Cuasigrupo

Un cuasigrupo ( Q , ∗) es un conjunto Q con una operación binaria ∗ (es decir, un magma , lo que indica que un cuasigrupo debe satisfacer la propiedad de cierre), que obedece la propiedad del cuadrado latino . Esto establece que, para cada a y b en Q , existen elementos únicos x e y en Q tales que ambos $${\displaystyle a\ast x=b}$$$${\displaystyle y\ast a=b}$$ mantener. (En otras palabras: Cada elemento del conjunto aparece exactamente una vez en cada fila y exactamente una vez en cada columna de la tabla de multiplicación del cuasigrupo, o tabla de Cayley . Esta propiedad garantiza que la tabla de Cayley de un cuasigrupo finito, y, en particular, de un grupo finito, sea un cuadrado latino ). El requisito de que x e y sean únicos puede reemplazarse por el requisito de que el magma sea cancelativo . ^{[ 5 ] [ a ]}

Las soluciones únicas de estas ecuaciones se escriben como x = a \ b e y = b / a . Las operaciones ' \ ' y ' / ' se denominan, respectivamente, división por la izquierda y división por la derecha . En la tabla de Cayley, la primera ecuación (división por la izquierda) indica que el valor b de la fila a se encuentra en la columna x , mientras que la segunda ecuación (división por la derecha) indica que el valor b de la columna a se encuentra en la fila y .

El conjunto vacío equipado con la operación binaria vacía satisface esta definición de cuasigrupo. Algunos autores aceptan el cuasigrupo vacío, pero otros lo excluyen explícitamente. ^{[ 6 ] [ 7 ]}

Dada una estructura algebraica , una identidad es una ecuación en la que todas las variables están cuantificadas universalmente de forma tácita , y en la que todas las operaciones se encuentran entre las operaciones primitivas propias de la estructura. Las estructuras algebraicas que satisfacen axiomas dados únicamente por identidades se denominan variedades . Muchos resultados estándar del álgebra universal solo son válidos para variedades. Los cuasigrupos forman una variedad si se consideran primitivas la división por la izquierda y por la derecha.

Un cuasigrupo derecho ( Q , ∗, /) es un álgebra de tipo (2, 2) que satisface las identidades: $${\displaystyle y=(y/x)\ast x}$$$${\displaystyle y=(y\ast x)/x}$$

Un cuasigrupo izquierdo ( Q , ∗, \) es un álgebra de tipo (2, 2) que satisface las identidades: $${\displaystyle y=x\ast (x\backslash y)}$$$${\displaystyle y=x\backslash (x\ast y)}$$

Un cuasigrupo ( Q , ∗, \, /) es un álgebra de tipo (2, 2, 2) (es decir, equipada con tres operaciones binarias) que satisface las identidades: ^{[ b ]}$${\displaystyle y=(y/x)\ast x}$$$${\displaystyle y=(y\ast x)/x}$$$${\displaystyle y=x\ast (x\backslash y)}$$$${\displaystyle y=x\backslash (x\ast y)}$$

En otras palabras: la multiplicación y la división, en cualquier orden, una tras otra, en el mismo lado y por el mismo elemento, no tienen ningún efecto neto.

Por lo tanto, si ( Q , ∗) es un cuasigrupo según la definición de la sección anterior, entonces ( Q , ∗, \, /) es el mismo cuasigrupo en el sentido del álgebra universal. Y viceversa: si ( Q , ∗, \, /) es un cuasigrupo según el sentido del álgebra universal, entonces ( Q , ∗) es un cuasigrupo según la primera definición.

Un cuasigrupo es semisimétrico si se cumple alguna de las siguientes identidades equivalentes para todos los x , y : ^{[ c ]}

x ∗ y = y / x

y ∗ x = x \ y

x = ( y ∗ x ) ∗ y

x = y ∗ ( x ∗ y ).

Aunque esta clase pueda parecer especial, cada cuasigrupo Q induce un cuasigrupo semisimétrico Q Δ en el cubo de producto directo Q ³ mediante la siguiente operación:

( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) ⋅ ( y ₁ , y ₂ , y ₃ ) = ( y ₃ / x ₂ , y ₁ \ x ₃ , x ₁ ∗ y ₂ ) = ( x ₂ // y ₃ , x ₃ \\ y ₁ , x ₁ ∗ y ₂ ),

donde " // " y " \\ " son las operaciones de división conjugada dadas por y // x = x / y y y \\ x = x \ y .

Un cuasigrupo puede exhibir trialidad semisimétrica . ^{[ 11 ]}

Una clase más restringida es un cuasigrupo totalmente simétrico (a veces abreviado como cuasigrupo TS ) en el que todos los conjugados coinciden como una sola operación: x ∗ y = x / y = x \ y . Otra forma de definir (la misma noción de) cuasigrupo totalmente simétrico es como un cuasigrupo semisimétrico que es conmutativo, es decir, x ∗ y = y ∗ x .

Los cuasigrupos simétricos totales idempotentes son precisamente (es decir, están en biyección con) las ternas de Steiner , por lo que dicho cuasigrupo también se denomina cuasigrupo de Steiner , y a veces este último se abrevia como squag . El término sloop se refiere a un análogo para los bucles, a saber, bucles totalmente simétricos que satisfacen x ∗ x = 1 en lugar de x ∗ x = x . Sin idempotencia, los cuasigrupos simétricos totales corresponden a la noción geométrica de terna de Steiner extendida , también llamada curva cúbica elíptica generalizada (GECC).

Un cuasigrupo ( Q , ∗) se denomina débilmente totalmente antisimétrico si para todo c , x , y ∈ Q , se cumple la siguiente implicación. ^{[ 12 ]}

( c ∗ x ) ∗ y = ( c ∗ y ) ∗ x implica que x = y .

Un cuasigrupo ( Q , ∗) se denomina totalmente antisimétrico si, además, para todo x , y ∈ Q , se cumple la siguiente implicación: ^{[ 12 ]}

x ∗ y = y ∗ x implica que x = y .

Esta propiedad es necesaria, por ejemplo, en el algoritmo de Damm .

La definición de un cuasigrupo puede tratarse como condiciones sobre los operadores de multiplicación izquierda y derecha L _x , R _x  : Q → Q , definidos por

L _x ( y ) = xy

R _x ( y ) = yx

La definición dice que ambas aplicaciones son biyecciones de Q en sí mismo. Un magma Q es un cuasigrupo precisamente cuando todos estos operadores, para cada x en Q , son biyectivos. Las aplicaciones inversas son la división izquierda y derecha, es decir,

L ⁻¹ _x ( y ) = x \ y

R ⁻¹ _x ( y ) = y / x

En esta notación, las identidades entre las operaciones de multiplicación y división del cuasigrupo (enunciadas en la sección sobre álgebra universal ) son:

L _x L ⁻¹ _x = id correspondiente a x ( x \ y ) = y                    

L ⁻¹ _x L _x = id correspondiente a x \ ( xy ) = y                    

R _x R ⁻¹ _x = id correspondiente a ( y / x ) x = y                    

R ⁻¹ _x R _x = id correspondiente a ( yx ) / x = y                    

donde id denota la aplicación identidad en Q.

La tabla de multiplicar de un cuasigrupo finito es un cuadrado latino : una tabla de n × n llena de n símbolos diferentes de tal manera que cada símbolo aparece exactamente una vez en cada fila y exactamente una vez en cada columna.

Por el contrario, todo cuadrado latino puede considerarse como la tabla de multiplicar de un cuasigrupo de diversas maneras: tanto la fila del borde (que contiene los encabezados de columna) como la columna del borde (que contiene los encabezados de fila) pueden ser cualquier permutación de los elementos. Véase Cuadrados latinos pequeños y cuasigrupos .

La operación binaria de un cuasigrupo es invertible en el sentido de que tanto L _x como R _x , los operadores de multiplicación izquierda y derecha , son biyectivos y, por lo tanto, invertibles .

Cada elemento del bucle tiene un inverso izquierdo y derecho único dado por

x ^λ = e / x x ^λ x = e          

x ^ρ = x \ e xx ^ρ = e          

Se dice que un bucle tiene inversos ( bilaterales ) si x ^λ = x ^ρ para todo x . En este caso, el elemento inverso se suele denotar por x ⁻¹ .

Existen algunas nociones más sólidas de inversos en bucles que suelen ser útiles:

• Un bucle tiene la propiedad de inverso izquierdo si x ^λ ( xy ) = y para todo x e y . Equivalentemente, L ⁻¹ _x = L _{x ^λ} o x \ y = x ^λ y .
• Un bucle tiene la propiedad de inverso derecho si ( yx ) x ^ρ = y para todo x e y . Equivalentemente, R ⁻¹ _x = R _{x ^ρ} o y / x = yx ^ρ . 
• Un bucle tiene la propiedad de inversa antiautomorfa si ( xy ) ^λ = y ^λ x ^λ o, equivalentemente, si ( xy ) ^ρ = y ^ρ x ^ρ .
• Un bucle tiene la propiedad de inversa débil cuando ( xy ) z = e si y solo si x ( yz ) = e . Esto se puede expresar en términos de inversas mediante ( xy ) ^λx = yλ ^o , equivalentemente , x ( yx ) ^ρ = yρ ^.

Un bucle posee la propiedad inversa si cumple tanto la propiedad inversa izquierda como la derecha. Los bucles con propiedad inversa también poseen las propiedades antiautomórfica e inversa débil. De hecho, cualquier bucle que satisfaga dos de las cuatro identidades anteriores posee la propiedad inversa y, por lo tanto, satisface las cuatro.

Cualquier bucle que satisfaga las propiedades de inverso izquierdo, derecho o antiautomórfico tiene automáticamente inversos bilaterales.

Sean Q y P cuasigrupos. Una homotopía de cuasigrupos de Q a P es una tripleta ( α , β , γ ) de aplicaciones de Q a P tales que

α ( x ) β ( y ) = γ ( xy )

para todo x , y en Q. Un homomorfismo de cuasigrupo es simplemente una homotopía para la cual los tres mapas son iguales.

Una isotopía es una homotopía para la cual cada una de las tres aplicaciones ( α , β , γ ) es una biyección . Dos cuasigrupos son isotópicos si existe una isotopía entre ellos. En términos de cuadrados latinos, una isotopía ( α , β , γ ) viene dada por una permutación de filas α , una permutación de columnas β y una permutación del conjunto de elementos subyacentes γ .

Una autotopía es una isotopía de un cuasigrupo sobre sí mismo. El conjunto de todas las autotopías de un cuasigrupo forma un grupo con el grupo de automorfismos como subgrupo.

Todo cuasigrupo es isotópico a un lazo. Si un lazo es isotópico a un grupo, entonces es isomorfo a ese grupo y, por lo tanto, es un grupo en sí mismo. Sin embargo, un cuasigrupo que es isotópico a un grupo no necesariamente es un grupo. Por ejemplo, el cuasigrupo en R con multiplicación dada por ( x , y ) ↦ ( x + y )/2 es isotópico al grupo aditivo ( R , +) , pero no es un grupo en sí mismo ya que no tiene elemento identidad. Todo cuasigrupo medial es isotópico a un grupo abeliano por el teorema de Bruck-Toyoda .

La división por la izquierda y por la derecha son ejemplos de cómo se forma un cuasigrupo mediante la permutación de las variables en la ecuación que lo define. A partir de la operación original  ∗ (es decir, x ∗ y = z ) podemos formar cinco operaciones nuevas: x o y  := y ∗ x (la operación opuesta ), / y \ , y sus opuestas. Esto da un total de seis operaciones de cuasigrupo, que se denominan conjugadas o parastróficas de  ∗. Se dice que dos cualesquiera de estas operaciones son "conjugadas" o "parastróficas" entre sí (y consigo mismas).

Si el conjunto Q tiene dos operaciones de cuasigrupo, ∗ y  ·, y una de ellas es isotópica a un conjugado de la otra, se dice que las operaciones son isóstróficas entre sí. También existen muchos otros nombres para esta relación de "isóstrofa", por ejemplo, paratopía .

Un cuasigrupo n - ario es un conjunto con una operación n -aria , ( Q , f ) con f : Q ⁿ → Q , tal que la ecuación f ( x ₁ , ..., x _n ) = y tiene una solución única para cualquier variable si las otras n variables se especifican arbitrariamente. Poliádico o multiario significa n -ario para algún entero no negativo n . 

Un cuasigrupo 0-ario, o nulo , es simplemente un elemento constante de Q. Un cuasigrupo 1-ario, o unario , es una biyección de Q consigo mismo. Un cuasigrupo binario , o 2-ario, es un cuasigrupo ordinario.

Un ejemplo de cuasigrupo multiario es una operación de grupo iterada, y = x ₁ · x ₂ · ··· · x _n ; no es necesario usar paréntesis para especificar el orden de las operaciones porque el grupo es asociativo. También se puede formar un cuasigrupo multiario realizando cualquier secuencia de operaciones de grupo o cuasigrupo iguales o diferentes, siempre que se especifique el orden de las operaciones.

Existen cuasigrupos multiarios que no pueden representarse de ninguna de estas maneras. Un cuasigrupo n -ario es irreducible si su operación no puede factorizarse en la composición de dos operaciones de la siguiente forma:

f ( x ₁ , ..., x _n ) = g ( x ₁ , ..., x _{i −1} , h ( x _i , ..., x _j ), x _{j +1} , ..., x _n ),

donde 1 ≤ i < j ≤ n y ( i , j ) ≠ (1, n ) . Existen cuasigrupos n -arios irreducibles finitos para todo n > 2 ; véase Akivis y Goldberg (2001) para más detalles.

Un cuasigrupo n -ario con una versión n -aria de asociatividad se llama grupo n -ario .