Matriz ortogonal

Las matrices ortogonales más simples son las matrices de 1 × 1 [1] y [−1], que podemos interpretar como la identidad y una reflexión de la línea real que pasa por el origen .

Las matrices de 2 × 2 tienen la forma $${\displaystyle {\begin{bmatrix}p&t\\q&u\end{bmatrix}},}$$ cuyas exigencias de ortogonalidad satisfacen las tres ecuaciones$${\displaystyle {\begin{aligned}1&=p^{2}+t^{2},\\1&=q^{2}+u^{2},\\0&=pq+tu.\end{aligned}}}$$

En consideración de la primera ecuación, sin pérdida de generalidad, sea p = cos θ , q = sin θ ; entonces o bien t = − q , u = p o bien t = q , u = − p . Podemos interpretar el primer caso como una rotación por θ (donde θ = 0 es la identidad), y el segundo como una reflexión a través de una línea en un ángulo de ⁠ θ / 2 ⁠ .

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\text{ (rotación), }}\qquad {\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\\sin \theta &-\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\text{ (reflexión)}}}$$

El caso especial de la matriz de reflexión con θ = 90° genera una reflexión sobre la línea a 45° dada por y = x y, por lo tanto, intercambia x e y ; es una matriz de permutación , con un solo 1 en cada columna y fila (y 0 en los demás casos): $${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}.}$$

La identidad es también una matriz de permutación.

Una reflexión es su propia inversa , lo que implica que una matriz de reflexión es simétrica (igual a su transpuesta ) y ortogonal. El producto de dos matrices de rotación es una matriz de rotación , y el producto de dos matrices de reflexión también es una matriz de rotación.

Independientemente de la dimensión, siempre es posible clasificar las matrices ortogonales como puramente rotacionales o no, pero para matrices de 3 × 3 y mayores, las matrices no rotacionales pueden ser más complicadas que las reflexiones. Por ejemplo, $${\displaystyle {\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}{\text{ and }}{\begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}}$$

representan una inversión a través del origen y una rotoinversión , respectivamente, alrededor del eje z .

Las rotaciones se vuelven más complejas en dimensiones superiores; ya no pueden caracterizarse completamente mediante un solo ángulo y pueden afectar a más de un subespacio plano . Es común describir una matriz de rotación de 3 × 3 en términos de un eje y un ángulo , pero esto solo funciona en tres dimensiones . Por encima de tres dimensiones, se necesitan dos o más ángulos, cada uno asociado a un plano de rotación .

Sin embargo, contamos con elementos básicos para realizar permutaciones, reflexiones y rotaciones que se aplican de forma general.

La permutación más elemental es una transposición , que se obtiene a partir de la matriz identidad intercambiando dos filas. Cualquier matriz de permutación de n × n se puede construir como producto de no más de n − 1 transposiciones.

Una reflexión de Householder se construye a partir de un vector no nulo v como $${\displaystyle Q=I-2{\frac {{\mathbf {v} }{\mathbf {v} }^{\mathrm {T} }}{{\mathbf {v} }^{\mathrm {T} }{\mathbf {v} }}}.}$$

Aquí, el numerador es una matriz simétrica, mientras que el denominador es un número, el cuadrado de la magnitud de v . Esto es una reflexión en el hiperplano perpendicular a v (negando cualquier componente vectorial paralela a v ). Si v es un vector unitario , entonces Q = I − 2 vv ^T es suficiente. Una reflexión de Householder se usa típicamente para anular simultáneamente la parte inferior de una columna. Cualquier matriz ortogonal de tamaño n × n puede construirse como un producto de, como máximo, n de dichas reflexiones.

Una rotación de Givens actúa sobre un subespacio bidimensional (planar) generado por dos ejes de coordenadas, rotando un ángulo elegido. Normalmente se utiliza para anular una única entrada subdiagonal . Cualquier matriz de rotación de tamaño n × n puede construirse como un producto de, como máximo , n ( n − 1 ) / 2 de dichas rotaciones. En el caso de matrices de 3 × 3 , tres de estas rotaciones son suficientes; y fijando la secuencia podemos describir todas las matrices de rotación de 3 × 3 (aunque no de forma única ) en términos de los tres ángulos utilizados, a menudo llamados ángulos de Euler .

Una rotación de Jacobi tiene la misma forma que una rotación de Givens, pero se utiliza para anular las dos entradas fuera de la diagonal de una submatriz simétrica de 2 × 2 .

Una matriz cuadrada real es ortogonal si y solo si sus columnas forman una base ortonormal del espacio euclidiano R ⁿ con el producto escalar euclidiano ordinario , lo cual ocurre si y solo si sus filas forman una base ortonormal de R ⁿ . Podría ser tentador suponer que una matriz con columnas ortogonales (no ortonormales) se llamaría matriz ortogonal, pero tales matrices no tienen interés especial ni nombre especial; solo satisfacen M ^T M = D , donde D es una matriz diagonal .

El determinante de cualquier matriz ortogonal es +1 o −1. Esto se deduce de los hechos básicos sobre determinantes, como se muestra a continuación: $${\displaystyle 1=\det(I)=\det \left(Q^{\mathrm {T} }Q\right)=\det \left(Q^{\mathrm {T} }\right)\det(Q)={\bigl (}\det(Q){\bigr )}^{2}.}$$

Lo contrario no es cierto; tener un determinante de ±1 no garantiza la ortogonalidad, incluso con columnas ortogonales, como lo demuestra el siguiente contraejemplo. $${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&0\\0&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$$

Con las matrices de permutación, el determinante coincide con la signatura , siendo +1 o −1 según la paridad de la permutación sea par o impar, ya que el determinante es una función alternada de las filas.

Más fuerte que la restricción del determinante es el hecho de que una matriz ortogonal siempre se puede diagonalizar sobre los números complejos para exhibir un conjunto completo de valores propios , todos los cuales deben tener módulo ( complejo ) 1. 

La inversa de toda matriz ortogonal es también ortogonal, al igual que el producto matricial de dos matrices ortogonales. De hecho, el conjunto de todas las matrices ortogonales n × n satisface todos los axiomas de un grupo . Es un grupo de Lie compacto de dimensión n ( n − 1) / 2 , llamado grupo ortogonal y denotado por O( n ) .

Las matrices ortogonales cuyo determinante es +1 forman un subgrupo normal conexo por caminos de O( n ) de índice 2, el grupo ortogonal especial SO( n ) de rotaciones . El grupo cociente O( n )/SO( n ) es isomorfo a O(1) , con la proyección eligiendo [+1] o [−1] según el determinante. Las matrices ortogonales con determinante −1 no incluyen la identidad , y por lo tanto no forman un subgrupo sino solo una clase lateral ; también es (separadamente) conexa. Así, cada grupo ortogonal cae en dos partes; y debido a que la proyección divide , O( n ) es un producto semidirecto de SO( n ) por O(1) . En términos prácticos, una afirmación comparable es que cualquier matriz ortogonal puede producirse tomando una matriz de rotación y posiblemente negando una de sus columnas, como vimos con matrices de 2 × 2 . Si n es impar, el producto semidirecto es, de hecho, un producto directo , y cualquier matriz ortogonal puede generarse tomando una matriz de rotación y posiblemente negando todas sus columnas. Esto se deduce de la propiedad de los determinantes de que negar una columna niega el determinante, y por lo tanto, negar un número impar (pero no par) de columnas niega el determinante.

Consideremos ahora matrices ortogonales de ( n + 1) × ( n + 1) con la entrada inferior derecha igual a 1. El resto de la última columna (y de la última fila) debe ser cero, y el producto de dos matrices cualesquiera de este tipo tiene la misma forma. El resto de la matriz es una matriz ortogonal de n × n ; por lo tanto, O( n ) es un subgrupo de O( n + 1) (y de todos los grupos superiores).

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}&&&0\\&\mathrm {O} (n)&&\vdots \\&&&0\\0&\cdots &0&1\end{bmatrix}}}$$

Dado que una reflexión elemental en forma de matriz de Householder puede reducir cualquier matriz ortogonal a esta forma restringida, una serie de tales reflexiones puede llevar cualquier matriz ortogonal a la identidad; por lo tanto, un grupo ortogonal es un grupo de reflexión . La última columna puede fijarse a cualquier vector unitario , y cada elección da una copia diferente de O( ⁿ ) en O ( n +1) ; de esta manera O( n +1) es un fibrado sobre la esfera unitaria Sn con fibra O( n ) .

De manera similar, SO( n ) es un subgrupo de SO( n +1) ; y cualquier matriz ortogonal especial puede generarse mediante rotaciones del plano de Givens utilizando un procedimiento análogo. La estructura del haz persiste:${\displaystyle \mathrm {SO} (n)\hookrightarrow \mathrm {SO} (n+1)\to S^{n}}$Una sola rotación puede producir un cero en la primera fila de la última columna, y una serie de n − 1 rotaciones pondrán a cero todas las filas de la última columna de una matriz de rotación n × n , excepto la última . Dado que los planos están fijos, cada rotación tiene solo un grado de libertad , su ángulo . Por inducción, SO( n ) tiene, por lo tanto, $${\displaystyle (n-1)+(n-2)+\cdots +1={\frac {n(n-1)}{2}}}$$ grados de libertad, y también O( n ) .

Las matrices de permutación son aún más simples; forman, no un grupo de Lie , sino solo un grupo finito , el grupo simétrico de orden n ! S _n . Por el mismo tipo de argumento, S _n es un subgrupo de S _{n + 1} . Las permutaciones pares producen el subgrupo de matrices de permutación de determinante +1, el grupo alternante de orden ⁠ n ! / 2 ⁠ .

En términos más generales, el efecto de cualquier matriz ortogonal se divide en acciones independientes sobre subespacios bidimensionales ortogonales . Es decir, si Q es ortogonal especial, siempre se puede encontrar una matriz ortogonal P , un cambio de base (rotacional) , que transforma Q en una matriz diagonal por bloques :

$${\displaystyle P^{\mathrm {T} }QP={\begin{bmatrix}R_{1}&&\\&\ddots &\\&&R_{k}\end{bmatrix}}\ (n{\text{ even}}),\ P^{\mathrm {T} }QP={\begin{bmatrix}R_{1}&&&\\&\ddots &&\\&&R_{k}&\\&&&1\end{bmatrix}}\ (n{\text{ odd}}).}$$

donde las matrices R ₁ , ..., R _k son matrices de rotación de 2 × 2 y con las entradas restantes cero. Excepcionalmente, un bloque de rotación puede ser diagonal , ± I . Por lo tanto, negando una columna si es necesario, y observando que una reflexión de 2 × 2 se diagonaliza en +1 y −1, cualquier matriz ortogonal puede tomar la forma ^{[ 2 ] [ 3 ]}$${\displaystyle P^{\mathrm {T} }QP={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}R_{1}&&\\&\ddots &\\&&R_{k}\end{matrix}}&0\\0&{\begin{matrix}\pm 1&&\\&\ddots &\\&&\pm 1\end{matrix}}\\\end{bmatrix}},}$$

Las matrices R ₁ , ..., R _k dan pares conjugados de valores propios que se encuentran en el círculo unitario en el plano complejo ; por lo tanto, esta descomposición confirma que todos los valores propios tienen valor absoluto 1. Si n es impar, hay al menos un valor propio real , +1 o −1; para una rotación de 3 × 3 , el vector propio asociado con +1 es el eje de rotación.

Supongamos que las entradas de Q son funciones diferenciables de t , y que t = 0 da Q = I. Derivando la condición de ortogonalidad $${\displaystyle Q^{\mathrm {T} }Q=I}$$ rendimientos $${\displaystyle {\dot {Q}}^{\mathrm {T} }Q+Q^{\mathrm {T} }{\dot {Q}}=0}$$

La evaluación en t = 0 ( Q = I ) implica entonces $${\displaystyle {\dot {Q}}^{\mathrm {T} }=-{\dot {Q}}.}$$

En términos de grupos de Lie , esto significa que el álgebra de Lie de un grupo de matrices ortogonales consta de matrices antisimétricas . En sentido contrario, la exponencial matricial de cualquier matriz antisimétrica es una matriz ortogonal (de hecho, una matriz ortogonal especial).

Por ejemplo, el objeto tridimensional que la física llama velocidad angular es una rotación diferencial , por lo tanto, un vector en el álgebra de Lie.${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$tangente a SO(3) . Dado ω = ( xθ , yθ , zθ ) , donde v = ( x , y , z ) es un vector unitario , la forma matricial antisimétrica correcta de ω es $${\displaystyle \Omega ={\begin{bmatrix}0&-z\theta &y\theta \\z\theta &0&-x\theta \\-y\theta &x\theta &0\end{bmatrix}}.}$$

La exponencial de esto es la matriz ortogonal para la rotación alrededor del eje v por un ángulo θ ; estableciendo c = cos ⁠ θ / 2 ⁠ , s = sin ⁠ θ / 2 ⁠ , $${\displaystyle \exp(\Omega )={\begin{bmatrix}1-2s^{2}+2x^{2}s^{2}&2xys^{2}-2zsc&2xzs^{2}+2ysc\\2xys^{2}+2zsc&1-2s^{2}+2y^{2}s^{2}&2yzs^{2}-2xsc\\2xzs^{2}-2ysc&2yzs^{2}+2xsc&1-2s^{2}+2z^{2}s^{2}\end{bmatrix}}.}$$

El análisis numérico aprovecha muchas de las propiedades de las matrices ortogonales para el álgebra lineal numérica , y estas surgen de forma natural. Por ejemplo, a menudo es deseable calcular una base ortonormal para un espacio o un cambio de bases ortogonal ; ambos adoptan la forma de matrices ortogonales. Tener un determinante de ±1 y todos los autovalores de magnitud 1 es de gran beneficio para la estabilidad numérica . Una implicación es que el número de condición es 1 (que es el mínimo), por lo que los errores no se magnifican al multiplicar por una matriz ortogonal. Muchos algoritmos utilizan matrices ortogonales, como las reflexiones de Householder y las rotaciones de Givens, por esta razón. También es útil que, además de ser invertible , una matriz ortogonal su inversa esté disponible prácticamente sin coste alguno, mediante el intercambio de índices.

Las permutaciones son esenciales para el éxito de muchos algoritmos , incluido el método clásico de eliminación gaussiana con pivoteo parcial (donde las permutaciones realizan el pivoteo). Sin embargo, rara vez aparecen explícitamente como matrices; su forma especial permite una representación más eficiente , como una lista de n índices.

^{Asimismo, los algoritmos que utilizan matrices de} Householder y Givens suelen emplear métodos especializados de multiplicación y almacenamiento. Por ejemplo, una rotación de Givens afecta solo a dos filas de la matriz que multiplica, transformando una multiplicación completa de orden n³ en una mucho más eficiente de orden n . Cuando el uso de estas reflexiones y rotaciones introduce ceros en una matriz, el espacio liberado es suficiente para almacenar los datos necesarios para reproducir la transformación de forma robusta . (Siguiendo a GW Stewart de la UMD , ^{[ 4 ]} no almacenamos el ángulo de rotación , ya que resulta costoso y de mal comportamiento).

Varias descomposiciones matriciales importantes involucran matrices ortogonales, entre las que destacan:

descomposición QR

M = QR , Q ortogonal, R triangular superior ^{[ 5 ]}

Descomposición en valores singulares

M = U Σ V ^T , U y V ortogonales, Σ matriz diagonal ^{[ 6 ]}

Descomposición en valores propios de una matriz simétrica (descomposición según el teorema espectral )

S = Q Λ Q ^T , S simétrico , Q ortogonal, Λ diagonal

descomposición polar

M = QS , Q ortogonal, S simétrica semidefinida positiva ^{[ 7 ]}

Algunas aplicaciones numéricas, como los métodos de Monte Carlo y la exploración de espacios de datos de alta dimensión , requieren la generación de matrices ortogonales aleatorias distribuidas uniformemente . En este contexto, "uniforme" se define en términos de la medida de Haar , que esencialmente requiere que la distribución no cambie si se multiplica por cualquier matriz ortogonal elegida libremente. Ortogonalizar matrices con entradas aleatorias independientes distribuidas uniformemente no resulta en matrices ortogonales distribuidas uniformemente , pero la descomposición QR de entradas aleatorias independientes distribuidas normalmente sí lo hace, siempre que la diagonal de R contenga solo entradas positivas. ^{[ 11 ]} GW Stewart de UMD ^{[ 12 ]} reemplazó esto con una idea más eficiente que Persi Diaconis de Stanford y Mehrdad Shahshahani de JPL generalizaron más tarde como el " algoritmo de subgrupos " (en cuya forma funciona igual de bien para permutaciones y rotaciones ). Para generar una matriz ortogonal ( n + 1) × ( n + 1) , tome una matriz n × n y un vector unitario distribuido uniformemente de dimensión n + 1 . Construye una reflexión de Householder a partir del vector y luego aplícala a la matriz más pequeña (incrustada en la matriz de mayor tamaño con un 1 en la esquina inferior derecha). ^{[ 13 ]}

El problema de encontrar la matriz ortogonal Q más cercana a una matriz M dada está relacionado con el problema de Procrustes ortogonal . Existen varias maneras diferentes de obtener la solución única , la más sencilla de las cuales consiste en tomar la descomposición en valores singulares de M y reemplazar los valores singulares por unos. Otro método expresa la R explícitamente , pero requiere el uso de una raíz cuadrada de matriz : ^{[ 14 ]}$${\displaystyle Q=M\left(M^{\mathrm {T} }M\right)^{-{\frac {1}{2}}}}$$

Esto se puede combinar con el método babilónico para extraer la raíz cuadrada de una matriz para obtener una recurrencia que converge cuadráticamente a una matriz ortogonal : $${\displaystyle Q_{n+1}=2M\left(Q_{n}^{-1}M+M^{\mathrm {T} }Q_{n}\right)^{-1}}$$ donde Q ₀ = M .

Estas iteraciones son estables siempre que el número de condición de M sea menor que tres. ^{[ 15 ]}

Utilizando una aproximación de primer orden de la inversa y la misma inicialización , se obtiene la iteración modificada:

$${\displaystyle N_{n}=Q_{n}^{\mathrm {T} }Q_{n}}$$$${\displaystyle P_{n}={\frac {1}{2}}Q_{n}N_{n}}$$$${\displaystyle Q_{n+1}=2Q_{n}+P_{n}N_{n}-3P_{n}}$$

• Dawkins, Paul (2005). "Matrices ortogonales" . Álgebra lineal (PDF) . Apuntes de matemáticas en línea de Paul. Universidad de Lamar . págs. 295–300 . Archivado del original el 18 de diciembre de 2012. 
• Diaconis, Persi ; Shahshahani, Mehrdad (enero de 1987). "El algoritmo de subgrupos para generar variables aleatorias uniformes" . Probabilidad en las Ciencias de la Ingeniería y la Información . 1 (1): 15–32 (ver pp. 21–28, 31–32). doi : 10.1017/S0269964800000255 . ISSN 0269-9648 . S2CID 122752374 .  
• Gantmacher, FR (1959). «IX. Operadores lineales en un espacio unitario  : § 7. Bases ortonormales, § 13. Operadores lineales en un espacio euclidiano, § 14. Descomposición polar de un operador y fórmulas de Cayley en un espacio euclidiano, § 15. Operadores normales conmutativos; X. Formas cuadráticas y hermíticas  : § 5. Reducción de una forma cuadrática a ejes principales». Teoría de matrices . Vol.  1. Chelsea Publishing Company . págs. 262–309 . ISBN  978-1-4704-8159-9. Archivo de Internet gantmacher-the-theory-of-matrices-vol-1-1959 .{{cite book}}: ISBN / Incompatibilidad de fecha ( ayuda ) (Traducido de: Гантмахер, Ф.Р. "IX. Линейные операторы в унитарном пространстве : § 7. Ортонормированный базис, § 13. Operadores lineales en евклидовом пространстве, § 14. Полярное разложение оператора и формулы Кэли в евклидовом пространстве, § 15. Коммутирующие нормальные operadores; X. Квадратичные и эрмитовы формы : § 5. Приведение квадратичной формы к главным осям". Теория Матриц (PDF) . Vol. I: Основы Teorías. págs. 237-280 .    )
• Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996) [primera ed. 1983]. Cálculos matriciales . Serie Johns Hopkins en Ciencias Matemáticas (3.ª  ed.). Baltimore: Johns Hopkins University Press. págs. 69–80 , 206–212 , ..., 601–611 . ISBN  978-0-8018-5414-9. Google Books mlOa7wPX6OYC .
• Lang, Serge (1987). «Capítulo VIII: Autovectores y autovalores» . Álgebra lineal (3.ª  ed.). Springer Nueva York. págs. 194–230 . doi : 10.1007/978-1-4757-1949-9_8 . ISBN  978-1-4419-3081-1.