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Integración numérica

La integración numérica se utiliza para calcular una aproximación numérica del valor. S {\displaystyle S} , el área bajo la curva definida por F ( incógnita ) {\displaystyle f(x...

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La integración numérica se utiliza para calcular una aproximación numérica del valor.S{\displaystyle S}, el área bajo la curva definida porF(incógnita){\displaystyle f(x)}.

En análisis , la integración numérica comprende una amplia familia de algoritmos para calcular el valor numérico de una integral definida . El término cuadratura numérica (a menudo abreviado como cuadratura ) es más o menos sinónimo de "integración numérica", especialmente cuando se aplica a integrales unidimensionales. Algunos autores se refieren a la integración numérica en más de una dimensión como cubatura ; [ 1 ] otros consideran que "cuadratura" incluye la integración en dimensiones superiores.

El problema fundamental en la integración numérica consiste en calcular una solución aproximada para una integral definida.

∫abF(incógnita)dincógnita{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}

con un grado de precisión determinado. Si f ( x ) es una función suave integrada sobre un número pequeño de dimensiones, y el dominio de integración es acotado, existen muchos métodos para aproximar la integral con la precisión deseada.

La integración numérica tiene sus raíces en el problema geométrico de encontrar un cuadrado con la misma área que una figura plana dada ( cuadratura o cuadratura ), como en la cuadratura del círculo . El término también se utiliza a veces para describir la solución numérica de ecuaciones diferenciales .

Motivación y necesidad

Existen varias razones para llevar a cabo la integración numérica, en contraposición a la integración analítica mediante el cálculo de la antiderivada :

  1. La función integrando f ( x ) puede conocerse solo en ciertos puntos, como los obtenidos mediante muestreo . Algunos sistemas embebidos y otras aplicaciones informáticas pueden requerir integración numérica por este motivo.
  2. Puede que se conozca una fórmula para el integrando, pero puede ser difícil o imposible encontrar una antiderivada que sea una función elemental . Un ejemplo de tal integrando es f ( x ) = exp (− x 2 ) , cuya antiderivada (la función de error , multiplicada por una constante) no puede escribirse en forma elemental .
  3. Puede que sea posible hallar una antiderivada simbólicamente, pero podría ser más sencillo calcular una aproximación numérica que la antiderivada en sí. Esto puede ocurrir si la antiderivada se presenta como una serie o producto infinito, o si su evaluación requiere una función especial que no está disponible.

Historia

El término "integración numérica" ​​aparece por primera vez en 1915 en la publicación A Course in Interpolation and Numeric Integration for the Mathematical Laboratory de David Gibb . [ 2 ]

La cuadratura es un término matemático histórico que significa cálculo de área. Los problemas de cuadratura han sido una de las principales fuentes del análisis matemático . Los matemáticos de la Antigua Grecia , según la doctrina pitagórica , entendían el cálculo de área como el proceso de construir geométricamente un cuadrado con la misma área ( cuadratura ) ; por eso el proceso se denominó "cuadratura". Algunos ejemplos son la cuadratura del círculo , la Luna de Hipócrates y el tratado Cuadratura de la Parábola . Esta construcción debe realizarse únicamente con compás y regla .

Los antiguos babilonios utilizaron la regla trapezoidal para integrar el movimiento de Júpiter a lo largo de la eclíptica . [ 3 ]

Método antiguo para hallar la media geométrica

Para realizar una cuadratura de un rectángulo con lados a y b es necesario construir un cuadrado con el ladoincógnita=ab{\displaystyle x={\sqrt {ab}}}(la media geométrica de a y b ). Para ello, podemos utilizar el siguiente hecho: si trazamos un círculo con la suma de a y b como diámetro, la altura BH (desde el punto de intersección de ambos lados hasta el punto de intersección con el círculo) es igual a su media geométrica. Una construcción geométrica similar resuelve un problema de cuadratura para un paralelogramo y un triángulo.

El área de un segmento de una parábola

Los problemas de cuadratura para figuras curvilíneas son mucho más difíciles. La cuadratura del círculo con compás y regla se demostró imposible en el siglo XIX. Sin embargo, para algunas figuras (por ejemplo, la lúnula de Hipócrates ) es posible realizar una cuadratura. Las cuadraturas de la superficie de una esfera y de un segmento de parábola realizadas por Arquímedes se convirtieron en el mayor logro del análisis antiguo.

  • El área de la superficie de una esfera es igual al cuádruple del área de un círculo máximo de dicha esfera.
  • El área de un segmento de la parábola recortado de ella mediante una línea recta es 4/3 del área del triángulo inscrito en dicho segmento.

Para demostrar los resultados, Arquímedes utilizó el método de agotamiento de Eudoxo .

En la Europa medieval, la cuadratura significaba el cálculo de áreas por cualquier método. Con mayor frecuencia se utilizaba el método de los indivisibles ; era menos riguroso, pero más simple y eficaz. Con su ayuda , Galileo Galilei y Gilles de Roberval hallaron el área de un arco cicloide , Grégoire de Saint-Vincent investigó el área bajo una hipérbola ( Opus Geometricum , 1647), y Alphonse Antonio de Sarasa , discípulo y comentarista de Saint-Vincent, observó la relación de esta área con los logaritmos .

John Wallis algebrizó este método: escribió en su serie Arithmetica Infinitorum (1656) que ahora llamamos integral definida , y calculó sus valores. Isaac Barrow y James Gregory hicieron más progresos: cuadraturas para algunas curvas y espirales algebraicas . Christiaan Huygens realizó con éxito una cuadratura de algunos sólidos de revolución .

La cuadratura de la hipérbola realizada por Saint-Vincent y de Sarasa proporcionó una nueva función , el logaritmo natural , de vital importancia.

Con la invención del cálculo integral surgió un método universal para el cálculo de áreas. En consecuencia, el término "cuadratura" se ha convertido en tradicional, y en su lugar se utiliza más comúnmente la expresión moderna " cálculo de una integral definida univariada ".

Métodos para integrales unidimensionales

Una regla de cuadratura es una aproximación de la integral definida de una función , que generalmente se expresa como una suma ponderada de los valores de la función en puntos específicos dentro del dominio de integración.

Los métodos de integración numérica se pueden describir generalmente como la combinación de evaluaciones del integrando para obtener una aproximación a la integral. El integrando se evalúa en un conjunto finito de puntos denominados puntos de integración , y se utiliza una suma ponderada de estos valores para aproximar la integral. Los puntos de integración y las ponderaciones dependen del método específico utilizado y de la precisión requerida para la aproximación.

Una parte importante del análisis de cualquier método de integración numérica consiste en estudiar el comportamiento del error de aproximación en función del número de evaluaciones del integrando. Un método que produce un error pequeño para un número reducido de evaluaciones suele considerarse superior. Reducir el número de evaluaciones del integrando disminuye el número de operaciones aritméticas involucradas y, por lo tanto, reduce el error total. Además, cada evaluación requiere tiempo y el integrando puede ser arbitrariamente complejo.

Reglas de cuadratura basadas en funciones escalonadas

Se puede realizar una integración numérica de tipo "fuerza bruta", si el integrando se comporta razonablemente bien (es decir, continuo por partes y de variación acotada ), evaluando el integrando con incrementos muy pequeños.

Ilustración de la regla del rectángulo.

Este método más simple aproxima la función mediante una función escalonada (una función constante por partes o un polinomio segmentado de grado cero) que pasa por el punto(a+b2,F(a+b2)){\textstyle \left({\frac {a+b}{2}},f\left({\frac {a+b}{2}}\right)\right)}Esto se conoce como la regla del punto medio o regla del rectángulo .∫abF(incógnita)dincógnita≈(b−a)F(a+b2).{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx (b-a)f\left({\frac {a+b}{2}}\right).}

Reglas de cuadratura basadas en funciones de interpolación

Se puede derivar una amplia gama de reglas de cuadratura mediante la construcción de funciones de interpolación fáciles de integrar. Normalmente, estas funciones de interpolación son polinomios . En la práctica, dado que los polinomios de grado muy alto tienden a oscilar de forma descontrolada , solo se utilizan polinomios de grado bajo, generalmente lineales y cuadráticos.

Ilustración de la regla del trapecio.

La función de interpolación puede ser una línea recta (una función afín , es decir, un polinomio de grado 1) que pasa por los puntos.(a,F(a)){\displaystyle \left(a,f(a)\right)}y(b,F(b)){\displaystyle \left(b,f(b)\right)}Esto se conoce como la regla del trapecio .∫abF(incógnita)dincógnita≈(b−a)(F(a)+F(b)2).{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx (b-a)\left({\frac {f(a)+f(b)}{2}}\right).}

Ilustración de la regla de Simpson.

Para cualquiera de estas reglas, podemos hacer una aproximación más precisa dividiendo el intervalo.[a,b]{\displaystyle [a,b]}en algún númeronorte{\displaystyle n}de subintervalos, calculando una aproximación para cada subintervalo y luego sumando todos los resultados. Esto se denomina regla compuesta , regla extendida o regla iterada . Por ejemplo, la regla trapezoidal compuesta se puede enunciar como ∫abF(incógnita)dincógnita≈b−anorte(F(a)2+∑k=1norte−1(F(a+kb−anorte))+F(b)2),{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{n}}\left({f(a) \over 2}+\sum _{k=1}^{n-1}\left(f\left(a+k{\frac {b-a}{n}}\right)\right)+{f(b) \over 2}\right),}

donde los subintervalos tienen la forma[a+kh,a+(k+1)h]⊂[a,b],{\displaystyle [a+kh,a+(k+1)h]\subset [a,b],}conh=b−anorte{\textstyle h={\frac {b-a}{n}}}yk=0,…,norte−1.{\displaystyle k=0,\ldots ,n-1.}Aquí utilizamos subintervalos de la misma longitud.h{\displaystyle h}pero también se podrían utilizar intervalos de longitud variable.(hk)k{\displaystyle \left(h_{k}\right)_{k}}.

Interpolación con polinomios evaluados en puntos igualmente espaciados en[a,b]{\displaystyle [a,b]}Esto da lugar a las fórmulas de Newton-Cotes , de las cuales la regla del rectángulo y la regla del trapecio son ejemplos. La regla de Simpson , que se basa en un polinomio de segundo orden, también es una fórmula de Newton-Cotes.

Las reglas de cuadratura con puntos igualmente espaciados tienen la muy conveniente propiedad de anidamiento . La regla correspondiente, con cada intervalo subdividido, incluye todos los puntos actuales, por lo que esos valores integrandos pueden reutilizarse.

Si permitimos que varíen los intervalos entre los puntos de interpolación, encontramos otro grupo de fórmulas de cuadratura, como las fórmulas de cuadratura gaussiana . Una regla de cuadratura gaussiana suele ser más precisa que una regla de Newton-Cotes que utiliza el mismo número de evaluaciones de la función, si el integrando es suave (es decir, si es suficientemente diferenciable). Otros métodos de cuadratura con intervalos variables incluyen los métodos de cuadratura de Clenshaw-Curtis (también llamados de Fejér), que permiten el anidamiento.

Las reglas de cuadratura gaussiana no se anidan, pero las fórmulas de cuadratura de Gauss-Kronrod relacionadas sí lo hacen.

Algoritmos adaptativos

La cuadratura adaptativa es un método de integración numérica en el que la integral de una funciónF(incógnita){\displaystyle f(x)}Se aproxima mediante reglas de cuadratura estáticas en subintervalos adaptados de la región de integración. En general, los algoritmos adaptativos son tan eficientes y efectivos como los algoritmos tradicionales para integrandos con comportamiento predecible, pero también son efectivos para integrandos con comportamiento problemático para los que los algoritmos tradicionales pueden fallar.

Métodos de extrapolación

La precisión de una regla de cuadratura del tipo Newton-Cotes generalmente depende del número de puntos de evaluación. El resultado suele ser más preciso a medida que aumenta el número de puntos de evaluación o, equivalentemente, a medida que disminuye el tamaño del paso entre los puntos. Es natural preguntarse cuál sería el resultado si se permitiera que el tamaño del paso se aproximara a cero. Esto se puede responder extrapolando el resultado a partir de dos o más tamaños de paso distintos de cero, utilizando métodos de aceleración en serie como la extrapolación de Richardson . La función de extrapolación puede ser una función polinómica o racional . Los métodos de extrapolación se describen con más detalle en Stoer y Bulirsch (Sección 3.4) y están implementados en muchas de las rutinas de la biblioteca QUADPACK .

Estimación de errores conservadora (a priori)

DejarF{\displaystyle f}tener una primera derivada acotada sobre[a,b],{\displaystyle [a,b],}es decirF∈do1([a,b]).{\displaystyle f\in C^{1}([a,b]).}El teorema del valor medio paraF,{\displaystyle f,}dóndeincógnita∈[a,b),{\displaystyle x\in [a,b),}da (incógnita−a)F′(ξincógnita)=F(incógnita)−F(a),{\displaystyle (x-a)f'(\xi _{x})=f(x)-f(a),} para algunosξincógnita∈(a,incógnita]{\displaystyle \xi _{x}\in (a,x]}Dependiendo deincógnita{\displaystyle x}.

Si nos integramos enincógnita{\displaystyle x}dea{\displaystyle a}ab{\displaystyle b}En ambos lados y tomando los valores absolutos, obtenemos |∫abF(incógnita)dincógnita−(b−a)F(a)|=|∫ab(incógnita−a)F′(ξincógnita)dincógnita|.{\displaystyle \left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx-(b-a)f(a)\right|=\left|\int _{a}^{b}(x-a)f'(\xi _{x})\,dx\right|.}

Podemos aproximar aún más la integral del lado derecho introduciendo el valor absoluto en el integrando y reemplazando el término enF′{\displaystyle f'}por un límite superior

donde el supremo se utilizaba para aproximar.

Por lo tanto, si aproximamos la integral∫abF(incógnita)dincógnita{\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}por la regla de cuadratura(b−a)F(a){\displaystyle (b-a)f(a)}Nuestro error no es mayor que el lado derecho de 1. Podemos convertir esto en un análisis de errores para la suma de Riemann , lo que da una cota superior de norte−12sorber0≤incógnita≤1|F′(incógnita)|{\displaystyle {\frac {n^{-1}}{2}}\sup _{0\leq x\leq 1}\left|f'(x)\right|} para el término de error de esa aproximación en particular. (Tenga en cuenta que este es precisamente el error que calculamos para el ejemploF(incógnita)=incógnita{\displaystyle f(x)=x}Utilizando más derivadas y ajustando la cuadratura, podemos realizar un análisis de error similar mediante una serie de Taylor (con una suma parcial y término de resto) para f . Este análisis de error proporciona una cota superior estricta para el error, si se dispone de las derivadas de f .

Este método de integración se puede combinar con la aritmética de intervalos para producir demostraciones informáticas y cálculos verificados .

Integrales sobre intervalos infinitos

Existen varios métodos para la integración aproximada sobre intervalos no acotados. La técnica estándar implica reglas de cuadratura especialmente derivadas, como la cuadratura de Gauss-Hermite para integrales en toda la recta real y la cuadratura de Gauss-Laguerre para integrales en los reales positivos. [ 4 ] También se pueden utilizar métodos de Monte Carlo, o un cambio de variables a un intervalo finito; por ejemplo, para toda la recta se podría utilizar ∫−∞∞F(incógnita)dincógnita=∫−1+1F(t1−t2)1+t2(1−t2)2dt,{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\int _{-1}^{+1}f\left({\frac {t}{1-t^{2}}}\right){\frac {1+t^{2}}{\left(1-t^{2}\right)^{2}}}\,dt,} y para intervalos semiinfinitos se podría usar ∫a∞F(incógnita)dincógnita=∫01F(a+t1−t)dt(1−t)2,∫−∞aF(incógnita)dincógnita=∫01F(a−1−tt)dtt2,{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{\infty }f(x)\,dx&=\int _{0}^{1}f\left(a+{\frac {t}{1-t}}\right){\frac {dt}{(1-t)^{2}}},\\\int _{-\infty }^{a}f(x)\,dx&=\int _{0}^{1}f\left(a-{\frac {1-t}{t}}\right){\frac {dt}{t^{2}}},\end{aligned}}} como posibles transformaciones. Lectura adicional [ 5 ] .

Integrales multidimensionales

Las reglas de cuadratura analizadas hasta ahora están diseñadas para calcular integrales unidimensionales. Para calcular integrales en múltiples dimensiones, un método consiste en expresar la integral múltiple como integrales unidimensionales repetidas, aplicando el teorema de Fubini (la regla del producto tensorial). Este método exige que las evaluaciones de la función crezcan exponencialmente a medida que aumenta el número de dimensiones. Se conocen tres métodos para superar esta llamada maldición de la dimensionalidad .

En la monografía de Stroud se presentan numerosas técnicas adicionales para formular reglas de integración de cuadratura multidimensional para diversas funciones de ponderación. [ 6 ] La integración en la esfera ha sido revisada por Hesse et al. (2015). [ 7 ]

Montecarlo

Los métodos de Monte Carlo y los métodos cuasi-Monte Carlo son fáciles de aplicar a integrales multidimensionales. Pueden ofrecer mayor precisión para el mismo número de evaluaciones de la función que las integraciones repetidas mediante métodos unidimensionales.

Una amplia clase de métodos Monte Carlo útiles son los llamados algoritmos de Monte Carlo de cadena de Markov , que incluyen el algoritmo de Metropolis-Hastings y el muestreo de Gibbs .

cuadrículas dispersas

Las cuadrículas dispersas fueron desarrolladas originalmente por Smolyak para la cuadratura de funciones de alta dimensión. El método se basa siempre en una regla de cuadratura unidimensional, pero realiza una combinación más sofisticada de resultados univariados. Sin embargo, mientras que la regla del producto tensorial garantiza que los pesos de todos los puntos de cuadratura serán positivos si los pesos de los puntos de cuadratura lo son, la regla de Smolyak no garantiza que todos los pesos sean positivos.

cuadratura bayesiana

La cuadratura bayesiana es un método estadístico para el cálculo numérico de integrales y se enmarca dentro de la estadística probabilística . Permite gestionar completamente la incertidumbre sobre la solución de la integral, expresada como una varianza posterior de un proceso gaussiano .

Relación con ecuaciones diferenciales

El problema de evaluar la integral definida

F(incógnita)=∫aincógnitaF(tú)dtú{\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(u)\,du}

puede reducirse a un problema de valor inicial para una ecuación diferencial ordinaria aplicando la primera parte del teorema fundamental del cálculo . Al diferenciar ambos lados de lo anterior con respecto al argumento x , se observa que la función F satisface

dF(incógnita)dincógnita=F(incógnita),F(a)=0.{\displaystyle {\frac {dF(x)}{dx}}=f(x),\quad F(a)=0.}

Los métodos numéricos para ecuaciones diferenciales ordinarias , como los métodos de Runge-Kutta , pueden aplicarse al problema reformulado y, por lo tanto, utilizarse para evaluar la integral. Por ejemplo, el método estándar de Runge-Kutta de cuarto orden aplicado a la ecuación diferencial produce la regla de Simpson mencionada anteriormente.

La ecuación diferencialF′(incógnita)=F(incógnita){\displaystyle F'(x)=f(x)}tiene una forma especial: el lado derecho contiene solo la variable independiente (aquíincógnita{\displaystyle x}) y no la variable dependiente (aquíF{\displaystyle F}Esto simplifica considerablemente la teoría y los algoritmos. Por lo tanto, el problema de evaluar integrales se estudia mejor como un caso independiente.

Por el contrario, el término "cuadratura" también puede utilizarse para la solución de ecuaciones diferenciales: " resolver por cuadratura " o " reducción a cuadratura " significa expresar su solución en términos de integrales .

Véase también

Referencias

  1. ↑ Weisstein, Eric W. "Cubatura" . MathWorld .
  2. ↑ "Primeros usos conocidos de algunas palabras de las matemáticas (Q)" . jeff560.tripod.com . Consultado el 31 de marzo de 2018 .
  3. ↑ Mathieu Ossendrijver (29 de enero de 2016). "Los antiguos astrónomos babilónicos calcularon la posición de Júpiter a partir del área bajo un gráfico de tiempo-velocidad". Science . 351 ( 6272): 482– 484. Bibcode : 2016Sci...351..482O . doi : 10.1126/science.aad8085 . PMID 26823423. S2CID 206644971 .  
  4. ↑ Leader, Jeffery J. (2004). Análisis numérico y computación científica . Addison Wesley. ISBN 978-0-201-73499-7.
  5. ^ Yuya Suzuki, Nuutti Hyvönen y Toni Karvonen: "Regla trapezoidal transformada por Möbius", Math. comp. vol.95 (2026), págs.1491-1515.
  6. ↑ Stroud, AH (1971). Cálculo aproximado de integrales múltiples . Cliffs, NJ: Prentice-Hall Inc. ISBN 9780130438935.
  7. ↑ Kerstin Hesse, Ian H. Sloan y Robert S. Womersley: Integración numérica en la esfera. En W. Freeden et al. (eds.), Handbook of Geomathematics, Springer: Berlín 2015, doi : 10.1007/978-3-642-54551-1_40
  • Philip J. Davis y Philip Rabinowitz , Métodos de integración numérica .
  • George E. Forsythe , Michael A. Malcolm y Cleve B. Moler , Métodos informáticos para cálculos matemáticos . Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1977. (Véase el capítulo 5).
  • Press, WH ; Teukolsky, SA ; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Capítulo 4. Integración de funciones" , Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3.ª  ed.), Nueva York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
  • Josef Stoer y Roland Bulirsch , Introducción al análisis numérico . Nueva York: Springer-Verlag, 1980. (Véase el capítulo 3).
  • Boyer, CB , Historia de las matemáticas , 2.ª ed. revisada por Uta C. Merzbach , Nueva York: Wiley, 1989 ISBN 0-471-09763-2(Edición de bolsillo de 1991 ISBN) 0-471-54397-7).
  • Eves, Howard , Introducción a la historia de las matemáticas , Saunders, 1990, ISBN 0-03-029558-0,
  • SLSobolev y VLVaskevich: La teoría de las fórmulas de cubatura , Kluwer Academic, ISBN 0-7923-4631-9 (1997).
  • Integración: Antecedentes, simulaciones, etc. en el Instituto de Métodos Numéricos Holísticos.
  • Cuadratura de Lobatto de Wolfram Mathworld
  • Fórmula de cuadratura de Lobatto de la Enciclopedia de Matemáticas
  • Implementaciones de muchas fórmulas de cuadratura y cubatura dentro de la biblioteca gratuita de componentes Tracker .
  • Integrador en línea de SageMath