Teorema del hexágono de Pappus

En matemáticas , el teorema del hexágono de Pappus (atribuido a Pappus de Alejandría ) establece que si${\displaystyle A,B,C}$es un conjunto de puntos colineales , y${\displaystyle a,b,c}$es otro conjunto de puntos colineales, luego los puntos de intersección${\displaystyle X,Y,Z}$de pares de líneas${\displaystyle Ab}$y${\displaystyle aB,Ac}$y${\displaystyle aC,Bc}$y${\displaystyle bC}$son colineales , situados sobre la línea de Pappus . Estos tres puntos son los puntos de intersección de los lados "opuestos" del hexágono.${\displaystyle AbCaBc}$.

Se cumple en un plano proyectivo sobre cualquier cuerpo, pero falla para planos proyectivos sobre cualquier anillo de división no conmutativo . ^{[ 1 ]} Los planos proyectivos en los que el "teorema" es válido se denominan planos papianos .

Si se considera un plano de Pappia que contiene un hexágono como el descrito anteriormente, pero con lados${\displaystyle Ab}$y${\displaystyle aB}$paralelos y también lados${\displaystyle Bc}$y${\displaystyle bC}$paralelo (de modo que la línea Pappus${\displaystyle u}$es la línea en el infinito ), se obtiene la versión afín del teorema de Pappus que se muestra en el segundo diagrama.

Si la línea Pappus${\displaystyle u}$y las líneas${\displaystyle g,h}$Si tienen un punto en común, se obtiene la llamada versión pequeña del teorema de Pappus. ^{[ 2 ]}

El dual de este teorema de incidencia establece que, dado un conjunto de líneas concurrentes,${\displaystyle A,B,C}$y otro conjunto de líneas concurrentes${\displaystyle a,b,c}$, luego las líneas${\displaystyle x,y,z}$definido por pares de puntos resultantes de pares de intersecciones${\displaystyle A\cap b}$y${\displaystyle a\cap B,\;A\cap c}$y${\displaystyle a\cap C,\;B\cap c}$y${\displaystyle b\cap C}$son concurrentes. ( Concurrente significa que las líneas pasan por un mismo punto).

El teorema de Pappus es un caso particular del teorema de Pascal para una cónica: el caso límite en el que la cónica degenera en dos líneas rectas. El teorema de Pascal es, a su vez, un caso particular del teorema de Cayley-Bacharach .

La configuración de Pappus es la configuración de 9 líneas y 9 puntos que aparece en el teorema de Pappus, donde cada línea intersecta 3 de los puntos y cada punto intersecta 3 líneas. En general, la línea de Pappus no pasa por el punto de intersección de${\displaystyle ABC}$y${\displaystyle abc}$. ^{[ 3 ]} Esta configuración es autodual . Dado que, en particular, las líneas${\displaystyle Bc,bC,XY}$tienen las propiedades de las líneas${\displaystyle x,y,z}$del teorema dual y la colinealidad de${\displaystyle X,Y,Z}$es equivalente a la concurrencia de${\displaystyle Bc,bC,XY}$Por lo tanto, el teorema dual es exactamente igual que el teorema en sí. El grafo de Levi de la configuración de Pappus es el grafo de Pappus , un grafo bipartito distancia-regular con 18 vértices y 27 aristas.

Si se puede demostrar la forma afín del enunciado, entonces se demuestra la forma proyectiva del teorema de Pappus, ya que la extensión de un plano pappiano a un plano proyectivo es única.

Debido al paralelismo en un plano afín, hay que distinguir dos casos:${\displaystyle g\not \parallel h}$y${\displaystyle g\parallel h}$La clave para una demostración sencilla reside en la posibilidad de introducir un sistema de coordenadas "adecuado" :

Caso 1: Las líneas${\displaystyle g,h}$se intersecan en el punto${\displaystyle S=g\cap h}$. En este caso se introducen coordenadas, de tal manera que ${\displaystyle \;S=(0,0),\;A=(0,1),\;c=(1,0)\;}$(Ver diagrama). ${\displaystyle B,C}$ tener las coordenadas${\displaystyle \;B=(0,\gamma ),\;C=(0,\delta ),\;\gamma ,\delta \notin \{0,1\}}$.

A partir del paralelismo de las líneas${\displaystyle Bc,\;Cb}$uno consigue${\displaystyle b=({\tfrac {\delta }{\gamma }},0)}$y el paralelismo de las líneas${\displaystyle Ab,Ba}$rendimientos${\displaystyle a=(\delta ,0)}$. Por lo tanto, línea${\displaystyle Ca}$tiene pendiente${\displaystyle -1}$y es una línea paralela${\displaystyle Ac}$.

Caso 2:${\displaystyle g\parallel h\ }$(pequeño teorema). En este caso, las coordenadas se eligen de tal manera que${\displaystyle \;c=(0,0),\;b=(1,0),\;A=(0,1),\;B=(\gamma ,1),\;\gamma \neq 0}$. Desde el paralelismo de${\displaystyle Ab\paralelo Ba}$y${\displaystyle cB\parallel bC}$uno consigue${\displaystyle \;C=(\gamma +1,1)\;}$y${\displaystyle \;a=(\gamma +1,0)\;}$, respectivamente, y al menos el paralelismo${\displaystyle \;Ac\parallel Ca\;}$.

Elija coordenadas homogéneas con

${\displaystyle C=(1,0,0),\;c=(0,1,0),\;X=(0,0,1),\;A=(1,1,1)}$.

En las líneas${\displaystyle AC,Ac,AX}$, dado por${\displaystyle x_{2}=x_{3},\;x_{1}=x_{3},\;x_{2}=x_{1}}$, toma los puntos${\displaystyle B,Y,b}$ser

${\displaystyle B=(p,1,1),\;Y=(1,q,1),\;b=(1,1,r)}$

para algunos${\displaystyle p,q,r}$Las tres líneas${\displaystyle XB,CY,cb}$son${\displaystyle x_{1}=x_{2}p,\;x_{2}=x_{3}q,\;x_{3}=x_{1}r}$, por lo que pasan por el mismo punto${\displaystyle a}$si y solo si${\displaystyle rqp=1}$. La condición para las tres líneas${\displaystyle Cb,cB}$y${\displaystyle XY}$con ecuaciones${\displaystyle x_{2}=x_{1}q,\;x_{1}=x_{3}p,\;x_{3}=x_{2}r}$pasar por el mismo punto${\displaystyle Z}$es${\displaystyle rpq=1}$. Por lo tanto, este último conjunto de tres líneas es concurrente si todos los otros ocho conjuntos lo son porque la multiplicación es conmutativa, así que${\displaystyle pq=qp}$. De forma equivalente,${\displaystyle X,Y,Z}$son colineales.

La demostración anterior también muestra que para que el teorema de Pappus se cumpla para un espacio proyectivo sobre un anillo de división es suficiente y necesario que el anillo de división sea un cuerpo (conmutativo). El matemático alemán Gerhard Hessenberg demostró que el teorema de Pappus implica el teorema de Desargues . ^{[ 4 ] [ 5 ]} En general, el teorema de Pappus se cumple para algún plano proyectivo si y solo si es un plano proyectivo sobre un cuerpo conmutativo. Los planos proyectivos en los que no se cumple el teorema de Pappus son los planos proyectivos desarguesianos sobre anillos de división no conmutativos y los planos no desarguesianos .

La prueba es inválida si${\displaystyle C,c,X}$Resulta que son colineales. En ese caso, se puede proporcionar una prueba alternativa, por ejemplo, utilizando una referencia proyectiva diferente.

Debido al principio de dualidad para planos proyectivos, el teorema dual de Pappus es verdadero:

Si 6 líneas${\displaystyle A,b,C,a,B,c}$se eligen alternativamente de dos lápices con centros${\displaystyle G,H}$, las líneas

${\displaystyle X:=(A\cap b)(a\cap B),}$

${\displaystyle Y:=(c\cap A)(C\cap a),}$

${\displaystyle Z:=(b\cap C)(B\cap c)}$

son concurrentes, lo que significa que tienen un punto${\displaystyle U}$en común. El diagrama de la izquierda muestra la versión proyectiva, el de la derecha una versión afín, donde los puntos ${\displaystyle G,H}$son puntos en el infinito. Si el punto${\displaystyle U}$está en la línea${\displaystyle GH}$que uno obtiene el "pequeño teorema dual" del teorema de Pappus.

• 
  Teorema dual: forma proyectiva
• 
  Teorema dual: forma afín

Si en la versión afín del punto del "pequeño teorema" dual${\displaystyle U}$También es un punto en el infinito , se obtiene el teorema de Thomsen , un enunciado sobre 6 puntos en los lados de un triángulo (véase el diagrama). La figura de Thomsen juega un papel esencial en la coordinación de un plano proyectivo definido axiomáticamente. ^{[ 6 ]} La demostración del cierre de la figura de Thomsen está cubierta por la demostración del "pequeño teorema", dada anteriormente. Pero también existe una demostración directa simple:

Debido a que el enunciado del teorema de Thomsen (el cierre de la figura) utiliza únicamente los términos conectar, intersecar y paralelo , el enunciado es invariante afínmente , y se pueden introducir coordenadas tales que ${\displaystyle P=(0,0),\;Q=(1,0),\;R=(0,1)}$(ver diagrama de la derecha). El punto de partida de la secuencia de acordes es${\displaystyle (0,\lambda ).}$Se pueden verificar fácilmente las coordenadas de los puntos que aparecen en el diagrama, el cual muestra que el último punto coincide con el primero.

• 
  Figura de Thomsen (puntos)${\displaystyle \color {red}1,2,3,4,5,6}$del triángulo${\displaystyle PQR}$) como teorema dual del pequeño teorema de Pappus (${\displaystyle U}$¡También está en el infinito  !
• 
  Figura de Thomsen: prueba

Además de las caracterizaciones anteriores del teorema de Pappus y su dual, las siguientes son afirmaciones equivalentes:

• Si los seis vértices de un hexágono se encuentran alternativamente sobre dos líneas, entonces los tres puntos de intersección de pares de lados opuestos son colineales. ^{[ 7 ]}
• Organizada en una matriz de nueve puntos (como en la figura y descripción anteriores) y considerada como la evaluación de un permanente , si las dos primeras filas y las seis tríadas "diagonales" son colineales, entonces la tercera fila es colineal.

${\displaystyle \left|{\begin{matrix}A&B&C\\a&b&c\\X&Y&Z\end{matrix}}\right|}$

Es decir, si${\displaystyle \ ABC,abc,AbZ,BcX,CaY,XbC,YcA,ZaB\ }$son líneas, entonces el teorema de Pappus establece que${\displaystyle XYZ}$debe ser una línea. Además, tenga en cuenta que la misma formulación matricial se aplica a la forma dual del teorema cuando${\displaystyle (A,B,C)}$etc. son tríos de líneas concurrentes. ^{[ 8 ]}

• Dados tres puntos distintos en cada una de dos líneas distintas, empareje cada punto de una de las líneas con uno de la otra línea; entonces, las uniones de los puntos no emparejados se encontrarán en pares (opuestos) en puntos a lo largo de una línea. ^{[ 9 ]}
• Si dos triángulos están en perspectiva de al menos dos maneras diferentes, entonces están en perspectiva de tres maneras. ^{[ 4 ]}
• Si${\displaystyle \;AB,CD,\;}$y${\displaystyle EF}$son concurrentes y${\displaystyle DE,FA,}$y${\displaystyle BC}$son concurrentes, entonces${\displaystyle AD,BE,}$ y${\displaystyle CF}$son concurrentes. ^{[ 8 ]}

Lo que llamamos el Teorema de Pappus se encuentra en los capítulos 202, 206, 207, 209 y 211, también numerados como Proposiciones 134, 138, 139, 141 y 143, del Libro VII de la Colección de Pappus . ^{[ 10 ]} Estos son los Lemas VIII, XII, XIII, XV y XVII en la parte del Libro VII que consta de lemas para el primero de los tres libros de los Porismos de Euclides .

El lema VIII es lo que se denomina arriba la versión afín del teorema de Pappus. Pappus lo demuestra con áreas. En la figura siguiente, $${\displaystyle \varDelta E\ ||\ B\varGamma \quad \&\quad EH\ ||\ BZ.}$$

Vamos a mostrar $${\displaystyle \varDelta Z\ ||\ \varGamma H.}$$ Para ello, dibujamos BE , ΔΓ y ZH .

Como triángulos, $${\displaystyle \triangle \varDelta BE=\triangle \varDelta \varGamma E.}$$ Al sumar △ ΔAE a cualquiera de los lados se obtiene $${\displaystyle \triangle ABE=\triangle \varDelta \varGamma A.}$$ Asimismo, $${\displaystyle \triangle BEZ=\triangle BHZ,}$$ y restando △ BAZ se obtiene $${\displaystyle \triangle ABE=\triangle AHZ.}$$ A partir de esto y de lo que ya sabemos, $${\displaystyle \triangle \varDelta \varGamma A=\triangle AHZ.}$$ Al agregar △ AΓH , obtenemos $${\displaystyle \triangle \varDelta \varGamma H=\triangle Z\varGamma H,}$$ lo cual nos proporciona el paralelismo que deseamos.

Los demás lemas se demuestran en términos de lo que hoy se conoce como la razón antagónica de cuatro puntos colineales. Se utilizan tres lemas anteriores. El primero de ellos, el Lema III, tiene el diagrama que aparece a continuación (que utiliza la nomenclatura de Pappus, con G para Γ , D para Δ , J para Θ y L para Λ ).

Aquí, tres líneas rectas concurrentes, AB , AG y AD , son cruzadas por dos líneas, JB y JE , que concurren en J. Además, KL se traza paralela a AZ . Entonces $${\displaystyle {\overline {KJ}}:{\overline {JL}}::\left({\overline {KJ}}:{\overline {AG}}\ \&\ {\overline {AG}}:{\overline {JL}}\right)::\left({\overline {JD}}:{\overline {GD}}\ \&\ {\overline {BG}}:{\overline {JB}}\right)}$$ Estas proporciones podrían escribirse hoy como ecuaciones: ^{[ 11 ]}$${\displaystyle {\frac {\overline {KJ}}{\overline {JL}}}={\frac {\overline {KJ}}{\overline {AG}}}\times {\frac {\overline {AG}}{\overline {JL}}}={\frac {\overline {JD}}{\overline {GD}}}\times {\frac {\overline {BG}}{\overline {JB}}}.}$$ La última razón compuesta (a saber, JD  : GD y BG  : JB ) es lo que hoy se conoce como la razón cruzada de los puntos colineales J , G , D y B en ese orden; hoy se denota por ( J , G ; D , B ) . Así pues, hemos demostrado que esto es independiente de la elección de la recta particular JD que cruza las tres rectas que concurren en A. En particular $${\displaystyle (J,G;D,B)=(J,Z;H,E).}$$ No importa en qué lado de A caiga la línea recta JE . En particular, la situación puede ser como en el siguiente diagrama, que es el diagrama del Lema X.

Al igual que antes, tenemos $${\displaystyle (J,G;D,B)=(J,Z;H,E).}$$ Pappus no lo demuestra explícitamente; pero el Lema X es un recíproco, a saber, que si estas dos razones cruzadas son iguales, y las líneas rectas BE y DH se cruzan en A , entonces los puntos G , A y Z deben ser colineales.

Lo que mostramos originalmente se puede escribir como $${\displaystyle (J,\infty ;K,L)=(J,G;D,B),}$$ donde ∞ toma el lugar de la intersección (inexistente) de JK y AG . Pappus muestra esto, en efecto, en el Lema XI, cuyo diagrama, sin embargo, tiene una tipografía diferente:

Lo que Pappus muestra es $${\displaystyle {\overline {DE}}\cdot {\overline {ZH}}:{\overline {EZ}}\cdot {\overline {HD}}::{\overline {GB}}:{\overline {BE}},}$$ que podemos escribir como $${\displaystyle (D,Z;E,H)=(\infty ,B;E,G).}$$ El diagrama para el Lema XII es:

El diagrama para el Lema XIII es el mismo, pero BA y DG , extendidos, se encuentran en N. En cualquier caso, considerando las líneas rectas que pasan por G como cortadas por las tres líneas rectas que pasan por A (y aceptando que las ecuaciones de razones cruzadas siguen siendo válidas después de la permutación de las entradas), tenemos por el Lema III o XI $${\displaystyle (G,J;E,H)=(G,D;\infty Z).}$$ Considerando que las líneas rectas que pasan por D son cortadas por las tres líneas rectas que pasan por B , tenemos $${\displaystyle (L,D;E,K)=(G,D;\infty Z).}$$ De este modo $${\displaystyle (E,H;J,G)=(E,K;D,L),}$$ Por lo tanto, según el lema X, los puntos H , M y K son colineales. Es decir, los puntos de intersección de los pares de lados opuestos del hexágono ADEGBZ son colineales.

Los lemas XV y XVII establecen que, si el punto M se determina como la intersección de HK y BG , entonces los puntos A , M y D son colineales. Es decir, los puntos de intersección de los pares de lados opuestos del hexágono BEKHZG son colineales.

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• El teorema del hexágono de Pappus en Cut-the-knot
• Dual del teorema del hexágono de Pappus en el método de cortar el nudo.
• Teorema de Pappus: Nueve demostraciones y tres variaciones