo hacia el grupo de la izquierda. Fuller sugiere escribir estos desbordamientos en una línea aparte. Si se hace esto, usando más líneas de desbordamiento según sea necesario, la simetría se conserva indefinidamente a cualquier potencia. ^{[ 8 ]} Muchos otros números de Scheherazade muestran simetrías similares cuando se expresan de esta manera. ^{[ 9 ]}

En 2018, se publicó un artículo que demostraba que todo entero positivo puede escribirse como la suma de tres números palíndromos en cualquier sistema numérico de base 5 o superior. ^{[ 10 ]} Complementando este artículo, se publicó otro que demostraba que todo entero positivo puede escribirse como la suma de tres números palíndromos en base 3 y en base 4, y cuatro números palíndromos en base 2. ^{[ 11 ]}

• Malcolm E. Lines: Un número para tus pensamientos: hechos y especulaciones sobre los números desde Euclides hasta las computadoras más recientes : CRC Press 1986, ISBN 0-85274-495-1, pág. 61 ( Versión limitada en línea (Google Books) )

• Weisstein, Eric W. "Número palíndromo" . MathWorld .
• Jason Doucette - 196 Palíndromo Quest / Número palíndromo más retrasado
• 196 y otros números de Lychrel
• Sobre los números palíndromos generales en MathPages
• Números palíndromos hasta 100.000. Archivado el 2 de febrero de 2007 en Wayback Machine desde Ask Dr. Math.
• P. De Geest, Cubos palíndromos. Archivado el 25 de marzo de 2016 en Wayback Machine.