Anillo parcialmente ordenado

En álgebra abstracta , un anillo parcialmente ordenado es un anillo ( A , +, · ), junto con un orden parcial compatible , es decir, un orden parcial${\displaystyle \,\leq \,}$en el conjunto subyacente A que es compatible con las operaciones de anillo en el sentido de que satisface: $${\displaystyle x\leq y{\text{ implica }}x+z\leq y+z}$$ y $${\displaystyle 0\leq x{\text{ y }}0\leq y{\text{ implican que }}0\leq x\cdot y}$$ a pesar de${\displaystyle x,y,z\in A}$. ^{[ 1 ]} Existen varias extensiones de esta definición que restringen el anillo, el orden parcial o ambos. Por ejemplo, un anillo parcialmente ordenado arquimediano es un anillo parcialmente ordenado${\displaystyle (A,\leq )}$dónde${\displaystyle A}$El grupo aditivo parcialmente ordenado de es arquimediano . ^{[ 2 ]}

Un anillo ordenado , también llamado anillo totalmente ordenado , es un anillo parcialmente ordenado.${\displaystyle (A,\leq )}$dónde${\displaystyle \,\leq \,}$es además un pedido total . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Un l-anillo , o anillo reticulado , es un anillo parcialmente ordenado.${\displaystyle (A,\leq )}$dónde${\displaystyle \,\leq \,}$es además un orden reticular .

El grupo aditivo de un anillo parcialmente ordenado es siempre un grupo parcialmente ordenado .

El conjunto de elementos no negativos de un anillo parcialmente ordenado (el conjunto de elementos${\displaystyle x}$para qué${\displaystyle 0\leq x,}$también llamado cono positivo del anillo) es cerrado bajo la suma y la multiplicación, es decir, si${\displaystyle P}$es el conjunto de elementos no negativos de un anillo parcialmente ordenado, entonces${\displaystyle P+P\subsetequ P}$y${\displaystyle P\cdot P\subseteq P.}$Además,${\displaystyle P\cap (-P)=\{0\}.}$

El mapeo del orden parcial compatible en un anillo${\displaystyle A}$la correspondencia con el conjunto de sus elementos no negativos es uno a uno ; ^{[ 1 ]} es decir, el orden parcial compatible determina de manera única el conjunto de elementos no negativos, y un conjunto de elementos determina de manera única el orden parcial compatible si existe.

Si${\displaystyle S\subseteq A}$es un subconjunto de un anillo${\displaystyle A,}$y:

1. ${\displaystyle 0\in S}$
2. ${\displaystyle S\cap (-S)=\{0\}}$
3. ${\displaystyle S+S\subsetequ S}$
4. ${\displaystyle S\cdot S\subseteq S}$

entonces la relación${\displaystyle \,\leq \,}$dónde${\displaystyle x\leq y}$si y solo si${\displaystyle yx\in S}$define un orden parcial compatible en${\displaystyle A}$(eso es,${\displaystyle (A,\leq )}$es un anillo parcialmente ordenado). ^{[ 2 ]}

En cualquier l-anillo, el valor absoluto${\displaystyle |x|}$de un elemento${\displaystyle x}$puede definirse como${\displaystyle x\vee (-x),}$dónde${\displaystyle x\vee y}$denota el elemento máximo . Para cualquier${\displaystyle x}$y${\displaystyle y,}$$${\displaystyle |x\cdot y|\leq |x|\cdot |y|}$$ sostiene. ^{[ 3 ]}

Un anillo f , o anillo de Pierce - Birkhoff , es un anillo con ordenamiento reticular.${\displaystyle (A,\leq )}$en el cual${\displaystyle x\wedge y=0}$^{[ 4 ]} y${\displaystyle 0\leq z}$implican que${\displaystyle zx\wedge y=xz\wedge y=0}$a pesar de${\displaystyle x,y,z\in A.}$Fueron introducidos por primera vez por Garrett Birkhoff y Richard S. Pierce en 1956, en un artículo titulado "Anillos ordenados reticularmente" ^{[ 5 ]} , en un intento de restringir la clase de l-anillos para eliminar una serie de ejemplos patológicos. Por ejemplo, Birkhoff y Pierce demostraron un l-anillo con 1 en el que 1 no es positivo, aunque sea un cuadrado ^{[ 2 ]} . La hipótesis adicional requerida para los f-anillos elimina esta posibilidad.

• Grupo ordenado linealmente : grupo con orden total invariante traslacionalmente. 
• Campo ordenado : objeto algebraico con una estructura ordenada. 
• Grupo ordenado : grupo con un orden parcial compatible. Páginas que muestran descripciones breves de los destinos de redirección. 
• Espacio vectorial topológico ordenado
• Espacio vectorial ordenado – Espacio vectorial con un orden parcial 
• Espacio parcialmente ordenado – Espacio topológico parcialmente ordenado 
• Espacio de Riesz : espacio vectorial parcialmente ordenado, organizado como una red. 

• Leonard Gillman y Meyer Jerison (1976) [1960] Anillos de funciones continuas , Textos de posgrado en matemáticas n.° 43. Springer-Verlag, Nueva York-Heidelberg.

• "Anillo ordenado" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Anillo parcialmente ordenado en PlanetMath .