Función de Pfaff

En matemáticas , las funciones de Pfaff son una clase de funciones cuya derivada puede expresarse en términos de la función original. Fueron introducidas originalmente por Askold Khovanskii en la década de 1970, pero reciben su nombre del matemático alemán Johann Pfaff .

Algunas funciones, al ser diferenciadas , dan un resultado que puede escribirse en términos de la función original. Quizás el ejemplo más simple sea la función exponencial ,${\displaystyle f(x)=e^{x}}$Si derivamos esta función, obtenemos${\displaystyle e^{x}}$de nuevo; es decir,

${\displaystyle f'(x)=e^{x}=f(x).}$

Otro ejemplo es la función recíproca ,${\displaystyle g(x)=1/x}$Al derivar esta función, vemos que

${\displaystyle g^{\prime }(x)={\frac {-1}{x^{2}}}=-g(x)^{2}.}$

Es posible que otras funciones no tengan la propiedad anterior, pero su derivada puede escribirse en términos de funciones como las anteriores. Por ejemplo, si tomamos la función${\displaystyle h(x)=e^{x}\log x}$, tenemos eso

${\displaystyle h^{\prime }(x)=e^{x}\log x+x^{-1}e^{x}=h(x)+f(x)g(x).}$

Funciones como estas forman los eslabones de una denominada cadena de Pfaff . Dicha cadena es una secuencia de funciones.${\displaystyle f_{1},f_{2},\dots }$con la propiedad de que si derivamos cualquiera de las funciones en esta cadena, entonces el resultado se puede escribir en términos de la función misma y todas las funciones que la preceden en la cadena (específicamente como un polinomio en esas funciones y las variables involucradas). Por lo tanto, con las funciones anteriores, tenemos que${\displaystyle f,g,h}$es una cadena de Pfaff.

Una función de Pfaff es entonces simplemente un polinomio en las funciones que aparecen en una cadena de Pfaff y el argumento de la función. Así, con la cadena de Pfaff que acabamos de mencionar, funciones como${\displaystyle F(x)=x^{3}f(x)^{2}-2g(x)h(x)}$son pfaffianos.

Dejar${\displaystyle U}$ser un dominio abierto en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$Una cadena de orden pfaffiana${\displaystyle r\geq 0}$y título${\displaystyle \alpha \geq 1}$en${\displaystyle U}$es una secuencia de funciones analíticas reales${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{r}}$en${\displaystyle U}$ecuaciones diferenciales satisfactorias

${\displaystyle {\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}=P_{i,j}({\boldsymbol {x}},f_{1}({\boldsymbol {x}}),\ldots ,f_{i}({\boldsymbol {x}}))}$

para${\displaystyle i=1,\dots ,r}$, dónde${\displaystyle P_{i,j}\in \mathbb {R} [x_{1},\dots ,x_{n},y_{1},\dots ,y_{i}]}$son polinomios de grado menor o igual a${\displaystyle \alpha }$. Una función${\displaystyle f}$en${\displaystyle U}$se denomina función pfaffiana de orden${\displaystyle r}$y título${\displaystyle (\alpha,\beta)}$si

${\displaystyle f({\boldsymbol {x}})=P({\boldsymbol {x}},f_{1}({\boldsymbol {x}}),\ldots ,f_{r}({\boldsymbol {x}})),\,}$

dónde${\displaystyle P\in \mathbb {R} [x_{1},\dots ,x_{n},y_{1},\dots ,y_{r}]}$es un polinomio de grado${\displaystyle \beta \geq 1}$Los números${\displaystyle r}$,${\displaystyle \alpha }$, y${\displaystyle \beta }$Se conocen colectivamente como el formato de la función de Pfaff y proporcionan una medida útil de su complejidad.

Como ejemplo, volvamos a las funciones de la sección anterior. Establecer${\displaystyle U=(0,\infty )\subseteq \mathbb {R} }$y dejar${\displaystyle f_{1}(x)=e^{x}}$,${\displaystyle f_{2}(x)=1/x}$, y${\displaystyle f_{3}(x)=e^{x}\log x}$Todas estas son funciones analíticas reales en${\displaystyle U}$que satisfacen las ecuaciones diferenciales

${\displaystyle f_{1}'(x)=P_{1}(x,f_{1}(x)),\quad f_{2}'(x)=P_{2}(x,f_{1}(x),f_{2}(x)),\quad f'_{3}(x)=P_{3}(x,f_{1}(x),f_{2}(x),f_{3}(x)),}$

dónde

${\displaystyle P_{1}(x,y_{1})=y_{1},\quad P_{2}(x,y_{1},y_{2})=-y_{2}^{2},\quad P_{3}(x,y_{1},y_{2},y_{3})=y_{1}y_{2}+y_{3}}$

son todos polinomios reales de grado menor o igual que${\displaystyle 2}$. De este modo${\displaystyle f_{1},f_{2},f_{3}}$es una cadena de orden pfaffiana${\displaystyle r=3}$y título${\displaystyle \alpha =2}$en${\displaystyle U}$. Además,${\displaystyle f_{3}'}$es una función de orden de Pfaff${\displaystyle 3}$y título${\displaystyle (2,\deg P_{3})=(2,1)}$.

• Los ejemplos más triviales de funciones de Pfaff son las funciones polinómicas. Dicha función será un polinomio.${\displaystyle p}$en una cadena de orden pfaffiana${\displaystyle r=0}$; es decir, la cadena sin funciones. Dicha función tendrá${\displaystyle \alpha =0}$y${\displaystyle \beta =\deg p}$.
• Quizás la función de Pfaff no trivial más simple sea${\displaystyle f(x)=e^{x}}$Este es Pfaffian con orden${\displaystyle r=1}$y${\displaystyle \alpha =\beta =1}$debido a la ecuación diferencial${\displaystyle f'=f}$.
• De forma recursiva, se puede definir${\displaystyle f_{1}(x)=\exp(x)}$y${\displaystyle f_{m+1}(x)=\exp(f_{m}(x))}$para${\displaystyle 1\leq m<r}$. Entonces${\displaystyle {f_{m}}^{\prime }=f_{1},f_{2}\cdots f_{m}}$. Así que esta es una cadena de orden pfaffiana${\displaystyle r}$y título${\displaystyle \alpha =r}$.
• Todas las funciones algebraicas son pfaffianas en dominios adecuados, al igual que las funciones hiperbólicas . Las funciones trigonométricas en intervalos acotados son pfaffianas, pero deben formarse indirectamente. Por ejemplo, la función${\displaystyle \cos(x)}$es un polinomio en la cadena de Pfaff${\displaystyle \tan(x/2),\cos ^{2}(x/2)}$en el intervalo${\displaystyle (-\pi ,\pi )}$.
• De hecho, todas las funciones elementales y las funciones de Liouvillian son pfaffianas. ^{[ nota 1 ]}

Considere la estructura${\displaystyle \mathbb {R} =(\mathbb {R} ,+,-,\cdot ,<,0,1)}$, el campo ordenado de los números reales. Andrei Gabrielov demostró que la estructura obtenida al comenzar con${\displaystyle \mathbb {R} }$y añadiendo un símbolo de función para cada función analítica restringida al cuadro de unidades.${\displaystyle [0,1]^{m}}$es modelo completo . ^{[ 1 ]} Es decir, cualquier conjunto definible en esta estructura${\displaystyle \mathbb {R} _{\textrm {an}}}$era simplemente la proyección de algún conjunto de dimensiones superiores definido por identidades y desigualdades que involucran estas funciones analíticas restringidas.

Alex Wilkie demostró que se obtiene el mismo resultado si en lugar de sumar todas las funciones analíticas restringidas, simplemente se suma la función exponencial no restringida .${\displaystyle \mathbb {R} }$para obtener el campo real ordenado con exponenciación,${\displaystyle \mathbb {R} _{\textrm {exp}}}$, un resultado conocido como el teorema de Wilkie . ^{[ 2 ]} Wilkie también abordó la cuestión de qué conjuntos finitos de funciones analíticas podrían agregarse a${\displaystyle \mathbb {R} }$para obtener un resultado de completitud del modelo. Resultó que agregar cualquier cadena de Pfaff restringida a la caja${\displaystyle [0,1]^{m}}$daría el mismo resultado. En particular, se pueden agregar todas las funciones de Pfaff a${\displaystyle \mathbb {R} }$para obtener la estructura${\displaystyle \mathbb {R} _{\textrm {Pfaff}}}$como una variante del resultado de Gabrielov. El resultado sobre la exponenciación no es un caso especial de este resultado (aunque exp es una cadena de Pfaff en sí misma), ya que se aplica a la función exponencial no restringida.

Estrechamente relacionados con la completitud del modelo están los resultados sobre la o-minimidad : el resultado anterior de Wilkie demostró que la estructura${\displaystyle \mathbb {R} _{\textrm {Pfaff}}}$es una estructura o-mínima , mientras que van den Dries y Miller ^{[ 3 ]} demostraron que la estructura${\displaystyle \mathbb {R} _{{\textrm {an}},{\textrm {exp}}}}$La combinación de funciones analíticas restringidas y la función exponencial no restringida es o-minimal .

Se dice que las ecuaciones anteriores que definen una cadena de Pfaff satisfacen una condición triangular, ya que la derivada de cada función sucesiva en la cadena es un polinomio en una variable adicional. Por lo tanto, si se escriben una tras otra, aparece una figura triangular:

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{1}^{\prime }&=P_{1}(x,f_{1})\\f_{2}^{\prime }&=P_{2}(x,f_{1},f_{2})\\f_{3}^{\prime }&=P_{3}(x,f_{1},f_{2},f_{3}),\end{aligned}}}$

y así sucesivamente. Si se relaja esta condición de triangularidad de modo que la derivada de cada función en la cadena sea un polinomio en todas las demás funciones de la cadena, entonces la cadena de funciones se conoce como una cadena noetheriana , y una función construida como un polinomio en esta cadena se llama una función noetheriana . ^{[ 4 ]} Así, por ejemplo, una cadena noetheriana de orden tres está compuesta por tres funciones${\displaystyle f_{1},f_{2},f_{3}}$, satisfaciendo las ecuaciones

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{1}^{\prime }&=P_{1}(x,f_{1},f_{2},f_{3})\\f_{2}^{\prime }&=P_{2}(x,f_{1},f_{2},f_{3})\\f_{3}^{\prime }&=P_{3}(x,f_{1},f_{2},f_{3}).\end{aligned}}}$

El nombre proviene del hecho de que el anillo generado por las funciones en dicha cadena es noetheriano . ^{[ 5 ]}

Cualquier cadena de Pfaff es también una cadena de Noether (las variables adicionales en cada polinomio son simplemente redundantes en este caso), pero no toda cadena de Noether es de Pfaff: por ejemplo, si tomamos${\displaystyle f_{1}(x)=\sin(x)}$y${\displaystyle f_{2}(x)=\cos(x)}$entonces tenemos las ecuaciones

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{1}^{\prime }(x)&=f_{2}(x)\\f_{2}^{\prime }(x)&=-f_{1}(x),\end{aligned}}}$

y esto se cumple para todos los números reales, así que${\displaystyle f_{1},f_{2}}$es una cadena noetheriana en todo${\displaystyle \mathbb {R} }$. Pero no hay ningún polinomio${\displaystyle P(x,y)}$de tal manera que la derivada de${\displaystyle \sin(x)}$se puede escribir como${\displaystyle P(x,\sin(x))}$y por lo tanto esta cadena no es Pfaffiana.