Esquema de estructuras algebraicas

• Conjunto : una estructura algebraica degenerada S que no tiene operaciones.
• Conjunto punteado : S tiene uno o más elementos distinguidos, a menudo 0, 1 o ambos.
• Sistema unario: S y una única operación unaria sobre S.
• Sistema unario apuntado : un sistema unario con S un conjunto apuntado.

Las siguientes estructuras de tipo grupo consisten en un conjunto con una operación binaria. La operación binaria puede indicarse con cualquier símbolo o sin él (yuxtaposición). La estructura más común es la de un grupo . Otras estructuras implican debilitar o fortalecer los axiomas de los grupos y, además, pueden utilizar operaciones unarias.

• Magma o grupoide : S y una única operación binaria sobre S.
• Semigrupo : un magma asociativo .
• Monoide : un semigrupo con elemento identidad .
• Grupo : un monoide con una operación unaria (inverso), que da lugar a elementos inversos .
  • Grupo abeliano : un grupo cuya operación binaria es conmutativa .
• Cuasigrupo : un magma que obedece la propiedad del cuadrado latino. Un cuasigrupo también puede representarse mediante tres operaciones binarias. ^{[ 1 ]}
• Bucle : un cuasigrupo con identidad .
• Semiretículo : un semigrupo cuya operación es idempotente y conmutativa. La operación binaria se puede denominar encuentro o unión . Básicamente, es la mitad de una estructura reticular (véase más abajo).

Los principales tipos de estructuras con un conjunto que posee dos operaciones binarias son los anillos o ringoides y las retículas o simplemente retículas . Los anillos y las retículas se pueden distinguir claramente a pesar de que ambos poseen dos operaciones binarias definitorias. En el caso de los anillos, las dos operaciones están vinculadas por la ley distributiva ; en el caso de las retículas, están vinculadas por la ley de absorción . Los anillos también tienden a tener modelos numéricos , mientras que las retículas tienden a tener modelos basados ​​en la teoría de conjuntos .

En las estructuras anulares o ringoides, las dos operaciones binarias se denominan a menudo suma y multiplicación , estando la multiplicación vinculada a la suma por la ley distributiva .

• Semianillo : un anilloide tal que S es un monoide bajo cada operación. Normalmente se supone que la suma es conmutativa y asociativa, y se supone que el producto monoide se distribuye sobre la suma en ambos lados, y la identidad aditiva 0 es un elemento absorbente en el sentido de que 0 x = 0 para todo x . 
• Casi anillo : un semianillo cuyo monoide aditivo es un grupo (no necesariamente abeliano).
• Anillo : un semianillo cuyo monoide aditivo es un grupo abeliano.
  • Anillo conmutativo : un anillo en el que la operación de multiplicación es conmutativa.
  • Anillo de división : un anillo no trivial en el que se define la división por elementos distintos de cero.
  • Dominio integral : Un anillo conmutativo no trivial en el que el producto de cualesquiera dos elementos distintos de cero es distinto de cero.
  • Cuerpo : un anillo de división conmutativo (es decir, un anillo conmutativo que contiene un inverso multiplicativo para cada elemento distinto de cero).
• Anillos no asociativos : Son similares a los anillos, pero la operación de multiplicación no tiene por qué ser asociativa.
  • Anillo de Lie : un anilloide cuyo monoide aditivo es un grupo abeliano, pero cuya operación multiplicativa satisface la identidad de Jacobi en lugar de la asociatividad.
  • Anillo de Jordan : un anillo conmutativo no asociativo que respeta la identidad de Jordan.
• Anillo booleano : un anillo conmutativo con operación de multiplicación idempotente.
• Álgebras de Kleene : un semianillo con suma idempotente y una operación unaria, la estrella de Kleene , que satisface propiedades adicionales.
• *-álgebra o *-anillo : un anillo con una operación unaria adicional (*) conocida como involución , que satisface propiedades adicionales.
• Aritmética: suma y multiplicación sobre un conjunto infinito , con una estructura unaria adicional. La operación unaria es sucesora inyectiva y tiene como elemento distinguido 0.
  • Aritmética de Robinson . La suma y la multiplicación se definen recursivamente mediante el método del sucesor. El 0 es el elemento neutro para la suma y anula la multiplicación. La aritmética de Robinson se incluye aquí, aunque sea una variedad, debido a su similitud con la aritmética de Peano.
  • Aritmética de Peano . Aritmética de Robinson con un esquema axiomático de inducción . La mayoría de los axiomas de anillos y cuerpos relacionados con las propiedades de la suma y la multiplicación son teoremas de la aritmética de Peano o de extensiones propias de la misma.

Las estructuras reticulares tienen dos operaciones binarias llamadas encuentro y unión , conectadas por la ley de absorción .

• Latticoid : reunirse y unirse al viaje diario pero no es necesario asociarse .
• Retículo sesgado : reunirse y unirse a un asociado, pero sin necesidad de desplazarse.
• Lattice : reunirse, unirse, asociarse y desplazarse.
  • Retículo completo : un retículo en el que existen uniones y cruces arbitrarias .
  • Retículo acotado : un retículo con un elemento máximo y un elemento mínimo.
  • Retículo complementado : un retículo acotado con una operación unaria, la complementación, denotada por el sufijo ^⊥ . La unión de un elemento con su complemento es el elemento mayor, y la intersección de ambos elementos es el elemento menor.
  • Retículo modular : un retículo cuyos elementos satisfacen la identidad modular adicional .
  • Retículo distributivo : un retículo en el que cada uno de los nodos que se encuentran y se unen distribuye su energía sobre los demás. Los retículos distributivos son modulares, pero no se cumple la propiedad inversa.
  • Álgebra booleana : un retículo distributivo complementado. Tanto la operación de encuentro como la de unión pueden definirse en términos de la otra y su complementación. Se puede demostrar que esto es equivalente a la estructura anular del mismo nombre descrita anteriormente.
  • Álgebra de Heyting : un retículo distributivo acotado con una operación binaria añadida, el pseudocomplemento relativo , denotado por el operador infijo →, y regido por los axiomas:
    • x  → x = 1 
    • x  ( x  → y ) = x y  
    • y  ( x  → y ) = y 
    • x  →  ( y  z ) = ( x  → y ) ( x → z )    

Las siguientes estructuras tipo módulo tienen en común la característica de tener dos conjuntos, A y B , de modo que existe una operación binaria de A × A en A y otra operación de A × B en A. Los módulos, incluyendo las operaciones de anillo, tienen al menos tres operaciones binarias.

• Grupo con operadores : un grupo G con un conjunto Ω y una operación binaria Ω  × G → G que satisface ciertos axiomas. 
• Módulo : un grupo abeliano M y un anillo R que actúan como operadores sobre M. Generalmente, M se define como "sobre R ". Los elementos de R se denominan a veces escalares , y la operación binaria de multiplicación escalar es una función R  × M → M , que satisface varios axiomas.  
  • Espacios vectoriales : Un módulo donde el anillo R es un anillo de división o un cuerpo .
    • Espacios vectoriales graduados : Espacios vectoriales que están equipados con una descomposición en suma directa en subespacios o "grados".
    • Espacio cuadrático : un espacio vectorial V sobre un cuerpo F con una forma cuadrática en V que toma valores en F.
  • En álgebra abstracta se estudian otros tipos especiales de módulos, incluidos los módulos libres , los módulos proyectivos , los módulos inyectivos y los módulos planos .

Estas estructuras se definen sobre dos conjuntos: un anillo R y un R -módulo M equipado con una operación llamada multiplicación. Esto puede considerarse como un sistema con cinco operaciones binarias: dos operaciones sobre R , dos sobre M y una que involucra tanto a R como a M. Muchas de estas estructuras son estructuras híbridas de las mencionadas anteriormente.

• Álgebra sobre un anillo (también R-álgebra ): un módulo sobre un anillo conmutativo R , que también incluye una operación de multiplicación compatible con la estructura del módulo. Esto incluye la propiedad distributiva sobre la suma y la linealidad respecto a la multiplicación por elementos de R.
  • Álgebra sobre un cuerpo : Se trata de un anillo que también es un espacio vectorial sobre un cuerpo. Generalmente se asume que la multiplicación es asociativa. La teoría está especialmente bien desarrollada.
• Álgebra asociativa : un álgebra sobre un anillo tal que la multiplicación es asociativa .
• Álgebra no asociativa : un módulo sobre un anillo conmutativo, dotado de una operación de multiplicación de anillos que no es necesariamente asociativa. A menudo, la asociatividad se reemplaza por otra identidad, como la alternancia , la identidad de Jacobi o la identidad de Jordan .
  • Álgebra de Lie : un tipo especial de álgebra no asociativa cuyo producto satisface la identidad de Jacobi .
  • Álgebra de Jordan : un tipo especial de álgebra no asociativa cuyo producto satisface la identidad de Jordan .
• Coálgebra : un espacio vectorial con una "comultiplicación" definida de forma dual a la de las álgebras asociativas.
• Álgebra de Lie : un espacio vectorial con una "comultiplicación" definida dualmente a la de las álgebras de Lie.
• Álgebra graduada : un espacio vectorial graduado con una estructura algebraica compatible con la graduación. La idea es que si se conocen los grados de dos elementos a y b , entonces se conoce el grado de ab , y por lo tanto, la ubicación del producto ab queda determinada en la descomposición.
• Espacio de producto interno : un espacio vectorial F V con una forma bilineal definida V × V → F .
• Bialgebra : un álgebra asociativa con una estructura de coálgebra compatible.
• Bialgebra de Lie : un álgebra de Lie con una estructura de bialgebra compatible.
• Álgebra de Hopf : una bialgebra con un axioma de conexión (antipodal).
• Álgebra de Clifford : un álgebra asociativa${\displaystyle \mathbb {Z} _ {2}}$Álgebra graduada equipada adicionalmente con un producto exterior a partir del cual se pueden derivar varios productos interiores posibles. Las álgebras exteriores y las álgebras geométricas son casos especiales de esta construcción.