Teoría de los personajes

En matemáticas , más específicamente en teoría de grupos , el carácter de una representación de grupo es una función definida sobre el grupo que asocia a cada elemento del grupo la traza de la matriz correspondiente . El carácter contiene la información esencial sobre la representación de forma condensada. Georg Frobenius desarrolló inicialmente una teoría de representaciones de grupos finitos basada enteramente en los caracteres, sin ninguna realización matricial explícita de las representaciones mismas. Esto es posible porque una representación compleja de un grupo finito está determinada (salvo isomorfismo ) por su carácter. La situación con representaciones sobre un cuerpo de característica positiva , las llamadas "representaciones modulares", es más delicada, pero Richard Brauer también desarrolló una poderosa teoría de caracteres en este caso. Muchos teoremas profundos sobre la estructura de los grupos finitos utilizan caracteres de representaciones modulares .

Los caracteres de las representaciones irreducibles codifican muchas propiedades importantes de un grupo y, por lo tanto, pueden usarse para estudiar su estructura. La teoría de caracteres es una herramienta esencial en la clasificación de grupos simples finitos . Casi la mitad de la demostración del teorema de Feit-Thompson implica cálculos complejos con valores de caracteres. Resultados más sencillos, pero igualmente esenciales, que utilizan la teoría de caracteres incluyen el teorema de Burnside (desde entonces se ha encontrado una demostración puramente teórica de grupos del teorema de Burnside, pero esa demostración llegó más de medio siglo después de la demostración original de Burnside), y un teorema de Richard Brauer y Michio Suzuki que establece que un grupo simple finito no puede tener un grupo de cuaterniones generalizado como su subgrupo de Sylow 2 .

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo F y sea ρ : G → GL( V ) una representación de un grupo G en V . El carácter de ρ es la función χ _ρ : G → F dada por  

${\displaystyle \chi _{\rho }(g)=\operatorname {Tr} (\rho (g))}$

donde Tr es la traza .

Un carácter χ _ρ se denomina irreducible o simple si ρ es una representación irreducible . El grado del carácter χ es la dimensión de ρ ; en característica cero, esto es igual al valor χ (1) . Un carácter de grado 1 se denomina lineal . Cuando G es finito y F tiene característica cero, el núcleo del carácter χ _ρ es el subgrupo normal :

${\displaystyle \ker \chi _{\rho }:=\left\lbrace g\in G\mid \chi _{\rho }(g)=\chi _{\rho }(1)\right\rbrace ,}$

que es precisamente el núcleo de la representación ρ . Sin embargo, el carácter no es un homomorfismo de grupo en general.

• Los caracteres son funciones de clase , es decir, cada uno toma un valor constante en una clase de conjugación dada . Más precisamente, el conjunto de caracteres irreducibles de un grupo G dado en un cuerpo F forma una base del espacio vectorial F de todas las funciones de clase G → F.
• Las representaciones isomorfas tienen los mismos caracteres. Sobre un cuerpo de característica 0 , dos representaciones son isomorfas si y solo si tienen el mismo carácter. ^{[ 1 ]}
• Si una representación es la suma directa de subrepresentaciones , entonces el carácter correspondiente es la suma de los caracteres de esas subrepresentaciones.
• Si un carácter del grupo finito G está restringido a un subgrupo H , entonces el resultado también es un carácter de H.
• Cada valor de carácter χ ( g ) es una suma de n raíces m - ésimas de la unidad , donde n es el grado (es decir, la dimensión del espacio vectorial asociado) de la representación con el carácter χ y m es el orden de g . En particular, cuando F = C , cada uno de esos valores de carácter es un entero algebraico .
• Si F = C y χ es irreducible, entonces $${\displaystyle [G:C_{G}(x)]{\frac {\chi (x)}{\chi (1)}}}$$es un entero algebraico para todo x en G.
• Si F es algebraicamente cerrado y char ( F ) no divide el orden de G , entonces el número de caracteres irreducibles de G es igual al número de clases de conjugación de G. Además, en este caso, los grados de los caracteres irreducibles son divisores del orden de G (e incluso dividen [ G  : Z ( G )] si F = C ).

Los caracteres complejos irreducibles de un grupo finito forman una tabla de caracteres que codifica mucha información útil sobre el grupo G de forma compacta. Cada fila está etiquetada por una representación irreducible y las entradas de la fila son los caracteres de la representación en la respectiva clase de conjugación de G. Las columnas están etiquetadas por (representantes de) las clases de conjugación de G. Es habitual etiquetar la primera fila con el carácter de la representación trivial , que es la acción trivial de G sobre un espacio vectorial unidimensional por${\displaystyle \rho (g)=1}$a pesar de${\displaystyle g\in G}$Cada entrada de la primera fila es, por lo tanto, 1. De igual modo, es habitual etiquetar la primera columna con la identidad. Por consiguiente, la primera columna contiene el grado de cada carácter irreducible.

Aquí está la tabla de caracteres de

${\displaystyle C_{3}=\langle u\mid u^{3}=1\rangle,}$

el grupo cíclico con tres elementos y generador u :

donde ω es una raíz terciaria primitiva de la unidad.

La tabla de caracteres siempre es cuadrada, porque el número de representaciones irreducibles es igual al número de clases de conjugación. ^{[ 2 ]}

Se supone que los caracteres que se discuten en esta sección son de valor complejo. Sea H un subgrupo del grupo finito G. Dado un carácter χ de G , sea χ _H su restricción a H. Sea θ un carácter de H. Ferdinand Georg Frobenius mostró cómo construir un carácter de G a partir de θ , utilizando lo que ahora se conoce como reciprocidad de Frobenius . Dado que los caracteres irreducibles de G forman una base ortonormal para el espacio de funciones de clase de valor complejo de G , existe una única función de clase θ ^G de G con la propiedad de que

${\displaystyle \langle \theta ^{G},\chi \rangle _{G}=\langle \theta ,\chi _{H}\rangle _{H}}$

para cada carácter irreducible χ de G (el producto interno más a la izquierda corresponde a las funciones de clase de G y el producto interno más a la derecha a las funciones de clase de H ). Dado que la restricción de un carácter de G al subgrupo H es nuevamente un carácter de H , esta definición deja claro que θ ^G es una combinación entera no negativa de caracteres irreducibles de G , por lo que es efectivamente un carácter de G. Se le conoce como el carácter de G inducido por θ . La fórmula definitoria de la reciprocidad de Frobenius puede extenderse a funciones de clase con valores complejos generales.

Dada una representación matricial ρ de H , Frobenius posteriormente proporcionó una forma explícita de construir una representación matricial de G , conocida como la representación inducida a partir de ρ , y escrita análogamente como ρ ^G. Esto condujo a una descripción alternativa del carácter inducido θ ^G. Este carácter inducido se anula en todos los elementos de G que no son conjugados a ningún elemento de H. Dado que el carácter inducido es una función de clase de G , ahora solo es necesario describir sus valores en los elementos de H. Si se escribe G como una unión disjunta de clases laterales derechas de H , por ejemplo

${\displaystyle G=Ht_{1}\cup \ldots \cup Ht_{n},}$

Entonces, dado un elemento h de H , tenemos:

${\displaystyle \theta ^{G}(h)=\sum _{i\$ :\ t_{i}ht_{i}^{-1}\in H}\theta \left(t_{i}ht_{i}^{-1}\right).}

Dado que θ es una función de clase de H , este valor no depende de la elección particular de los representantes de las clases laterales.

Esta descripción alternativa del carácter inducido a veces permite el cálculo explícito a partir de información relativamente escasa sobre la incrustación de H en G , y suele ser útil para el cálculo de tablas de caracteres particulares. Cuando θ es el carácter trivial de H , el carácter inducido obtenido se conoce como el carácter de permutación de G (en las clases laterales de H ).

La técnica general de inducción de caracteres y sus posteriores refinamientos encontraron numerosas aplicaciones en la teoría de grupos finitos y en otros ámbitos de las matemáticas, en manos de matemáticos como Emil Artin , Richard Brauer , Walter Feit y Michio Suzuki , así como del propio Frobenius.

La descomposición de Mackey fue definida y explorada por George Mackey en el contexto de los grupos de Lie , pero es una herramienta poderosa en la teoría de caracteres y la teoría de representaciones de grupos finitos. Su forma básica se refiere a cómo se comporta un carácter (o módulo) inducido a partir de un subgrupo H de un grupo finito G al restringirlo a un subgrupo K (posiblemente diferente) de G , y utiliza la descomposición de G en clases laterales dobles ( H , K ) .

Si${\textstyle G=\bigcup _ {t\in T}HtK}$es una unión disjunta, y θ es una función de clase compleja de H , entonces la fórmula de Mackey establece que

${\displaystyle \left(\theta ^{G}\right)_{K}=\sum _{t\in T}\left(\left[\theta ^{t}\right]_{t^{-1}Ht\cap K}\right)^{K},}$

donde θ ^t es la función de clase de t ⁻¹ Ht definida por θ ^t ( t ⁻¹ ht ) = θ ( h ) para todo h en H . Existe una fórmula similar para la restricción de un módulo inducido a un subgrupo, que es válida para representaciones sobre cualquier anillo y tiene aplicaciones en una amplia variedad de contextos algebraicos y topológicos .

La descomposición de Mackey, junto con la reciprocidad de Frobenius, produce una fórmula bien conocida y útil para el producto interno de dos funciones de clase θ y ψ inducidas por los subgrupos respectivos H y K , cuya utilidad radica en que solo depende de cómo se intersecan los conjugados de H y K. La fórmula (con su derivación) es:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle \theta ^{G},\psi ^{G}\right\rangle &=\left\langle \left(\theta ^{G}\right)_{K},\psi \right\rangle \\&=\sum _{t\in T}\left\langle \left(\left[\theta ^{t}\right]_{t^{-1}Ht\cap K}\right)^{K},\psi \right\rangle \\&=\sum _{t\in T}\left\langle \left(\theta ^{t}\right)_{t^{-1}Ht\cap K},\psi _{t^{-1}Ht\cap K}\right\rangle ,\end{aligned}}}$

(donde T es un conjunto completo de representantes de clases laterales dobles ( H , K ) , como antes). Esta fórmula se usa a menudo cuando θ y ψ son caracteres lineales, en cuyo caso todos los productos internos que aparecen en la suma del lado derecho son 1 o 0 , dependiendo de si los caracteres lineales θt ^y ψ tienen o no la misma restricción a t ⁻¹ Ht ∩ K. Si θ y ψ son ambos caracteres triviales, entonces el producto interno se simplifica a | T | .

Se puede interpretar el carácter de una representación como la dimensión "retorcida" de un espacio vectorial . ^{[ 3 ]} Al tratar el carácter como una función de los elementos del grupo χ ( g ) , su valor en la identidad es la dimensión del espacio, ya que χ (1) = Tr( ρ (1)) = Tr( I _V ) = dim( V ) . En consecuencia, se pueden ver los demás valores del carácter como dimensiones "retorcidas".

Se pueden encontrar analogías o generalizaciones de enunciados sobre dimensiones a enunciados sobre caracteres o representaciones. Un ejemplo sofisticado de esto se da en la teoría del aguardiente monstruoso : el invariante j es la dimensión graduada de una representación graduada de dimensión infinita del grupo Monstruo , y al reemplazar la dimensión por el carácter se obtiene la serie de McKay-Thompson para cada elemento del grupo Monstruo. ^{[ 3 ]}

Si${\displaystyle G}$es un grupo mentiroso y${\displaystyle \rho }$una representación de dimensión finita de${\displaystyle G}$, el personaje${\displaystyle \chi _{\rho }}$de${\displaystyle \rho }$se define precisamente como para cualquier grupo como

${\displaystyle \chi _{\rho }(g)=\operatorname {Tr} (\rho (g))}$.

Mientras tanto, si${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es un álgebra de Lie y${\displaystyle \rho }$una representación de dimensión finita de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, podemos definir el carácter${\displaystyle \chi _{\rho }}$por

${\displaystyle \chi _{\rho }(X)=\operatorname {Tr} (e^{\rho (X)})}$.

El personaje satisfará${\displaystyle \chi _{\rho }(\operatorname {Ad} _{g}(X))=\chi _{\rho }(X)}$a pesar de${\displaystyle g}$en el grupo Lie asociado${\displaystyle G}$y todo${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$. Si tenemos una representación de grupo de Lie y una representación de álgebra de Lie asociada, el carácter${\displaystyle \chi _{\rho }}$de la representación del álgebra de Lie está relacionada con el carácter${\displaystyle \mathrm {X} _{\rho }}$de la representación del grupo por la fórmula

${\displaystyle \chi _{\rho }(X)=\mathrm {X} _{\rho }(e^{X})}$.

Supongamos ahora que${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es un álgebra de Lie semisimple compleja con subálgebra de Cartan${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$. El valor del carácter${\displaystyle \chi _{\rho }}$de una representación irreducible${\displaystyle \rho }$de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$está determinado por sus valores en${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$. La restricción del carácter a${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$se puede calcular fácilmente en términos de los espacios de peso , como sigue:

${\displaystyle \chi _{\rho }(H)=\sum _{\lambda }m_{\lambda }e^{\lambda (H)},\quad H\in {\mathfrak {h}}}$,

donde la suma se realiza sobre todos los pesos${\displaystyle \lambda }$de${\displaystyle \rho }$y dónde${\displaystyle m_{\lambda }}$es la multiplicidad de${\displaystyle \lambda }$. ^{[ 4 ]}

La (restricción a${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$del carácter) se puede calcular de forma más explícita mediante la fórmula de caracteres de Weyl.

• Representación irreducible §  Aplicaciones en física teórica y química
• Esquemas de asociación , una generalización combinatoria de la teoría de caracteres de grupo.
• La teoría de Clifford , introducida por AH Clifford en 1937, proporciona información sobre la restricción de un carácter irreducible complejo de un grupo finito G a un subgrupo normal N.
• Fórmula de Frobenius
• Elemento real , un elemento de grupo g tal que χ ( g ) es un número real para todos los caracteres χ

• Personaje en PlanetMath .