Álgebra de Jordan

En álgebra abstracta , un álgebra de Jordan es un álgebra no asociativa sobre un cuerpo cuya multiplicación satisface los siguientes axiomas:

1. ${\displaystyle xy=yx}$( ley conmutativa )
2. ${\displaystyle (xy)(xx)=x(y(xx))}$(Identidad jordana ).

El producto de dos elementos x e y en un álgebra de Jordan también se denota x ∘ y , particularmente para evitar confusiones con el producto de un álgebra asociativa relacionada .

Los axiomas implican ^[1] que un álgebra de Jordan es asociativa por potencias , lo que significa que es independiente de cómo pongamos entre paréntesis esta expresión. También implican ^[1] que para todos los enteros positivos m y n . Por lo tanto, podemos definir de manera equivalente un álgebra de Jordan como un álgebra conmutativa, asociativa por potencias, tal que para cualquier elemento , todas las operaciones de multiplicación por potencias conmutan. ${\displaystyle x^{n}=x\cdots x}$${\displaystyle x^{m}(x^{n}y)=x^{n}(x^{m}y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x^{n}}$

Las álgebras de Jordan fueron introducidas por Pascual Jordan  (1933) en un esfuerzo por formalizar la noción de un álgebra de observables en la electrodinámica cuántica . Pronto se demostró que las álgebras no eran útiles en este contexto, sin embargo, desde entonces han encontrado muchas aplicaciones en matemáticas. ^[2] Las álgebras se denominaron originalmente "sistemas de números r", pero fueron rebautizadas como "álgebras de Jordan" por Abraham Adrian Albert  (1946), quien comenzó el estudio sistemático de las álgebras de Jordan generales.

Observe primero que un álgebra asociativa es un álgebra de Jordan si y sólo si es conmutativa.

Dada cualquier álgebra asociativa A (no de característica 2), se puede construir un álgebra de Jordan A ⁺ utilizando la misma adición subyacente y una nueva multiplicación, el producto de Jordan definido por:

${\displaystyle x\circ y={\frac {xy+yx}{2}}.}$

Estas álgebras de Jordan y sus subálgebras se denominan álgebras de Jordan especiales , mientras que todas las demás son álgebras de Jordan excepcionales . Esta construcción es análoga al álgebra de Lie asociada a A , cuyo producto (corchete de Lie) está definido por el conmutador . ${\displaystyle [x,y]=xy-yx}$

El teorema de Shirshov -Cohn establece que cualquier álgebra de Jordan con dos generadores es especial. ^[3] Relacionado con esto, el teorema de Macdonald establece que cualquier polinomio en tres variables, que tenga grado uno en una de las variables y que se anule en toda álgebra de Jordan especial, se anula en toda álgebra de Jordan. ^[4]

Si ( A , σ ) es un álgebra asociativa con una involución σ , entonces si σ ( x ) = x y σ ( y ) = y se deduce que Por lo tanto, el conjunto de todos los elementos fijados por la involución (a veces llamados elementos hermíticos ) forman un subálgebra de A ⁺ , que a veces se denota H( A , σ ). ${\textstyle \sigma (xy+yx)=xy+yx.}$

1. El conjunto de matrices reales , complejas o cuaterniónicas autoadjuntas con multiplicación

${\displaystyle (xy+yx)/2}$

Formar un álgebra de Jordan especial.

2. El conjunto de matrices autoadjuntas 3×3 sobre los octoniones , nuevamente con multiplicación

${\displaystyle (xy+yx)/2,}$

es un álgebra de Jordan excepcional de 27 dimensiones (es excepcional porque los octoniones no son asociativos). Este fue el primer ejemplo de un álgebra de Albert . Su grupo de automorfismos es el grupo de Lie excepcional F ₄ . Dado que sobre los números complejos esta es la única álgebra de Jordan excepcional simple hasta el isomorfismo, ^[5] a menudo se la denomina "el" álgebra de Jordan excepcional. Sobre los números reales hay tres clases de isomorfismo de álgebras de Jordan excepcionales simples. ^[5]

Una derivación de un álgebra de Jordan A es un endomorfismo D de A tal que D ( xy ) = D ( x ) y + xD ( y ). Las derivaciones forman un álgebra de Lie der ( A ). La identidad de Jordan implica que si x e y son elementos de A , entonces el endomorfismo que envía z a x ( yz )− y ( xz ) es una derivación. Por lo tanto, la suma directa de A y der ( A ) se puede convertir en un álgebra de Lie, llamada álgebra de estructura de A , str ( A ).

Un ejemplo sencillo lo proporcionan las álgebras de Jordan hermíticas H( A , σ ). En este caso, cualquier elemento x de A con σ ( x )=− x define una derivación. En muchos ejemplos importantes, el álgebra de estructura de H( A , σ ) es A .

Las álgebras de derivación y estructura también forman parte de la construcción de Tits del cuadrado mágico de Freudenthal .

Se dice que un álgebra (posiblemente no asociativa) sobre los números reales es formalmente real si satisface la propiedad de que una suma de n cuadrados solo puede anularse si cada uno de ellos se anula individualmente. En 1932, Jordan intentó axiomatizar la teoría cuántica diciendo que el álgebra de observables de cualquier sistema cuántico debería ser un álgebra formalmente real que sea conmutativa ( xy = yx ) y asociativa de potencias (la ley asociativa se cumple para productos que involucran solo x , de modo que las potencias de cualquier elemento x están definidas de manera inequívoca). Demostró que cualquier álgebra de este tipo es un álgebra de Jordan.

No todas las álgebras de Jordan son formalmente reales, pero Jordan, von Neumann y Wigner (1934) clasificaron las álgebras de Jordan formalmente reales de dimensión finita, también llamadas álgebras de Jordan euclidianas . Toda álgebra de Jordan formalmente real puede escribirse como una suma directa de las llamadas simples , que no son en sí mismas sumas directas de una manera no trivial. En dimensiones finitas, las álgebras de Jordan formalmente reales simples se presentan en cuatro familias infinitas, junto con un caso excepcional:

• El álgebra de Jordan de matrices reales autoadjuntas n × n , como la anterior.
• El álgebra de Jordan de matrices complejas autoadjuntas n × n , como la anterior.
• El álgebra de Jordan de matrices cuaterniónicas autoadjuntas n × n . como arriba.
• El álgebra de Jordan generada libremente por R ⁿ con las relaciones

  ${\displaystyle x^{2}=\langle x,x\rangle }$

donde el lado derecho se define utilizando el producto interno habitual en R ⁿ . Esto a veces se denomina factor de espín o álgebra de Jordan de tipo Clifford .

• El álgebra de Jordan de matrices octoniónicas autoadjuntas 3×3, como la anterior (un álgebra de Jordan excepcional llamada álgebra de Albert ).

De estas posibilidades, hasta ahora parece que la naturaleza sólo hace uso de las matrices complejas n × n como álgebras de observables. Sin embargo, los factores de espín desempeñan un papel en la relatividad especial , y todas las álgebras de Jordan formalmente reales están relacionadas con la geometría proyectiva .

Si e es un idempotente en un álgebra de Jordan A ( e ²  =  e ) y R es la operación de multiplicación por e , entonces

• R ( 2R  −1)( R  −1) = 0

por lo que los únicos valores propios de R son 0, 1/2, 1. Si el álgebra de Jordan A es de dimensión finita sobre un cuerpo de característica distinta de 2, esto implica que es una suma directa de subespacios A  =  A ₀ ( e ) ⊕  A _1/2 ( e ) ⊕  A ₁ ( e ) de los tres espacios propios. Esta descomposición fue considerada por primera vez por Jordan, von Neumann y Wigner (1934) para álgebras de Jordan totalmente reales. Posteriormente fue estudiada en su total generalidad por Albert (1947) y llamada descomposición de Peirce de A relativa al idempotente  e . ^[6]

En 1979, Efim Zelmanov clasificó las álgebras de Jordan simples (y no degeneradas) de dimensión infinita. Son de tipo hermítico o de Clifford. En particular, las únicas álgebras de Jordan simples excepcionales son las álgebras de Albert de dimensión finita , que tienen dimensión 27.

La teoría de las álgebras de operadores se ha ampliado para cubrir las álgebras de operadores de Jordan .

Las contrapartes de las álgebras C* son las álgebras JB, que en dimensiones finitas se denominan álgebras euclidianas de Jordan . La norma de las álgebras de Jordan reales debe ser completa y satisfacer los axiomas:

${\displaystyle \displaystyle {\|a\circ b\|\leq \|a\|\cdot \|b\|,\,\,\,\|a^{2}\|=\|a\|^{2},\,\,\,\|a^{2}\|\leq \|a^{2}+b^{2}\|.}}$

Estos axiomas garantizan que el álgebra de Jordan es formalmente real, de modo que, si una suma de cuadrados de términos es cero, esos términos deben ser cero. Las complejizaciones de las álgebras de JB se denominan C*-álgebras de Jordan o JB*-álgebras. Se han utilizado ampliamente en geometría compleja para extender el tratamiento algebraico de Jordan de Koecher de dominios simétricos acotados a dimensiones infinitas. No todas las álgebras de JB se pueden realizar como álgebras de Jordan de operadores autoadjuntos en un espacio de Hilbert, exactamente como en dimensiones finitas. El álgebra de Albert excepcional es la obstrucción común.

El análogo del álgebra de Jordan de las álgebras de von Neumann lo desempeñan las álgebras JBW. Éstas resultan ser álgebras JB que, como espacios de Banach, son los espacios duales de los espacios de Banach. Gran parte de la teoría de la estructura de las álgebras de von Neumann se puede trasladar a las álgebras JBW. En particular, los factores JBW (aquellos con centro reducido a R ) se entienden completamente en términos de álgebras de von Neumann. Aparte de la excepcional álgebra de Albert , todos los factores JWB se pueden realizar como álgebras de Jordan de operadores autoadjuntos en un espacio de Hilbert cerrado en la topología de operadores débiles . De estos, los factores de espín se pueden construir de forma muy sencilla a partir de espacios de Hilbert reales. Todos los demás factores JWB son la parte autoadjunta de un factor de von Neumann o su subálgebra de punto fijo bajo un antiautomorfismo de período 2 * del factor de von Neumann. ^[7]

Un anillo de Jordan es una generalización de las álgebras de Jordan, que solo requiere que el anillo de Jordan esté sobre un anillo general en lugar de sobre un cuerpo. Alternativamente, se puede definir un anillo de Jordan como un anillo conmutativo no asociativo que respeta la identidad de Jordan.

Las superálgebras de Jordan fueron introducidas por Kac, Kantor y Kaplansky; son álgebras graduadas donde es un álgebra de Jordan y tiene un producto "similar a Lie" con valores en . ^[8]${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$${\displaystyle J_{0}\oplus J_{1}}$${\displaystyle J_{0}}$${\displaystyle J_{1}}$${\displaystyle J_{0}}$

Cualquier álgebra asociativa graduada se convierte en una superálgebra de Jordan con respecto a la llave de Jordan graduada ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$${\displaystyle A_{0}\oplus A_{1}}$

${\displaystyle \{x_{i},y_{j}\}=x_{i}y_{j}+(-1)^{ij}y_{j}x_{i}\ .}$

Las superálgebras simples de Jordan sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica 0 fueron clasificadas por Kac (1977). Incluyen varias familias y algunas álgebras excepcionales, en particular y . ${\displaystyle K_{3}}$${\displaystyle K_{10}}$

El concepto de J-estructura fue introducido por Springer (1998) para desarrollar una teoría de álgebras de Jordan utilizando grupos algebraicos lineales y axiomas que toman la inversión de Jordan como operación básica y la identidad de Hua como relación básica. En característica distinta de 2 la teoría de J-estructuras es esencialmente la misma que la de álgebras de Jordan.

Las álgebras de Jordan cuadráticas son una generalización de las álgebras de Jordan (lineales) introducidas por Kevin McCrimmon (1966). Las identidades fundamentales de la representación cuadrática de un álgebra de Jordan lineal se utilizan como axiomas para definir un álgebra de Jordan cuadrática sobre un cuerpo de característica arbitraria. Existe una descripción uniforme de las álgebras de Jordan cuadráticas simples de dimensión finita, independientemente de la característica: en una característica distinta de 2, la teoría de las álgebras de Jordan cuadráticas se reduce a la de las álgebras de Jordan lineales.

• Álgebra freudiana
• Sistema triple de Jordania
• Par de jordania
• Construcción de tetas Kantor-Koecher
• Variedad Scorza

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• Álgebra de Jordan en PlanetMath
• Álgebras de Jordan-Banach y Jordan-Lie en PlanetMath