Geometría afín

En matemáticas , la geometría afín es lo que queda de la geometría euclidiana cuando se ignoran (los matemáticos suelen decir "olvidan" ^{[ 1 ] [ 2 ]} ) las nociones métricas de distancia y ángulo .

Dado que la noción de líneas paralelas es una de las propiedades principales que es independiente de cualquier métrica, la geometría afín se considera a menudo como el estudio de las líneas paralelas. Por lo tanto, el axioma de Playfair (Dada una línea L y un punto P que no pertenece a L , existe exactamente una línea paralela a L que pasa por P ) es fundamental en la geometría afín. Las comparaciones de figuras en geometría afín se realizan mediante transformaciones afines , que son mapeos que preservan la alineación de los puntos y el paralelismo de las líneas.

La geometría afín se puede desarrollar de dos maneras que son esencialmente equivalentes. ^{[ 3 ]}

En geometría sintética , un espacio afín es un conjunto de puntos al que se asocia un conjunto de líneas que satisfacen ciertos axiomas (como el axioma de Playfair).

La geometría afín también puede desarrollarse a partir del álgebra lineal . En este contexto, un espacio afín es un conjunto de puntos equipados con un conjunto de transformaciones (es decir, aplicaciones biyectivas ), las traslaciones , que forman un espacio vectorial (sobre un campo dado , comúnmente los números reales ), y tal que para cualquier par ordenado de puntos existe una única traslación que envía el primer punto al segundo; la composición de dos traslaciones es su suma en el espacio vectorial de las traslaciones.

En términos más concretos, esto equivale a tener una operación que asocia a cualquier par ordenado de puntos un vector y otra operación que permite la traslación de un punto mediante un vector para obtener otro punto; estas operaciones deben satisfacer una serie de axiomas (en particular, que dos traslaciones sucesivas tienen el efecto de una traslación mediante el vector suma). Al elegir cualquier punto como " origen ", los puntos se corresponden biunívocamente con los vectores, pero no hay una elección preferida para el origen; por lo tanto, un espacio afín puede considerarse como obtenido a partir de su espacio vectorial asociado "olvidando" el origen (vector cero).

La idea de olvidar la métrica se puede aplicar en la teoría de variedades . Esto se desarrolla en el artículo Conexión afín .

En 1748, Leonhard Euler introdujo el término afín ^{[ 4 ] [ 5 ]} ( del latín affinis ' relacionado ' ) en su libro Introductio in analysin infinitorum (volumen 2, capítulo XVIII). En 1827, August Möbius escribió sobre geometría afín en su Der barycentrische Calcul (capítulo 3). 

Después del programa de Erlangen de Felix Klein , la geometría afín fue reconocida como una generalización de la geometría euclidiana . ^{[ 6 ]}

En 1918, Hermann Weyl se refirió a la geometría afín para su texto Espacio, tiempo, materia . Utilizó la geometría afín para introducir la suma y la resta de vectores ^{[ 7 ]} en las primeras etapas de su desarrollo de la física matemática . Más tarde, ET Whittaker escribió: ^{[ 8 ]}

La geometría de Weyl es interesante desde el punto de vista histórico, ya que fue la primera de las geometrías afines en ser desarrollada en detalle: se basa en un tipo especial de transporte paralelo que utiliza líneas de universo de señales luminosas en un espacio-tiempo de cuatro dimensiones. Un elemento corto de una de estas líneas de universo puede denominarse vector nulo ; entonces, el transporte paralelo en cuestión consiste en trasladar cualquier vector nulo de un punto a la posición de un vector nulo en un punto vecino.

Se han propuesto varios enfoques axiomáticos para la geometría afín:

La ley de Pappus

Como la geometría afín trata de líneas paralelas, una de las propiedades de los paralelos señaladas por Papo de Alejandría se ha tomado como premisa: ^{[ 9 ] [ 10 ]}

• Supongamos que A, B y C están en una línea y A', B' y C' en otra. Si las líneas AB' y A'B son paralelas, y las líneas BC' y B'C también lo son, entonces las líneas CA' y C'A son paralelas. (Esta es la versión afín del teorema del hexágono de Pappus ).

El sistema axiomático completo propuesto tiene como nociones primitivas punto , línea y línea que contiene un punto :

• En una sola línea caben dos puntos.
• Para cualquier recta L y cualquier punto P que no esté en L , existe una única recta que contiene a P y no contiene ningún punto de L. Se dice que esta recta es paralela a L.
• Cada línea contiene al menos dos puntos.
• Hay al menos tres puntos que no pertenecen a una misma línea.

Según HSM Coxeter :

El interés de estos cinco axiomas se ve reforzado por el hecho de que pueden desarrollarse en un vasto conjunto de proposiciones, válidas no solo en la geometría euclidiana , sino también en la geometría del tiempo y el espacio de Minkowski (en el caso simple de 1 + 1 dimensiones, mientras que la teoría especial de la relatividad requiere 1 + 3). La extensión a la geometría euclidiana o minkowskiana se logra mediante la adición de diversos axiomas adicionales de ortogonalidad, etc. ^{[ 11 ]}

Los distintos tipos de geometría afín se corresponden con la interpretación que se le da a la rotación . La geometría euclidiana se corresponde con la idea ordinaria de rotación , mientras que la geometría de Minkowski se corresponde con la rotación hiperbólica . Con respecto a las líneas perpendiculares , estas permanecen perpendiculares cuando el plano se somete a una rotación ordinaria. En la geometría de Minkowski, las líneas hiperbólicamente ortogonales mantienen esa relación cuando el plano se somete a una rotación hiperbólica.

Geométricamente, las transformaciones afines (afinidades) preservan la colinealidad : transforman líneas paralelas en líneas paralelas y conservan las proporciones de las distancias a lo largo de las líneas paralelas.

Identificamos como teoremas afines cualquier resultado geométrico que sea invariante bajo el grupo afín (en el programa de Erlangen de Felix Klein, este es su grupo subyacente de transformaciones de simetría para la geometría afín). Consideremos en un espacio vectorial V el grupo lineal general GL( V ) . Este no es el grupo afín completo , ya que también debemos permitir traslaciones mediante vectores v en V. (Tal traslación transforma cualquier w en V en w + v ). El grupo afín está generado por el grupo lineal general y las traslaciones, y es, de hecho, su producto semidirecto.${\displaystyle V\rtimes \mathrm {GL} (V).}$(Aquí pensamos en V como un grupo bajo su operación de adición, y usamos la representación definitoria de GL( V ) en V para definir el producto semidirecto).

Por ejemplo, el teorema de la geometría plana de triángulos sobre la concurrencia de las líneas que unen cada vértice con el punto medio del lado opuesto (en el baricentro ) depende de las nociones de punto medio y baricentro como invariantes afines. Otros ejemplos incluyen los teoremas de Ceva y Menelao .

Los invariantes afines también pueden ayudar en los cálculos. Por ejemplo, las líneas que dividen el área de un triángulo en dos mitades iguales forman una envoltura dentro del triángulo. La razón entre el área de la envoltura y el área del triángulo es un invariante afín, por lo que solo necesita calcularse a partir de un caso simple como un triángulo rectángulo isósceles unitario para obtener${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}\log _ {e}(2)-{\tfrac {1}{2}},}$es decir, 0,019860... o menos del 2%, para todos los triángulos.

Fórmulas conocidas como la mitad de la base por la altura para el área de un triángulo , o un tercio de la base por la altura para el volumen de una pirámide , son igualmente invariantes afines. Si bien esta última es menos obvia que la primera para el caso general, se ve fácilmente para el sexto del cubo unitario formado por una cara (área 1) y el punto medio del cubo (altura 1/2). Por lo tanto, se cumple para todas las pirámides, incluso las inclinadas cuyo vértice no está directamente sobre el centro de la base, y aquellas con base de paralelogramo en lugar de cuadrado. La fórmula se generaliza aún más a pirámides cuya base se puede diseccionar en paralelogramos, incluyendo conos al permitir infinitos paralelogramos (con la debida atención a la convergencia). El mismo enfoque muestra que una pirámide de cuatro dimensiones tiene un hipervolumen 4D igual a un cuarto del volumen 3D de su base paralelepípeda multiplicado por la altura , y así sucesivamente para dimensiones superiores.

La geometría afín puede considerarse como la geometría de un espacio afín de dimensión n , coordinado sobre un cuerpo K. También existe (en dos dimensiones) una generalización combinatoria del espacio afín coordinado, desarrollada en la geometría finita sintética . En geometría proyectiva, el espacio afín es el complemento de un hiperplano en el infinito en un espacio proyectivo . El espacio afín también puede considerarse como un espacio vectorial cuyas operaciones se limitan a aquellas combinaciones lineales cuyos coeficientes suman uno, por ejemplo, 2x − y , x − y + z , ( x + y + z ) / 3 , i x + (1 − i ) y , etc.

Sintéticamente, los planos afines son geometrías afines bidimensionales definidas en términos de las relaciones entre puntos y líneas (o, a veces, en dimensiones superiores, hiperplanos ). Al definir las geometrías afines (y proyectivas) como configuraciones de puntos y líneas (o hiperplanos) en lugar de usar coordenadas, se obtienen ejemplos sin campos de coordenadas. Una propiedad fundamental es que todos estos ejemplos tienen dimensión 2. Los ejemplos finitos en dimensión 2 ( planos afines finitos ) han sido valiosos en el estudio de configuraciones en espacios afines infinitos, en teoría de grupos y en combinatoria .

A pesar de ser menos generales que el enfoque configuracional, los otros enfoques analizados han tenido mucho éxito a la hora de esclarecer las partes de la geometría que están relacionadas con la simetría .

En la geometría tradicional , la geometría afín se considera un estudio entre la geometría euclidiana y la geometría proyectiva . Por un lado, la geometría afín es la geometría euclidiana sin la congruencia ; por otro lado, la geometría afín puede obtenerse a partir de la geometría proyectiva mediante la designación de una línea o plano particular para representar los puntos en el infinito . ^{[ 19 ]} En la geometría afín, no hay estructura métrica , pero el postulado de las paralelas sí se cumple. La geometría afín proporciona la base para la estructura euclidiana cuando se definen líneas perpendiculares , o la base para la geometría de Minkowski a través de la noción de ortogonalidad hiperbólica . ^{[ 20 ]} Desde este punto de vista, una transformación afín es una transformación proyectiva que no permuta puntos finitos con puntos en el infinito, y la geometría de transformaciones afines es el estudio de las propiedades geométricas a través de la acción del grupo de transformaciones afines.

• Geometría no euclidiana

• Emil Artin (1957) Álgebra geométrica , capítulo 2: "Geometría afín y proyectiva" , vía Internet Archive
• VG Ashkinuse e Isaak Yaglom (1962) Ideas y métodos de geometría afín y proyectiva (en ruso ), Ministerio de Educación, Moscú.
• MK Bennett (1995) Geometría afín y proyectiva , John Wiley & Sons ISBN 0-471-11315-8.
• HSM Coxeter (1955) "El plano afín", Scripta Mathematica 21:5–14, una conferencia pronunciada ante el Foro de la Sociedad de Amigos de Scripta Mathematica el lunes 26 de abril de 1954.
• Felix Klein (1939) Matemáticas elementales desde un punto de vista avanzado: Geometría , traducido por ER Hedrick y CA Noble, pp 70–86, Macmillan Company .
• Bruce E. Meserve (1955) Conceptos fundamentales de geometría , Capítulo 5 Geometría afín, pp 150–84, Addison-Wesley .
• Peter Scherk y Rolf Lingenberg (1975) Rudimentos de geometría afín plana , Mathematical Expositions #20, University of Toronto Press .
• Wanda Szmielew (1984) De la geometría afín a la euclidiana: un enfoque axiomático , D. Reidel , ISBN 90-277-1243-3.
• Oswald Veblen (1918) Geometría proyectiva , volumen 2, capítulo 3: Grupo afín en el plano, págs. 70 a 118, Ginn & Company.

• Geometrías proyectivas y afines de Peter Cameron , de la Universidad de Londres .
• Jean H. Gallier (2001). Métodos geométricos y aplicaciones para la informática y la ingeniería , Capítulo 2: "Fundamentos de la geometría afín" (PDF), Springer Texts in Applied Mathematics #38, capítulo en línea de la Universidad de Pensilvania .