Categoría de fibras

Si${\displaystyle \phi :F\to E}$es un functor entre dos categorías y${\displaystyle S}$es un objeto de${\displaystyle E}$, entonces la subcategoría de${\displaystyle F}$compuesto por esos objetos${\displaystyle x}$para qué${\displaystyle \phi (x)=S}$y esos morfismos${\displaystyle m}$satisfactorio${\displaystyle \phi (m)={\text{id}}_{S}}$, se denomina categoría de fibra (o fibra ) sobre${\displaystyle S}$y se denota${\displaystyle F_{S}}$. Los morfismos de${\displaystyle F_{S}}$se llaman${\displaystyle S}$-morfismos y para${\displaystyle x,y}$objetos de${\displaystyle F_{S}}$, el conjunto de${\displaystyle S}$-morfismos se denota por${\displaystyle {\text{Hom}}_{S}(x,y)}$La imagen por${\displaystyle \phi }$de un objeto o un morfismo en${\displaystyle F}$se llama su proyección (por${\displaystyle \phi }$). Si${\displaystyle f}$es un morfismo de${\displaystyle E}$, entonces esos morfismos de${\displaystyle F}$ese proyecto a${\displaystyle f}$se llaman${\displaystyle f}$-morfismos y el conjunto de${\displaystyle f}$-morfismos entre objetos${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$en${\displaystyle F}$se denota por${\displaystyle {\text{Hom}}_{f}(x,y)}$.

Un morfismo${\displaystyle m:x\to y}$en${\displaystyle F}$se llama${\displaystyle \phi }$-cartesiana (o simplemente cartesiana ) si satisface la siguiente condición:

si${\displaystyle f:T\to S}$es la proyección de${\displaystyle m}$y si${\displaystyle n:z\to y}$es un${\displaystyle f}$-morfismo, entonces hay precisamente uno${\displaystyle T}$-morfismo${\displaystyle a:z\to x}$de tal manera que${\displaystyle m\circ a=n}$.

Un morfismo cartesiano${\displaystyle m:x\to y}$se denomina imagen inversa de su proyección${\displaystyle f=\phi (m)}$; el objeto${\displaystyle x}$se llama imagen inversa de${\displaystyle y}$por${\displaystyle f}$.

Los morfismos cartesianos de una categoría de fibra${\displaystyle F_{S}}$son precisamente los isomorfismos de${\displaystyle F_{S}}$En general, puede haber más de un morfismo cartesiano que se proyecte a un morfismo dado.${\displaystyle f:T\to S}$, posiblemente con diferentes fuentes; por lo tanto, puede haber más de una imagen inversa de un objeto dado.${\displaystyle y}$en${\displaystyle F_{S}}$por${\displaystyle f}$Sin embargo, es una consecuencia directa de la definición que dos imágenes inversas de este tipo sean isomorfas en${\displaystyle F_{T}}$.

Un functor${\displaystyle \phi :F\to E}$también se le llama${\displaystyle E}$-categoría , o se dice que hace${\displaystyle F}$en un${\displaystyle E}$-categoría o una categoría superior${\displaystyle E}$. Un${\displaystyle E}$-functor de un${\displaystyle E}$-categoría${\displaystyle \phi :F\to E}$a un${\displaystyle E}$-categoría${\displaystyle \psi :G\to E}$es un functor${\displaystyle \alpha :F\to G}$de tal manera que${\displaystyle \psi \circ \alpha =\phi }$.${\displaystyle E}$Las -categorías forman de manera natural una 2-categoría , siendo los 1-morfismos${\displaystyle E}$-functores y 2-morfismos siendo transformaciones naturales entre${\displaystyle E}$-funtores cuyos componentes se encuentran en alguna fibra.

Un${\displaystyle E}$-functor entre dos${\displaystyle E}$-categorías se denomina functor cartesiano si toma morfismos cartesianos a morfismos cartesianos. Functores cartesianos entre dos${\displaystyle E}$-categorías${\displaystyle F,G}$formar una categoría${\displaystyle {\text{Carrito}}_{E}(F,G)}$, con transformaciones naturales como morfismos. Un caso especial se proporciona al considerar${\displaystyle E}$como un${\displaystyle E}$-categoría a través del functor identidad: luego un functor cartesiano de${\displaystyle E}$a un${\displaystyle E}$-categoría${\displaystyle F}$se denomina sección cartesiana . Por lo tanto, una sección cartesiana consiste en la elección de un objeto.${\displaystyle x_{S}}$en${\displaystyle F_{S}}$para cada objeto${\displaystyle S}$en${\displaystyle E}$y para cada morfismo${\displaystyle f:T\to S}$una elección de una imagen inversa${\displaystyle m_{f}:x_{T}\to x_{S}}$. Una sección cartesiana es, por lo tanto, un sistema (estrictamente) compatible de imágenes inversas sobre objetos de${\displaystyle E}$. La categoría de secciones cartesianas de${\displaystyle F}$se denota por

${\displaystyle {\underset {\longleftarrow }{\mathrm {Lim} }}(F/E)=\mathrm {Carro} _{E}(E,F).}$

En el caso importante donde${\displaystyle E}$tiene un objeto terminal${\displaystyle e}$(por lo tanto, en particular cuando${\displaystyle E}$es un topos o la categoría${\displaystyle E_{/S}}$de flechas con objetivo${\displaystyle S}$en${\displaystyle E}$) el functor

${\displaystyle \epsilon \colon {\underset {\longleftarrow }{\mathrm {Lim} }}(F/E)\to F_{e},\qquad s\mapsto s(e)}$

es totalmente fiel (Lema 5.7 de Giraud (1964)).

La definición técnicamente más flexible y económica de categorías fibradas se basa en el concepto de morfismos cartesianos. Es equivalente a una definición en términos de clivajes , siendo esta última la definición original presentada en Grothendieck (1959); la definición en términos de morfismos cartesianos fue introducida en Grothendieck (1971) entre 1960 y 1961.

Un${\displaystyle E}$categoría${\displaystyle \phi :F\to E}$es una categoría de fibra (o una categoría de fibra)${\displaystyle E}$-categoría , o una categoría fibrosa sobre${\displaystyle E}$) si cada morfismo${\displaystyle f}$de${\displaystyle E}$cuyo codominio está en el rango de proyección tiene al menos una imagen inversa, y además la composición${\displaystyle m\circ n}$de cualesquiera dos morfismos cartesianos${\displaystyle m,n}$en${\displaystyle F}$siempre es cartesiano. En otras palabras, un${\displaystyle E}$Una categoría es una categoría fibrada si las imágenes inversas siempre existen (para morfismos cuyos codominios están en el rango de proyección) y son transitivas .

Si${\displaystyle E}$tiene un objeto terminal${\displaystyle e}$y si${\displaystyle F}$está recubierto de fibras${\displaystyle E}$, entonces el functor${\displaystyle \epsilon }$de secciones cartesianas a${\displaystyle F_{e}}$La definición al final de la sección anterior es una equivalencia de categorías y, además, sobreyectiva sobre objetos.

Si${\displaystyle F}$es una fibra${\displaystyle E}$-categoría, siempre es posible, para cada morfismo${\displaystyle f:T\to S}$en${\displaystyle E}$y cada objeto${\displaystyle y}$en${\displaystyle F_{S}}$, elegir (utilizando el axioma de elección ) precisamente una imagen inversa${\displaystyle m:x\to y}$La clase de morfismos así seleccionados se llama escisión y los morfismos seleccionados se llaman morfismos de transporte (de la escisión). Una categoría fibrada junto con una escisión se llama categoría hendida . Una escisión se llama normalizada si los morfismos de transporte incluyen todas las identidades en${\displaystyle F}$Esto significa que las imágenes inversas de los morfismos identidad se eligen como morfismos identidad. Evidentemente, si existe una escisión, se puede elegir que esté normalizada; a continuación, consideraremos únicamente escisiones normalizadas.

La elección de una escisión (normalizada) para una fibra${\displaystyle E}$-categoría${\displaystyle F}$especifica, para cada morfismo${\displaystyle f:T\to S}$en${\displaystyle E}$, un functor${\displaystyle f^{*}:F_{S}\to F_{T}}$; sobre objetos${\displaystyle f^{*}}$es simplemente la imagen inversa por el morfismo de transporte correspondiente, y en los morfismos se define de manera natural por la propiedad universal definitoria de los morfismos cartesianos. La operación que asocia a un objeto${\displaystyle S}$de${\displaystyle E}$la categoría de fibra${\displaystyle F_{S}}$y a un morfismo${\displaystyle f}$el functor de imagen inversa${\displaystyle f^{*}}$es casi un functor contravariante de${\displaystyle E}$a la categoría de categorías. Sin embargo, en general no conmuta estrictamente con la composición de morfismos. En cambio, si${\displaystyle f:T\to S}$y${\displaystyle g:U\to T}$son morfismos en${\displaystyle E}$, entonces existe un isomorfismo de functores

${\displaystyle c_{f,g}\colon \quad g^{*}f^{*}\to (f\circ g)^{*}.}$

Estos isomorfismos satisfacen las dos compatibilidades siguientes:

1. ${\displaystyle c_{f,\mathrm {id} _{T}}=c_{\mathrm {id} _{S},f}=\mathrm {id} _{f^{*}}}$
2. para tres morfismos consecutivos${\displaystyle h,g,f\colon \quad V\to U\to T\to S}$y objeto${\displaystyle x\in F_{S}}$Se cumple lo siguiente:${\displaystyle c_{f,g\circ h}\cdot c_{g,h}(f^{*}(x))=c_{f\circ g,h}(x)\cdot h^{*}(c_{f,g}(x)).}$

Se puede demostrar (véase Grothendieck (1971), sección 8) que, inversamente, cualquier colección de functores${\displaystyle f^{*}:F_{S}\to F_{T}}$junto con isomorfismos${\displaystyle c_{f,g}}$Al satisfacer las compatibilidades anteriores, se define una categoría hendida. Estas colecciones de functores de imagen inversa proporcionan una visión más intuitiva de las categorías fibradas; y, de hecho, fue en términos de dichos functores de imagen inversa compatibles que se introdujeron las categorías fibradas en Grothendieck (1959).

El artículo de Gray al que se hace referencia más adelante establece analogías entre estas ideas y la noción de fibración de espacios.

Estas ideas se simplifican en el caso de los grupoides , como se muestra en el artículo de Brown al que se hace referencia más adelante, que obtiene una familia útil de secuencias exactas a partir de una fibración de grupoides.

Una escisión (normalizada) tal que la composición de dos morfismos de transporte es siempre un morfismo de transporte se llama escisión , y una categoría fibrada con una escisión se llama categoría escindida (fibrada) . En términos de functores de imagen inversa, la condición de ser una escisión significa que la composición de functores de imagen inversa correspondientes a morfismos componibles${\displaystyle f,g}$en${\displaystyle E}$es igual al functor de imagen inversa correspondiente a${\displaystyle f\circ g}$. En otras palabras, los isomorfismos de compatibilidad${\displaystyle c_{f,g}}$De la sección anterior, todas las identidades pertenecen a una categoría dividida. Por lo tanto, dividida${\displaystyle E}$Las categorías corresponden exactamente a los functores verdaderos de${\displaystyle E}$a la categoría de categorías.

A diferencia de las escisiones, no todas las categorías de fibras admiten divisiones. Para un ejemplo, véase más abajo .

Se puede invertir la dirección de las flechas en las definiciones anteriores para llegar a los conceptos correspondientes de morfismos co-cartesianos, categorías co-fibradas y categorías co-fibradas escindidas (o categorías co-escindidas). Más precisamente, si${\displaystyle \phi :F\to E}$es un functor, entonces un morfismo${\displaystyle m:x\to y}$en${\displaystyle F}$Se denomina co-cartesiana si es cartesiana para el functor opuesto.${\displaystyle \phi ^{\text{op}}:F^{\text{op}}\to E^{\text{op}}}$. Entonces${\displaystyle m}$También se le llama imagen directa y${\displaystyle y}$una imagen directa de${\displaystyle x}$para${\displaystyle f=\phi (m)}$. Una fibra mixta${\displaystyle E}$-categoría es una${\displaystyle E}$-categoría tal que existe una imagen directa para cada morfismo en${\displaystyle E}$y que la composición de imágenes directas es una imagen directa. Una co-escisión y una co-división se definen de manera similar, correspondiendo a functores de imagen directa en lugar de functores de imagen inversa.

Las categorías se entrelazan sobre una categoría fija.${\displaystyle E}$formar una 2 categorías${\displaystyle \mathbf {Fib} (E)}$donde la categoría de morfismos entre dos categorías fibradas${\displaystyle F}$y${\displaystyle G}$se define como la categoría${\displaystyle {\text{Carrito}}_{E}(F,G)}$de functores cartesianos de${\displaystyle F}$a${\displaystyle G}$.

De manera similar, las categorías divididas sobre${\displaystyle E}$formar una 2 categorías${\displaystyle \mathbf {Scin} (E)}$(del francés catégorie scindée ), donde la categoría de morfismos entre dos categorías escindidas${\displaystyle F}$y${\displaystyle G}$es la subcategoría completa${\displaystyle {\text{Scin}}_{E}(F,G)}$de${\displaystyle E}$-funtores de${\displaystyle F}$a${\displaystyle G}$que consiste en aquellos functores que transforman cada morfismo de transporte de${\displaystyle F}$en un morfo de transporte de${\displaystyle G}$Cada uno de esos morfismos de división${\displaystyle E}$-categorías también es un morfismo de${\displaystyle E}$-categorías de fibras, es decir,${\displaystyle {\text{Scin}}_{E}(F,G)\subset {\text{Cart}}_{E}(F,G)}$.

Existe un 2-functor olvidadizo natural.${\displaystyle i:\mathbf {Scin} (E)\to \mathbf {Fib} (E)}$que simplemente olvida la división.

Si bien no todas las categorías fibradas admiten una división, cada categoría fibrada es, de hecho, equivalente a una categoría dividida. En efecto, existen dos formas canónicas de construir una categoría dividida equivalente para una categoría fibrada dada.${\displaystyle F}$encima${\displaystyle E}$. Más precisamente, el 2-functor olvidadizo${\displaystyle i:\mathbf {Scin} (E)\to \mathbf {Fib} (E)}$admite un 2-adjunto derecho${\displaystyle S}$y un 2-adjunto izquierdo${\displaystyle L}$(Teoremas 2.4.2 y 2.4.4 de Giraud 1971), y${\displaystyle S(F)}$y${\displaystyle L(F)}$son las dos categorías divididas asociadas. Los functores de adjunción${\displaystyle S(F)\to F}$y ${\displaystyle F\to L(F)}$son tanto cartesianas como equivalentes ( ibid .). Sin embargo, mientras que su composición${\displaystyle S(F)\to L(F)}$es una equivalencia (de categorías, y de hecho de categorías fibradas), no es en general un morfismo de categorías escindidas. Por lo tanto, las dos construcciones difieren en general. Las dos construcciones anteriores de categorías escindidas se utilizan de manera crítica en la construcción de la pila asociada a una categoría fibrada (y en particular la pila asociada a una pre-pila ).

1. El functor${\displaystyle {\text{Ob}}:{\textbf {Cat}}\to {\textbf {Set}}}$, enviar una categoría a su conjunto de objetos, es una fibración. Para un conjunto${\displaystyle S}$La fibra consta de categorías${\displaystyle C}$con${\displaystyle {\text{Ob}}(C)=S}$Las flechas cartesianas son los functores totalmente fieles.
2. Categorías de flechas : Para cualquier categoría${\displaystyle E}$la categoría de flechas${\displaystyle A(E)}$en${\displaystyle E}$tiene como objetos los morfismos en${\displaystyle E}$y como morfismos los cuadrados conmutativos en${\displaystyle E}$(más precisamente, un morfismo de${\displaystyle f:X\to T}$a${\displaystyle g:Y\to S}$consta de morfismos${\displaystyle a:X\to Y}$y${\displaystyle b:T\to S}$de tal manera que${\displaystyle bf=ga}$). El functor que lleva una flecha a su objetivo hace${\displaystyle A(E)}$en un${\displaystyle E}$-categoría; para un objeto${\displaystyle S}$de${\displaystyle E}$la fibra${\displaystyle E_{S}}$es la categoría${\displaystyle E_{/S}}$de${\displaystyle S}$-objetos en${\displaystyle E}$, es decir, flechas en${\displaystyle E}$con objetivo${\displaystyle S}$. Morfismos cartesianos en${\displaystyle A(E)}$son precisamente los cuadrados cartesianos en${\displaystyle E}$y por lo tanto${\displaystyle A(E)}$está recubierto de fibras${\displaystyle E}$precisamente cuando existen productos de fibra en${\displaystyle E}$.
3. Fibraciones de grafos : Cada grafo dirigido${\displaystyle G}$genera libremente una categoría${\displaystyle G^{*}}$que tiene los nodos de${\displaystyle G}$como objetos y los caminos de${\displaystyle G}$como flechas (la composición es concatenación, y los caminos vacíos que apuntan a cada nodo son las identidades). Un homomorfismo de grafos${\displaystyle \varphi \colon G\to B}$es una fibración de grafos si y solo si el functor${\displaystyle \varphi ^{*}\colon G^{*}\to B^{*}}$mapeo de rutas a rutas usando${\displaystyle \varphi }$es una fibración.
4. Paquetes de fibra : Los productos de fibra existen en la categoría${\displaystyle {\text{Top}}}$de espacios topológicos y, por lo tanto, según el ejemplo anterior${\displaystyle A({\text{Top}})}$está recubierto de fibras${\displaystyle {\text{Top}}}$. Si${\displaystyle {\text{Fib}}}$es la subcategoría completa de${\displaystyle A({\text{Top}})}$que consisten en flechas que son mapas de proyección de haces de fibras , entonces${\displaystyle {\text{Fib}}_{S}}$es la categoría de haces de fibra en${\displaystyle S}$ y${\displaystyle {\text{Fib}}}$ está recubierto de fibras${\displaystyle {\text{Top}}}$. La elección de una escisión equivale a la elección de functores de imagen inversa (o de retroceso ) ordinarios para fibrados.
5. Paquetes vectoriales : De manera similar a los ejemplos anteriores, las proyecciones${\displaystyle p:V\to S}$de haces vectoriales reales (complejos) a sus espacios base forman una categoría${\displaystyle {\text{Vect}}_{\mathbb {R} }}$(${\displaystyle {\text{Vect}}_{\mathbb {C} }}$) encima${\displaystyle {\text{Top}}}$(morfismos de haces vectoriales que respetan la estructura del espacio vectorial de las fibras).${\displaystyle {\text{Top}}}$La categoría - también es fibrada, y los functores de imagen inversa son los functores de retroceso ordinarios para haces vectoriales. Estas categorías fibradas son subcategorías (no completas) de${\displaystyle {\text{Fib}}}$.
6. Haces en espacios topológicos : Los functores de imagen inversa de haces hacen las categorías${\displaystyle {\text{Sh}}(S)}$de haces en espacios topológicos${\displaystyle S}$en una categoría fibrosa (escindida)${\displaystyle {\text{Sh}}}$encima${\displaystyle {\text{Top}}}$. Esta categoría de fibras puede describirse como la subcategoría completa de${\displaystyle A({\text{Top}})}$que consisten en espacios étalé de haces. Al igual que con los haces vectoriales, los haces de grupos y anillos también forman categorías fibradas de${\displaystyle {\text{Top}}}$.
7. Haz de hendiduras en topói : Si${\displaystyle E}$es un topos y${\displaystyle S}$es un objeto en${\displaystyle E}$, la categoría${\displaystyle E_{S}}$de${\displaystyle S}$-objetos es también un topos, interpretado como la categoría de haces en${\displaystyle S}$. Si${\displaystyle f:T\to S}$es un morfismo en${\displaystyle E}$, el functor de imagen inversa${\displaystyle f^{*}}$se puede describir de la siguiente manera: para un haz${\displaystyle F}$en${\displaystyle E_{S}}$y un objeto${\displaystyle p:U\to T}$en${\displaystyle E_{T}}$uno tiene${\displaystyle f^{*}F(U)={\text{Hom}}_{T}(U,f^{*}F)}$igual${\displaystyle {\text{Hom}}_{S}(f\circ p,F)=F(U)}$Estas imágenes inversas hacen las categorías${\displaystyle E_{S}}$en una categoría de fibra dividida en${\displaystyle E}$Esto se puede aplicar en particular a los topos "grandes".${\displaystyle TOP}$de espacios topológicos.
8. Haces cuasi-coherentes sobre esquemas : Los haces cuasi-coherentes forman una categoría fibrada sobre la categoría de esquemas . Este es uno de los ejemplos que motivan la definición de categorías fibradas.
9. Categoría de fibra que no admite división : Un grupo${\displaystyle G}$puede considerarse como una categoría con un objeto y los elementos de${\displaystyle G}$como los morfismos, la composición de morfismos viene dada por la ley de grupo. Un homomorfismo de grupo${\displaystyle f:G\to H}$entonces puede considerarse como un functor, lo que hace${\displaystyle G}$en un${\displaystyle H}$-categoría. Se puede comprobar que en esta configuración todos los morfismos en${\displaystyle G}$son cartesianas; por lo tanto${\displaystyle G}$está recubierto de fibras${\displaystyle H}$precisamente cuando${\displaystyle f}$es sobreyectiva. Una división en esta configuración es una sección (de teoría de conjuntos) de${\displaystyle f}$que conmuta estrictamente con la composición, o en otras palabras una sección de${\displaystyle f}$que también es un homomorfismo. Pero como es bien sabido en la teoría de grupos , esto no siempre es posible (se puede tomar la proyección en una extensión de grupo no escindida ).
10. Categoría cofibrada de haces : El functor de imagen directa de haces convierte las categorías de haces en espacios topológicos en una categoría cofibrada. La transitividad de la imagen directa demuestra que esta categoría es incluso naturalmente coescindida.

Uno de los principales ejemplos de categorías fibradas en grupoides proviene de objetos grupoides internos a una categoría.${\displaystyle {\mathcal {C}}}$. Entonces, dado un objeto grupoide

${\displaystyle x{\overset {s}{\underset {t}{\rightrightarrows }}}y}$

Hay un objeto grupoide asociado

${\displaystyle h_{x}{\overset {s}{\underset {t}{\rightrightarrows }}}h_{y}}$

en la categoría de functores contravariantes${\displaystyle {\underline {\text{Hom}}}({\mathcal {C}}^{op},{\text{Sets}})}$del incrustamiento de Yoneda . Dado que este diagrama se aplica a un objeto${\displaystyle z\in {\text{Ob}}({\mathcal {C}})}$proporciona un grupoide interno a los conjuntos

${\displaystyle h_{x}(z){\overset {s}{\underset {t}{\rightrightarrows }}}h_{y}(z)}$

Hay un pequeño grupoide asociado.${\displaystyle {\mathcal {G}}}$Esto da como resultado un 2-functor contravariante.${\displaystyle F:{\mathcal {C}}^{op}\to {\text{Groupoids}}}$y utilizando la construcción de Grothendieck , esto da una categoría fibrada en grupoides sobre${\displaystyle {\mathcal {C}}}$. Nótese que la categoría de fibra sobre un objeto es simplemente el grupoide asociado al grupoide original en conjuntos.