Espectro de un anillo

En matemáticas , y más específicamente en álgebra conmutativa y geometría algebraica , el espectro primo (o simplemente el espectro ) de un anillo conmutativo${\displaystyle R}$es el conjunto de todos los ideales primordiales de${\displaystyle R,}$equipado con una topología llamada topología de Zariski . El espectro de un anillo conmutativo está naturalmente dotado de un haz de anillos conmutativos, llamado haz de estructura , que lo convierte en un espacio anillado ; es decir, los anillos conmutativos están asociados a cada punto y a cada conjunto abierto que satisfacen ciertas condiciones de compatibilidad. ^{[ 1 ]} La estructura formada por el espectro de un anillo conmutativo y el espacio anillado asociado se llama esquema afín . El espectro de un anillo${\displaystyle R}$y el esquema afín asociado se denotan ambos por${\displaystyle \operatorname {Spec} {R}}$o​${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$⁠ . ^{[ 2 ]}

Los esquemas afines son una herramienta fundamental de la geometría algebraica moderna , y específicamente de la teoría de esquemas . De hecho, los esquemas se construyen mediante la unión de esquemas afines, de forma muy similar a la construcción de variedades mediante la unión de subconjuntos abiertos de un espacio euclidiano provisto del anillo de funciones continuas sobre ellos. El adjetivo «afín» en la expresión «esquema afín» proviene del hecho de que una variedad algebraica afín puede identificarse con el esquema afín construido sobre su anillo de funciones regulares .

La idea del espectro de un anillo fue introducida con ese nombre por Alexander Grothendieck . Reunió varias líneas históricas paralelas. Una de ellas, que motiva el uso del término «espectro», proviene del álgebra lineal y del análisis funcional más general , donde el espectro se utiliza para denotar los autovalores de una transformación lineal. La otra proviene del álgebra conmutativa , donde se había utilizado un espacio topológico (la topología de Zariski) para describir la estructura de los ideales primos. La síntesis final fue la adición de un haz estructural , que codifica información geométrica local cerca de cada ideal primo.

La primera motivación proviene del álgebra lineal. Un endomorfismo${\displaystyle T}$de un espacio vectorial complejo de dimensión finita${\displaystyle V}$genera el subanillo${\displaystyle \mathbb {C} [T]}$del anillo de los endomorfismos de ⁠${\displaystyle V}$Este anillo es conmutativo y existe un homomorfismo de anillos canónico sobreyectivo .${\displaystyle \mathbb {C} [x]\to \mathbb {C} [T]}$que mapas​${\displaystyle x}$a​​${\displaystyle T}$, donde​${\displaystyle \mathbb {C} [x]}$es el anillo de polinomios univariados. El núcleo de este homomorfismo es el ideal principal generado por el polinomio mínimo.${\displaystyle m_{T}(x)}$de${\displaystyle T.}$El polinomio${\displaystyle m_{T}(x)}$factores en factores primos de la forma${\displaystyle (x-\lambda _{i})}$donde el${\displaystyle \lambda _{i}}$son los valores propios de${\displaystyle T.}$Esto establece una correspondencia biyectiva entre los autovalores de ⁠${\displaystyle T}$y los ideales primordiales de${\displaystyle \mathbb {C} [T].}$Esto permite identificar el espectro de un endomorfismo con el espectro de un anillo específico.

Un ingrediente que falta en la noción de espectro es que no distingue la multiplicidad de los distintos autovalores. Por lo tanto, la definición de un espectro de anillo incluye no solo el conjunto desnudo de ideales primos, sino también información estructural, llevada por el anillo .${\displaystyle \mathbb {C} [T]}$⁠ , que permite la determinación de la multiplicidad (y otros tipos de propiedades geométricas). Por ejemplo, un operador nilpotente no nulo tiene solo cero como valor propio, y el polinomio mínimo${\displaystyle m_{T}(x)=x^{k}}$dónde${\displaystyle k>1}$, pero el espectro como conjunto de puntos es el unitario${\displaystyle \{(x)\}}$, el ideal primordial que contiene${\displaystyle x}$, independientemente del grado nilpotente${\displaystyle k}$.

La noción moderna de espectro incluye, por lo tanto, un haz estructural, que consiste en una prescripción de las funciones que se encuentran sobre cada uno de los ideales primos. En el caso de${\displaystyle \mathbb {C} [x]/(x^{k})}$, el conjunto de puntos del espectro es el unitario${\displaystyle \{(x)\}}$, pero el grado de nilpotencia está codificado por el anillo de estructura${\displaystyle {\mathcal {O}}_{(x)}=\mathbb {C} [x]/(x^{k})}$.

Esta noción de espectro del álgebra lineal ya se utilizaba ampliamente en el tema más amplio de la teoría espectral . En un álgebra de Banach compleja unitaria${\displaystyle A}$La idea se amplía definiendo el espectro de un elemento .${\displaystyle a}$ser el conjunto de los números complejos${\displaystyle \lambda }$de tal manera que${\displaystyle a-\lambda 1}$⁠ no es invertible. En el caso conmutativo, la teoría de anillos normados y álgebras de Banach de Israel Gelfand convirtió el espacio de ideales maximales, o equivalentemente funcionales lineales multiplicativos, en un objeto central de estudio. ^{[ 3 ]}

El espectro primo de un anillo conmutativo también tiene un origen independiente en el álgebra conmutativa y la geometría algebraica . Para una variedad algebraica afín sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, el teorema de Nullstellensatz identifica puntos ordinarios con ideales maximales en su anillo de coordenadas. De forma más general, las subvariedades irreducibles corresponden a ideales primos. Por lo tanto, pasar de ideales maximales a todos los ideales primos equivale a adjuntar un punto genérico a cada subvariedad irreducible. ^{[ 4 ]}

El trabajo de Wolfgang Krull anticipó el uso de puntos geométricos para describir ideales primos. Su artículo de 1928 sobre cadenas de ideales primos formó parte del desarrollo de la teoría de la dimensión en anillos generales. ^{[ 5 ]} Un uso topológico relacionado de los ideales primos apareció en el trabajo de Marshall Stone sobre álgebras booleanas y retículos distributivos: Stone introdujo una topología sobre ideales primos de un retículo distributivo, produciendo lo que ahora se denomina el espectro del retículo y dando lugar a la noción de espacio espectral . ^{[ 6 ]}

La construcción moderna de${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$El concepto de espacio localmente anillado fue introducido sistemáticamente por Alexander Grothendieck en la teoría de esquemas. En esta forma, el espectro no solo es un espacio topológico de ideales primos, sino que está dotado de un haz estructural, lo que permite unir esquemas afines para formar esquemas generales. ^{[ 7 ]}

Como conjunto, el espectro${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$de un anillo conmutativo es el conjunto de los ideales primos de ⁠${\displaystyle R}$Se convierte en un espacio topológico , con cada ideal primo${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} (R)}$ser un punto en este espacio, al equiparlo con la topología de Zariski , la topología para la cual un conjunto cerrado es el conjunto de todos los ideales primos que contienen un subconjunto dado de ⁠${\displaystyle R}$⁠ . En otras palabras, para cada subconjunto ⁠${\displaystyle S}$de​​${\displaystyle R}$⁠ , deja$${\displaystyle V_{S}=\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} (R):{\mathfrak {p}}\supseteq S\}.}$$El conjunto de todos ⁠${\displaystyle V_{S}}$⁠ forman los conjuntos cerrados de la topología de Zariski en${\displaystyle \operatorname {Spec} (R).}$Se obtienen exactamente los mismos conjuntos cerrados si se restringe la definición a subconjuntos .${\displaystyle I}$que son ideales , puesto que${\displaystyle V_{I}=V_{S}}$si​​${\displaystyle I=(S)}$⁠ , el ideal generado por ⁠${\displaystyle S}$⁠ . De hecho, solo es necesario considerar los ideales radicales, ya que${\displaystyle V_{I}=V_{\sqrt {I}}}$para cualquier ideal${\displaystyle I}$y su radical${\displaystyle {\sqrt {I}}.}$

Dado un conjunto cerrado${\displaystyle V\subseteq \mathrm {Spec} (R)}$⁠ , el ideal$${\displaystyle J=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\in V}{\mathfrak {p}}}$$es un ideal radical tal que${\displaystyle V_{J}=V}$Esto establece una correspondencia biunívoca entre conjuntos cerrados e ideales radicales. En geometría algebraica , esto corresponde a la correspondencia entre un conjunto algebraico y el conjunto de todas las ecuaciones polinómicas que se satisfacen en él (véase el Teorema de los Nulos de Hilbert para más detalles).

Entre los conjuntos abiertos, es decir, los conjuntos de la forma${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)\setminus V_{I},}$algunos son especialmente importantes: aquellos de la forma$${\displaystyle D_{f}=\mathrm {Spec} (R)\setminus V_{(f)}=\{{\mathfrak {p}}\in \mathrm {Spec} (R):f\not \in {\mathfrak {p}}\},}$$de modo que${\displaystyle I}$se considera un ideal principal generado por algún${\displaystyle f\in R;}$A veces se les llama conjuntos abiertos distinguidos ^{[ 8 ]} o conjuntos abiertos principales . ^{[ 9 ]} Siempre se ha$${\displaystyle D_{f}\cap D_{g}=D_{fg}.}$$Dado que todo conjunto abierto es de la forma${\textstyle U=\mathrm {Spec} (R)\setminus V_{I}=\bigcup _{f\in I}D_{f},}$Los conjuntos abiertos principales forman una base para la topología de Zariski. De ello se deduce que, en general, no hay inconveniente en considerar únicamente conjuntos abiertos de la forma ⁠${\displaystyle D_{f}}$⁠ . La importancia de la ⁠${\displaystyle D_{f}}$⁠ reside principalmente en el hecho de que, cuando un ideal ⁠${\displaystyle I}$⁠ no es principal , el conjunto abierto ⁠${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)\setminus V_{I}}$No es fácil definirlo en términos de los generadores del ideal.

${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$es un espacio compacto , pero casi nunca Hausdorff : ^{[ a ]} ​​De hecho, los ideales máximos en${\displaystyle R}$son precisamente los puntos cerrados en esta topología. Por el mismo razonamiento,${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$no es, en general, un espacio T ₁ . ^{[ 10 ]} Sin embargo,${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$es siempre un espacio de Kolmogorov (satisface el axioma T ₀ ); también es un espacio espectral .

Siguiendo con el ejemplo, en geometría algebraica se estudian conjuntos algebraicos , es decir, subconjuntos de${\displaystyle K^{n}}$(dónde${\displaystyle K}$es un campo algebraicamente cerrado ) que se definen como los ceros comunes de un conjunto de polinomios en${\displaystyle n}$variables. Si${\displaystyle A}$es un conjunto algebraico de este tipo, se considera el anillo conmutativo${\displaystyle R}$de todas las funciones polinómicas${\displaystyle A\to K}$. Los ideales máximos de${\displaystyle R}$corresponden a los puntos de${\displaystyle A}$(porque${\displaystyle K}$es algebraicamente cerrado), y los ideales primos de${\displaystyle R}$corresponden a las subvariedades irreducibles de${\displaystyle A}$(Un conjunto algebraico se denomina irreducible si no puede escribirse como la unión de dos subconjuntos algebraicos propios).

El espectro de${\displaystyle R}$por lo tanto consta de los puntos de${\displaystyle A}$junto con elementos para todas las subvariedades irreducibles de${\displaystyle A}$. Los puntos de${\displaystyle A}$están cerrados en el espectro, mientras que los elementos correspondientes a las subvariedades tienen un cierre que consiste en todos sus puntos y subvariedades. Si solo se consideran los puntos de${\displaystyle A}$, es decir, los ideales máximos en${\displaystyle R}$, entonces la topología de Zariski definida anteriormente coincide con la topología de Zariski definida en conjuntos algebraicos (que tiene precisamente los subconjuntos algebraicos como conjuntos cerrados). Específicamente, los ideales maximales en${\displaystyle R}$, es decir${\displaystyle \operatorname {MaxSpec} (R)}$, junto con la topología de Zariski, es homeomorfa a${\displaystyle A}$también con la topología de Zariski.

Así se puede ver el espacio topológico${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$como un "enriquecimiento" del espacio topológico${\displaystyle A}$(con topología de Zariski): para cada subvariedad irreducible de${\displaystyle A}$, se ha introducido un punto no cerrado adicional , y este punto "mantiene un registro" de la subvariedad irreducible correspondiente. Se piensa en este punto como el punto genérico para la subvariedad irreducible. Además, el haz de estructura en${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$y el haz de funciones polinómicas en${\displaystyle A}$son esencialmente idénticos. Al estudiar espectros de anillos de polinomios en lugar de conjuntos algebraicos con la topología de Zariski, se pueden generalizar los conceptos de geometría algebraica a cuerpos no algebraicamente cerrados y más allá, llegando finalmente al lenguaje de esquemas .

• El espectro de los enteros: El esquema afín${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )}$es el objeto final en la categoría de esquemas afines ya que${\displaystyle \mathbb {Z} }$es el objeto inicial en la categoría de anillos conmutativos. Como conjunto,${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )}$consta de los puntos${\displaystyle (0)}$y${\displaystyle (p)}$para números primos${\displaystyle p}$⁠ . Los conjuntos abiertos de${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )}$son${\displaystyle \emptyset }$y subconjuntos de la forma${\displaystyle U=\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )\setminus \{(p_{1}),\dots ,(p_{n})\}}$para un número finito de números primos${\displaystyle p_{1},\dots ,p_{n}.}$Las secciones de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )}(U)}$son los números racionales${\displaystyle a/b\in \mathbb {Q} }$dónde${\displaystyle b=p_{1}^{e_{1}}\cdots p_{n}^{e_{n}}}$para exponentes enteros no negativos${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n}.}$ Los tallos en${\displaystyle (p)}$son los anillos locales${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)};}$el tallo en${\displaystyle (0)}$es${\displaystyle \mathbb {Q} .}$
• El espectro de polinomios sobre${\displaystyle \mathbb {Z}$ :} El esquema afín${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {Z} [x])}$Consta de cuatro tipos de puntos: 1) el ideal cero${\displaystyle (0);}$2) los ideales principales${\displaystyle (p)}$generado por números primos${\displaystyle p;}$3) los ideales principales${\displaystyle (f)}$generados por polinomios irreducibles${\displaystyle f;}$y 4) los ideales máximos${\displaystyle (p,f)}$generado por números primos${\displaystyle p}$y polinomios${\displaystyle f}$cuyo mod de reducción${\displaystyle p}$en${\displaystyle \mathbb {F} _{p}[x]}$es irreducible. Algunas características topológicas y geométricas de${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {Z} [x])}$han sido ilustrados en un famoso boceto de David Mumford , ahora conocido como el "mapa del tesoro de Mumford", que se encuentra en su libro de texto introductorio The Red Book of Varieties and Schemes . ^{[ 11 ]}
• El análogo teórico de esquemas de${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$: El esquema afín${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{n}=\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}])}$Desde la perspectiva del functor de puntos , un punto${\displaystyle (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in \mathbb {C} ^{n}}$puede identificarse con el morfismo de evaluación${\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]{\xrightarrow[{ev_{(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})}}]{}}\mathbb {C} }$Esta observación fundamental nos permite dar sentido a otros esquemas afines.
• La cruz:${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x,y]/(xy))}$topológicamente se parece a la intersección transversal de dos planos complejos en un punto (en particular, este esquema no es irreducible), aunque normalmente se representa como una${\displaystyle +}$, ya que los únicos morfismos bien definidos a${\displaystyle \mathbb {C} }$son los morfismos de evaluación asociados con los puntos${\displaystyle \{(\alpha _{1},0),(0,\alpha _{2}):\alpha _{1},\alpha _{2}\in \mathbb {C} \}}$.
• El espectro primo de un anillo booleano (por ejemplo, un anillo de conjunto potencia ) es un espacio de Hausdorff compacto totalmente disconexo (es decir, un espacio de Stone ). ^{[ 12 ]}
• ( M. Hochster ) Un espacio topológico es homeomorfo al espectro primo de un anillo conmutativo (es decir, un espacio espectral ) si y solo si es compacto, cuasi-separado y sobrio . ^{[ 13 ]}

Aquí hay algunos ejemplos de esquemas que no son esquemas afines. Se construyen mediante la unión de esquemas afines.

• El proyectivo${\displaystyle n}$-espacio${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}=\operatorname {Proj} k[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$sobre un campo${\displaystyle k}$Esto se puede generalizar fácilmente a cualquier anillo base, véase la construcción Proj (de hecho, podemos definir un espacio proyectivo para cualquier esquema base). El espacio proyectivo${\displaystyle n}$-espacio para${\displaystyle n\geq 1}$no es afín como el anillo de secciones globales de${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}}$es${\displaystyle k}$.
• Plano afín menos el origen. ^{[ 14 ]} Interior${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{2}=\operatorname {Spec} k[x,y]}$se distinguen subesquemas afines abiertos${\displaystyle D_{x},D_{y}}$Su unión${\displaystyle D_{x}\cup D_{y}=U}$es el plano afín sin el origen. Las secciones globales de${\displaystyle U}$son pares de polinomios en${\displaystyle D_{x},D_{y}}$que se restringen al mismo polinomio en${\displaystyle D_{xy}}$, lo cual se puede demostrar que es${\displaystyle k[x,y]}$, las secciones globales de${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{2}}$.${\displaystyle U}$no es afín como${\displaystyle V_{(x)}\cap V_{(y)}=\varnothing }$en${\displaystyle U}$.

Algunos autores (en particular M. Hochster) consideran topologías en espectros primos distintas de la topología de Zariski.

En primer lugar, está la noción de topología construible : dado un anillo A , los subconjuntos de${\displaystyle \operatorname {Spec} (A)}$de la forma${\displaystyle \varphi ^{*}(\operatorname {Spec} B),\varphi :A\to B}$Satisfacer los axiomas para conjuntos cerrados en un espacio topológico. Esta topología en${\displaystyle \operatorname {Spec} (A)}$se denomina topología constructible. ^{[ 15 ] [ 16 ]}

En Hochster (1969) , Hochster considera lo que él llama la topología de parches en un espectro primo. ^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]} Por definición, la topología de parches es la topología más pequeña en la que los conjuntos de las formas${\displaystyle V(I)}$y${\displaystyle \operatorname {Spec} (A)-V(f)}$están cerrados.

Existe una versión relativa del functor.${\displaystyle \operatorname {Spec} }$llamado global${\displaystyle \operatorname {Spec} }$, o relativo${\displaystyle \operatorname {Spec} }$. Si${\displaystyle S}$es un esquema, entonces relativo${\displaystyle \operatorname {Spec} }$se denota por${\displaystyle {\underline {\operatorname {Spec} }}_{S}}$o${\displaystyle \mathbf {Spec} _{S}}$. Si${\displaystyle S}$Si queda claro por el contexto, entonces la especificación relativa puede denotarse por${\displaystyle {\underline {\operatorname {Spec} }}}$o${\displaystyle \mathbf {Spec} }$. Para un plan${\displaystyle S}$y un haz cuasi coherente de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S}}$-álgebras${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, hay un plan${\displaystyle {\underline {\operatorname {Spec} }}_{S}({\mathcal {A}})}$y un morfismo${\displaystyle f:{\underline {\operatorname {Spec} }}_{S}({\mathcal {A}})\to S}$de tal manera que para cada afín abierto${\displaystyle U\subseteq S}$, existe un isomorfismo${\displaystyle f^{-1}(U)\cong \operatorname {Spec} ({\mathcal {A}}(U))}$y de tal manera que para afines abiertos${\displaystyle V\subseteq U}$, la inclusión${\displaystyle f^{-1}(V)\to f^{-1}(U)}$es inducido por el mapa de restricción${\displaystyle {\mathcal {A}}(U)\to {\mathcal {A}}(V)}$. Es decir, así como los homomorfismos de anillos inducen mapas opuestos de espectros, los mapas de restricción de un haz de álgebras inducen los mapas de inclusión de los espectros que componen el Spec del haz.

Global Spec tiene una propiedad universal similar a la propiedad universal para Spec ordinario. Más precisamente, así como Spec y el functor de sección global son adjuntos derechos contravariantes entre la categoría de anillos conmutativos y esquemas, global Spec y el functor de imagen directa para el mapa de estructura son adjuntos derechos contravariantes entre la categoría de anillos conmutativos y esquemas.${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S}}$-álgebras y esquemas sobre${\displaystyle S}$. En fórmulas,

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{{\mathcal {O}}_{S}{\text{-alg}}}({\mathcal {A}},\pi _{*}{\mathcal {O}}_{X})\cong \operatorname {Hom} _{{\text{Sch}}/S}(X,\mathbf {Spec} ({\mathcal {A}})),}$

dónde${\displaystyle \pi \colon X\to S}$es un morfismo de esquemas.

Desde la perspectiva de la teoría de representaciones , un ideal primo I corresponde a un módulo R / I , y el espectro de un anillo corresponde a representaciones cíclicas irreducibles de R , mientras que subvariedades más generales corresponden a representaciones posiblemente reducibles que no necesariamente son cíclicas. Recordemos que, en abstracto, la teoría de representaciones de un grupo es el estudio de módulos sobre su álgebra de grupo .

La conexión con la teoría de la representación es más clara si se considera el anillo de polinomios.${\displaystyle R=K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$o, sin fundamento,${\displaystyle R=K[V].}$Como aclara la última formulación, un anillo de polinomios es el álgebra de monoides sobre un espacio vectorial , y escribiendo en términos de${\displaystyle x_{i}}$corresponde a elegir una base para el espacio vectorial. Entonces un ideal I, o equivalentemente un módulo${\displaystyle R/I,}$es una representación cíclica de R ( cíclica significa generada por 1 elemento como un R -módulo; esto generaliza las representaciones unidimensionales).

En el caso de que el campo sea algebraicamente cerrado (por ejemplo, los números complejos), cada ideal maximal corresponde a un punto en el espacio n , por el Nullstellensatz (el ideal maximal generado por${\displaystyle (x_{1}-a_{1}),(x_{2}-a_{2}),\ldots ,(x_{n}-a_{n})}$corresponde al punto${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})}$). Estas representaciones de${\displaystyle K[V]}$luego se parametrizan mediante el espacio dual${\displaystyle V^{*},}$el covector se obtiene enviando cada${\displaystyle x_{i}}$al correspondiente${\displaystyle a_{i}}$. Por lo tanto, una representación de${\displaystyle K^{n}}$( Mapas lineales K${\displaystyle K^{n}\to K}$) viene dado por un conjunto de n números, o equivalentemente un covector${\displaystyle K^{n}\to K.}$

Por lo tanto, los puntos en el espacio n , considerados como la especificación máxima de${\displaystyle R=K[x_{1},\dots ,x_{n}],}$Los ideales no maximales corresponden precisamente a representaciones unidimensionales de R , mientras que los conjuntos finitos de puntos corresponden a representaciones de dimensión finita (que son reducibles, correspondiendo geométricamente a ser una unión y algebraicamente a no ser un ideal primo). Los ideales no maximales corresponden entonces a representaciones de dimensión infinita .

El término "espectro" proviene de su uso en la teoría de operadores . Dado un operador lineal T en un espacio vectorial V de dimensión finita , se puede considerar el espacio vectorial con el operador como un módulo sobre el anillo de polinomios en una variable R = K [ T ], como en el teorema de estructura para módulos finitamente generados sobre un dominio ideal principal . Entonces, el espectro de K [ T ] (como anillo) es igual al espectro de T (como operador).

Además, la estructura geométrica del espectro del anillo (o, equivalentemente, la estructura algebraica del módulo) captura el comportamiento del espectro del operador, como la multiplicidad algebraica y la multiplicidad geométrica. Por ejemplo, para la matriz identidad de 2×2, el módulo correspondiente es:

${\displaystyle K[T]/(T-1)\oplus K[T]/(T-1)}$

La matriz cero de 2×2 tiene módulo

${\displaystyle K[T]/(T-0)\oplus K[T]/(T-0),}$

mostrando multiplicidad geométrica 2 para el autovalor cero , mientras que una matriz nilpotente no trivial de 2×2 tiene módulo

${\displaystyle K[T]/T^{2},}$

mostrando multiplicidad algebraica 2 pero multiplicidad geométrica 1.

Con más detalle:

• los autovalores (con multiplicidad geométrica) del operador corresponden a los puntos (reducidos) de la variedad, con multiplicidad;
• La descomposición primaria del módulo corresponde a los puntos no reducidos de la variedad;
• Un operador diagonalizable (semisimple) corresponde a una variedad reducida;
• un módulo cíclico (un generador) corresponde al operador que tiene un vector cíclico (un vector cuya órbita bajo T abarca el espacio);
• El último factor invariante del módulo es igual al polinomio mínimo del operador, y el producto de los factores invariantes es igual al polinomio característico .

El espectro también puede considerarse para C*-álgebras en teoría de operadores , dando lugar a la noción del espectro de un C*-álgebra . En particular, para un espacio de Hausdorff compacto${\displaystyle X}$, el anillo de funciones continuas (de valores complejos)${\displaystyle C(X)}$es un álgebra C* conmutativa unitaria , con el espacio recuperado como un espacio topológico a partir de${\displaystyle \operatorname {MaxSpec} C(X)}$De hecho, de forma funtorial; este es el contenido del teorema de Banach-Stone . En efecto, cualquier álgebra C*-conmutativa unitaria puede realizarse como el anillo de funciones continuas de un espacio de Hausdorff compacto de esta manera, obteniendo la misma correspondencia que entre un anillo y su espectro. La generalización a álgebras C*-no conmutativas produce una topología no conmutativa .

• Esquema (matemáticas)
• Esquema proyectivo
• Espectro de una matriz
• Teorema de Serre sobre la afinidad
• Espectro étale
• espectro de Ziegler
• Espectro primitivo
• dualidad de piedra