Salida( F n )

El mapa de abelianización${\displaystyle F_{n}\to \mathbb {Z} ^{n}}$induce un homomorfismo de${\displaystyle \mathrm {Salida} (F_{n})}$al grupo lineal general${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {Z} )}$, siendo este último el grupo de automorfismos de${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$Este mapa está en, haciendo${\displaystyle \mathrm {Salida} (F_{n})}$una extensión de grupo ,

${\displaystyle 1\to \mathrm {Tor} (F_{n})\to \mathrm {Out} (F_{n})\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {Z} )\to 1}$.

El núcleo${\displaystyle \mathrm {Tor} (F_ {n})}$es el grupo Torelli de${\displaystyle F_{n}}$.

El mapa${\displaystyle \mathrm {Out} (F_{2})\to \mathrm {GL} (2,\mathbb {Z} )}$es un isomorfismo . Esto ya no se cumple para rangos superiores: el grupo de Torelli de${\displaystyle F_{3}}$Contiene el automorfismo que fija dos elementos base y multiplica el restante por el conmutador de los otros dos.

Por definición,${\displaystyle \mathrm {Aut} (F_ {n})}$es una extensión del grupo de automorfismos internos${\displaystyle \mathrm {Posada} (F_ {n})}$por${\displaystyle \mathrm {Salida} (F_{n})}$El grupo de automorfismos internos es en sí mismo la imagen de la acción por conjugación , cuyo núcleo es el centro.${\displaystyle Z(F_{n})}$. Desde${\displaystyle Z(F_{n})}$es trivial para${\displaystyle n\geq 2}$Esto da como resultado una secuencia corta y exacta.$${\displaystyle 1\rightarrow F_{n}\rightarrow \mathrm {Aut} (F_{n})\rightarrow \mathrm {Out} (F_{n})\rightarrow 1.}$$A pesar de${\displaystyle n\geq 2}$, hay incrustaciones${\displaystyle \mathrm {Aut} (F_{n})\longrightarrow \mathrm {Out} (F_{n+1})}$obtenido al tomar la clase exterior de la extensión de un automorfismo de${\displaystyle F_{n}}$fijando el generador adicional. Por lo tanto, al estudiar propiedades que son heredadas por subgrupos y cocientes, las teorías de${\displaystyle \mathrm {Aut} (F_ {n})}$y${\displaystyle \mathrm {Salida} (F_{n})}$son esencialmente lo mismo.

Porque${\displaystyle F_{n}}$es el grupo fundamental de un ramo de n círculos ,${\displaystyle \mathrm {Salida} (F_{n})}$puede describirse topológicamente como el grupo de clases de mapeo de un ramo de n círculos (en la categoría de homotopía ), en analogía con el grupo de clases de mapeo de una superficie cerrada que es isomorfo al grupo de automorfismos externos del grupo fundamental de esa superficie.

Dado cualquier grafo finito con grupo fundamental${\displaystyle F_{n}}$, el gráfico se puede "engrosar" hasta una superficie${\displaystyle S}$con un componente de frontera que se retrae sobre el grafo. La secuencia exacta de Birman produce un mapa del grupo de clases de mapeo.${\displaystyle \mathrm {MCG} (S)\longrightarrow \mathrm {Fuera} (F_{n})}$. Los elementos de${\displaystyle \mathrm {Salida} (F_{n})}$Las clases externas que se encuentran en la imagen de dicho mapa se denominan geométricas. Dichas clases externas deben dejar invariante la palabra cíclica correspondiente al límite; por lo tanto, existen muchas clases externas no geométricas. Lo contrario es cierto bajo ciertas suposiciones de irreducibilidad, ^{[ 2 ]} proporcionando una realización geométrica para clases externas que fijan una clase de conjugación.

Un punto del espacio exterior es esencialmente un${\displaystyle \mathbb {R} }$-grafo X homotópica equivalente a un ramo de n círculos junto con una cierta elección de una clase de homotopía libre de una equivalencia de homotopía de X al ramo de n círculos. Un${\displaystyle \mathbb {R} }$-graph es simplemente un gráfico ponderado con pesos en${\displaystyle \mathbb {R} }$La suma de todos los pesos debe ser 1 y todos los pesos deben ser positivos. Para evitar ambigüedades (y obtener un espacio de dimensión finita), además se requiere que la valencia de cada vértice sea al menos  3.

Una visión más descriptiva que evita la equivalencia homotópica f es la siguiente. Podemos fijar una identificación del grupo fundamental del ramo de n círculos con el grupo libre.${\displaystyle F_{n}}$en n variables. Además, podemos elegir un árbol maximal en X y elegir para cada arista restante una dirección. Ahora asignaremos a cada arista restante e una palabra en${\displaystyle F_{n}}$De la siguiente manera. Consideremos el camino cerrado que comienza en e y luego regresa al origen de e en el árbol maximal. Al componer este camino con f, obtenemos un camino cerrado en un ramo de n círculos y, por lo tanto, un elemento en su grupo fundamental.${\displaystyle F_{n}}$Este elemento no está bien definido; si modificamos f mediante una homotopía libre, obtenemos otro elemento. Resulta que estos dos elementos son conjugados, por lo que podemos elegir el único elemento cíclicamente reducido en esta clase de conjugación. Es posible reconstruir el tipo de homotopía libre de f a partir de estos datos. Esta perspectiva tiene la ventaja de evitar la elección adicional de f y la desventaja de generar ambigüedad adicional, ya que es necesario elegir un árbol maximal y una orientación para las aristas restantes.

La operación de Out( F _n ) en el espacio exterior se define de la siguiente manera. Cada automorfismo g de${\displaystyle F_{n}}$induce una equivalencia homotópica propia g′ del conjunto de n círculos. La composición de f con g′ da como resultado la acción deseada. En el otro modelo, se trata simplemente de la aplicación de g y de la reducción cíclica de la palabra resultante.

Cada punto en el espacio exterior determina una función de longitud única.${\displaystyle l_{X}\colon F_{n}\to \mathbb {R} }$. Una palabra en${\displaystyle F_{n}}$determina mediante la equivalencia de homotopía elegida un camino cerrado en X. La longitud de la palabra es entonces la longitud mínima de un camino en la clase de homotopía libre de ese camino cerrado. Dicha función de longitud es constante en cada clase de conjugación. La asignación${\displaystyle X\mapsto l_{X}}$define una incrustación del espacio exterior en algún espacio proyectivo de dimensión infinita.

En el segundo modelo, un simplex abierto viene dado por todos aquellos${\displaystyle \mathbb {R} }$Los grafos que tienen combinatoriamente el mismo grafo subyacente y las mismas aristas se etiquetan con las mismas palabras (solo la longitud de las aristas puede diferir). Los símplices frontera de dicho símplice consisten en todos los grafos que surgen de este grafo al colapsar una arista. Si esa arista es un bucle, no se puede colapsar sin cambiar el tipo de homotopía del grafo. Por lo tanto, no hay símplice frontera. Así, se puede pensar en el espacio exterior como un complejo simplicial con algunos símplices eliminados. Es fácil verificar que la acción de${\displaystyle \mathrm {Salida} (F_{n})}$es simplicial y tiene grupos de isotropía finitos.