anillo local parafactorial

En geometría algebraica , un anillo local noetheriano R se llama parafactorial si tiene profundidad al menos 2 y el grupo de Picard Pic(Spec( R ) − m ) de su espectro con el punto cerrado m eliminado es trivial.  

De forma más general, un esquema X se denomina parafactorial a lo largo de un subconjunto cerrado Z si el subconjunto Z es "demasiado pequeño" para que los haces invertibles lo detecten; más precisamente, si para cada conjunto abierto V la aplicación de P ( V ) a P ( V  ∩ U ) es una equivalencia de categorías , donde U = X – Z y P ( V ) es la categoría de haces invertibles en V. Un anillo local noetheriano es parafactorial si y solo si su espectro es parafactorial a lo largo de su punto cerrado.     

Los anillos locales parafactoriales fueron introducidos por Grothendieck ( 1967 , 21.13, 1968 , XI 3.1,3.2). 

• Todo anillo local noetheriano de dimensión al menos 2 que sea factorial es parafactorial. Sin embargo, los anillos locales de dimensión como máximo 1 no son parafactoriales, incluso si son factoriales.
• Todo anillo local de intersección completa noetheriana de dimensión al menos 4 es parafactorial.
• Para un esquema localmente noetheriano , un subconjunto cerrado es parafactorial si el anillo local en cada punto del subconjunto es parafactorial. Para un esquema regular localmente noetheriano , los subconjuntos parafactoriales cerrados son aquellos de codimensión al menos 2.

• Grothendieck, Alejandro ; Raynaud, Michèle (2005) [1968], Laszlo, Yves (ed.), Cohomologie locale des faisceaux cohérents et théorèmes de Lefschetz locaux et globaux (SGA 2) , Documents Mathématiques (París), vol.  4, París: Société Mathématique de France , arXiv : math/0511279 , Bibcode : 2005math.....11279G , ISBN 978-2-85629-169-6, MR 2171939 
• Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1967). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 32 . doi : 10.1007/bf02732123 . SEÑOR 0238860 .