Pierre de Fermat

Pierre de Fermat ( / f ɜːr ˈ m ɑː / ; ^{[ 2 ]} Francés: [ pjɛʁ də fɛʁma ] ; 31 de octubre de 1605 ^{[ a ]} ​​– 12 de enero de 1665) fue un magistrado francés, polímata y, sobre todo, matemático a quien se le atribuyen los primeros desarrollos que llevaron al cálculo infinitesimal , incluyendo su técnica de adecuación . En particular, se le reconoce por su descubrimiento de un método original para encontrar las ordenadas mayor y menor de líneas curvas, que es análogo al del cálculo diferencial , entonces desconocido, y por su investigación en teoría de números . Hizo contribuciones notables a la geometría analítica , la probabilidad y la óptica . Es más conocido por su principio de Fermat para la propagación de la luz y su último teorema de Fermat en teoría de números, que describió en una nota al margen de una copia de la Aritmética de Diofanto . También fue abogado ^{[ 4 ]} en el parlamento de Toulouse , Francia , poeta, latinista experto y helenista .

Fermat nació en 1601 ^{[ a ]} en Beaumont-de-Lomagne , Francia; la mansión de finales del siglo XV donde nació Fermat es ahora un museo. Era de Gascuña , donde su padre, Dominique Fermat, era un rico comerciante de cuero y sirvió tres mandatos de un año como uno de los cuatro cónsules de Beaumont-de-Lomagne. Su madre era Claire de Long. ^{[ 3 ]} Pierre tenía un hermano y dos hermanas y casi con toda seguridad se crio en la ciudad donde nació.

Asistió a la Universidad de Orléans desde 1623 y se licenció en Derecho Civil en 1626, antes de trasladarse a Burdeos . En Burdeos, inició sus primeras investigaciones matemáticas serias. En 1629, entregó una copia de su restauración del De Locis Planis de Apolonio a uno de los matemáticos de la ciudad. En Burdeos, mantuvo contacto con Beaugrand y, durante este tiempo, realizó importantes trabajos sobre máximos y mínimos que entregó a Étienne d'Espagnet , quien compartía intereses matemáticos con Fermat. Allí, recibió una gran influencia de la obra de François Viète . ^{[ 5 ]}

En 1630, compró el cargo de consejero en el Parlamento de Toulouse , uno de los Tribunales Superiores de Justicia de Francia, y juró el cargo ante la Gran Cámara en mayo de 1631. Ocupó este cargo durante el resto de su vida. De este modo, Fermat tuvo derecho a cambiar su nombre de Pierre Fermat a Pierre de Fermat. El 1 de junio de 1631, Fermat se casó con Louise de Long, prima cuarta de su madre Claire de Fermat (de soltera de Long). Los Fermat tuvieron ocho hijos, de los cuales cinco llegaron a la edad adulta: Clément-Samuel, Jean, Claire, Catherine y Louise. ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}

Dominaba seis idiomas ( francés , latín , occitano , griego clásico , italiano y español ), y Fermat fue elogiado por su poesía escrita en varios idiomas. Su consejo para la enmienda de textos griegos era muy solicitado. Comunicó la mayor parte de su trabajo en cartas a amigos, a menudo con poca o ninguna demostración de sus teoremas. En algunas de estas cartas, exploró muchas de las ideas fundamentales del cálculo antes que Newton o Leibniz . Era abogado de formación, por lo que las matemáticas eran más un pasatiempo que una profesión. Sin embargo, realizó importantes contribuciones a la geometría analítica , la probabilidad, la teoría de números y el cálculo. ^{[ 9 ]} El secretismo era común en los círculos matemáticos europeos de la época. Esto, naturalmente, dio lugar a disputas sobre la prioridad con contemporáneos como Descartes y Wallis . ^{[ 10 ]}

Anders Hald escribe que, "La base de las matemáticas de Fermat fueron los tratados griegos clásicos combinados con los nuevos métodos algebraicos de Vieta ". ^{[ 11 ]}

Trabajar

El trabajo pionero de Fermat en geometría analítica ( Methodus ad disquirendam maximam et minimam et de tangentibus linearum curvarum ) circuló en forma manuscrita en 1636 (basado en los resultados obtenidos en 1629), ^{[ 12 ]} antes de la publicación de La géométrie (1637) de Descartes, que explotó el trabajo. ^{[ 13 ]} Este manuscrito fue publicado póstumamente en 1679 en Varia opera mathematica , como Ad Locos Planos et Solidos Isagoge ( Introducción a los lugares planos y sólidos ). ^{[ 14 ]}

En Methodus ad disquirendam maximam et minimam et de tangentibus linearum curvarum , Fermat desarrolló un método ( adequality ) para determinar máximos, mínimos y tangentes a varias curvas que era equivalente al cálculo diferencial . ^{[ 15 ] [ 16 ]} En estos trabajos, Fermat obtuvo una técnica para encontrar los centros de gravedad de varias figuras planas y sólidas, lo que condujo a su trabajo posterior en cuadratura .

Fermat fue la primera persona conocida en evaluar la integral de funciones de potencia generales. Con su método, pudo reducir esta evaluación a la suma de series geométricas . ^{[ 17 ]} La fórmula resultante fue útil para Newton , y luego para Leibniz , cuando desarrollaron independientemente el teorema fundamental del cálculo .

En teoría de números, Fermat estudió la ecuación de Pell , los números perfectos , los números amigos y lo que más tarde se convertiría en los números de Fermat . Fue mientras investigaba los números perfectos que descubrió el pequeño teorema de Fermat . Inventó un método de factorización —el método de factorización de Fermat— y popularizó la demostración por descenso infinito , que utilizó para probar el teorema del triángulo rectángulo de Fermat , que incluye como corolario el último teorema de Fermat para el caso n = 4. Fermat desarrolló el teorema de los dos cuadrados y el teorema de los números poligonales , que establece que cada número es suma de tres números triangulares , cuatro números cuadrados , cinco números pentagonales , y así sucesivamente.

Aunque Fermat afirmó haber demostrado todos sus teoremas aritméticos, se conservan pocos registros de sus demostraciones. Muchos matemáticos, incluido Gauss , dudaron de varias de sus afirmaciones, especialmente dada la dificultad de algunos problemas y los limitados métodos matemáticos de los que disponía Fermat. Su último teorema fue descubierto por primera vez por su hijo en el margen de un ejemplar de Diofanto que pertenecía a su padre , donde se indicaba que el margen era demasiado pequeño para incluir la demostración. Al parecer, no le había escrito a Marin Mersenne al respecto. Fue demostrado por primera vez en 1994 por Sir Andrew Wiles , utilizando técnicas que Fermat desconocía.

A través de su correspondencia en 1654, Fermat y Blaise Pascal ayudaron a sentar las bases de la teoría de la probabilidad. De esta breve pero productiva colaboración sobre el problema de los puntos , ahora se les considera cofundadores de la teoría de la probabilidad . ^{[ 18 ]} A Fermat se le atribuye haber realizado el primer cálculo riguroso de probabilidad. En él, un jugador profesional le preguntó por qué, si apostaba a obtener al menos un seis en cuatro lanzamientos de un dado, ganaba a largo plazo, mientras que apostar a obtener al menos un doble seis en 24 lanzamientos de dos dados resultaba en una pérdida. Fermat demostró matemáticamente por qué ocurría esto. ^{[ 19 ]}

El primer principio variacional en física fue enunciado por Euclides en su Catóptrica . Este principio establece que, para la trayectoria de la luz que se refleja en un espejo, el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión . Herón de Alejandría demostró posteriormente que esta trayectoria proporcionaba la longitud más corta y el tiempo más corto. ^{[ 20 ]} Fermat lo refinó y generalizó a «la luz viaja entre dos puntos dados siguiendo la trayectoria de menor tiempo », conocido actualmente como el principio del tiempo mínimo . ^{[ 21 ]} Por ello, Fermat es reconocido como una figura clave en el desarrollo histórico del principio fundamental de mínima acción en física. Los términos «principio de Fermat» y «funcional de Fermat» se acuñaron en reconocimiento a este papel. ^{[ 22 ]}

Junto con René Descartes , Fermat fue uno de los dos matemáticos más destacados de la primera mitad del siglo XVII. Según Peter L. Bernstein , en su libro de 1996, Against the Gods , Fermat «fue un matemático de una capacidad excepcional. Fue un inventor independiente de la geometría analítica , contribuyó al desarrollo inicial del cálculo, investigó el peso de la Tierra y trabajó en la refracción de la luz y la óptica. En el transcurso de una extensa correspondencia con Blaise Pascal , realizó una contribución significativa a la teoría de la probabilidad. Pero el mayor logro de Fermat fue en la teoría de los números». ^{[ 24 ]}

Respecto al trabajo de Fermat en análisis, Isaac Newton escribió que sus primeras ideas sobre cálculo provenían directamente de "la forma en que Fermat trazaba tangentes". ^{[ 25 ]}

Sobre la obra de Fermat en teoría de números, el matemático del siglo XX André Weil escribió: «Lo que poseemos de sus métodos para tratar curvas de género 1 es notablemente coherente; sigue siendo el fundamento de la teoría moderna de dichas curvas. Se divide naturalmente en dos partes; la primera... puede denominarse convenientemente método de ascenso, en contraste con el descenso , que con razón se considera propio de Fermat». ^{[ 26 ]} Respecto al uso que Fermat hizo del ascenso, Weil continuó: «La novedad consistió en el uso enormemente extendido que Fermat hizo de él, lo que le proporcionó al menos un equivalente parcial de lo que obtendríamos mediante el uso sistemático de las propiedades de la teoría de grupos de los puntos racionales en una cúbica estándar». ^{[ 27 ]} Con su don para las relaciones numéricas y su capacidad para encontrar demostraciones de muchos de sus teoremas, Fermat creó esencialmente la teoría moderna de números.

Fermat cometió varios errores. Algunos fueron señalados por Schinzel y Sierpinski. ^{[ 28 ]} En su carta a Pierre de Carcavi , Fermat afirmó haber demostrado que todos los números de Fermat son primos. Euler señaló que 4.294.967.297 es divisible por 641. Véase también Weil, en "Teoría de los números". ^{[ 29 ]}

• Forma diagonal
• Teorema de Euler
• Lista de cosas que llevan el nombre de Pierre de Fermat
• Gaspard de Fieubet

• Barner, Klaus (diciembre de 2001). "Pierre de Fermat (¿1601?–1665): Su vida más allá de las matemáticas". Boletín de la Sociedad Matemática Europea : 12–16 .
• Mahoney, Michael Sean (1994). La trayectoria matemática de Pierre de Fermat, 1601–1665 . Princeton Univ. Press. ISBN 978-0-691-03666-3.
• Singh, Simon (2002). El último teorema de Fermat . Fourth Estate Ltd. ISBN 978-1-84115-791-7.

• La falibilidad de Fermat en MathPages
• La correspondencia de Pierre de Fermat en EMLO
• La vida y la época de Pierre de Fermat (1601-1665) según la Historia de las Matemáticas de W. W. Rouse Ball.
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Pierre de Fermat" , Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews