Lista de temas de álgebra abstracta

En matemáticas , más específicamente en álgebra , el álgebra abstracta o álgebra moderna es el estudio de las estructuras algebraicas , que son conjuntos con operaciones específicas que actúan sobre sus elementos. Las estructuras algebraicas incluyen grupos , anillos , cuerpos , módulos , espacios vectoriales , retículos y álgebras sobre un cuerpo . El término álgebra abstracta se acuñó a principios del siglo XX para distinguirla de las ramas más antiguas del álgebra, y más específicamente del álgebra elemental , que utiliza variables para representar números en cálculos y razonamientos. La perspectiva abstracta del álgebra se ha vuelto tan fundamental para las matemáticas avanzadas que simplemente se la denomina "álgebra", mientras que el término "álgebra abstracta" rara vez se usa, excepto en pedagogía .

Las estructuras algebraicas se definen principalmente como conjuntos con operaciones .

• Estructura algebraica
  • Subobjetos : subgrupo , subanillo , subálgebra , submódulo , etc.
• Operación binaria
  • Cierre de una operación
  • Propiedad asociativa
  • Propiedad distributiva
  • Propiedad conmutativa
• operador unario
  • Inverso aditivo , inverso multiplicativo , elemento inverso
    • Elemento de identidad
    • Propiedad de cancelación
• Operación financiera
  • Aridad

Las funciones que preservan la estructura, llamadas homomorfismos , son vitales en el estudio de los objetos algebraicos.

• Homomorfismos
  • Granos y co-granos
  • Imagen y coimagen
  • Epimorfismos y monomorfismos
    • Isomorfismos
      • Teoremas de isomorfismo

Existen varias formas básicas de combinar objetos algebraicos del mismo tipo para producir un tercer objeto del mismo tipo. Estas construcciones se utilizan en todo el álgebra.

• Suma directa
  • Límite directo
• Producto directo
  • Límite inverso
• Objetos cociente: grupo cociente , anillo cociente , módulo cociente , etc.
• producto tensorial

Conceptos avanzados:

• Teoría de categorías
  • Categoría de grupos
    • Categoría de grupos abelianos
  • Categoría de anillos
  • Categoría de módulos (sobre un anillo fijo)
    • Equivalencia de Morita , dualidad de Morita
  • Categoría de espacios vectoriales
• álgebra homológica
  • Filtración (álgebra)
  • Secuencia exacta
  • Functor
• El lema de Zorn

• Semigrupo
  • Subsemigrupo
  • Semigrupo libre
  • Relaciones de Green
  • Semigrupo inverso (o semigrupo de inversión, cf.)
  • Teoría de Krohn-Rhodes
  • álgebra de semigrupos
  • Semigrupo de transformación
• Monoide
  • Monoide aperiódico
  • monoide libre
  • Monoide (teoría de categorías)
  • factorización monoide
  • Monoide sintáctico

Teoría de la representación ( y esquema )

• Representación algebraica
• Representación del grupo
• representación del álgebra de Lie
• Teorema de Maschke
• El lema de Schur
• Mapa equivariante
• Reciprocidad de Frobenius
  • Representación inducida
  • Representación restringida
• representación afín
• Representación proyectiva
• teoría de la representación modular
• Carcaj (matemáticas)
• Teoría de la representación de las álgebras de Hopf

• Estructura algebraica
• Álgebra universal
  • Variedad (álgebra universal)
  • Relación de congruencia
  • Objeto libre
  • Conjunto generador (álgebra universal)
  • Clonar (álgebra)
• Núcleo de una función
  • Núcleo (álgebra)
  • Clase de isomorfismo
  • Teorema de isomorfismo
  • Teorema fundamental sobre homomorfismos
• Propiedad universal
• Filtración (matemáticas)
• Teoría de categorías
  • Categoría monoide
  • Grupoide
  • Objeto de grupo
  • Coálgebra
  • Biálgebra
  • Álgebra de Hopf
  • Objeto de magma
• Torsión (álgebra)

• matemáticas simbólicas
  • Aritmética de cuerpos finitos
  • Base de Gröbner
  • El algoritmo de Buchberger

• Lista de temas de álgebra conmutativa
• Lista de temas de álgebra homológica
• Lista de temas de álgebra lineal
• Lista de estructuras algebraicas
• Glosario de teoría de campos
• Glosario de teoría de grupos
• Glosario de teoría de anillos
• Glosario de teoría tensorial