Perfect ring

The following equivalent definitions of a left perfect ring R are found in Anderson and Fuller:^[2]

• Every left R-module has a projective cover.
• R/J(R) is semisimple and J(R) is left T-nilpotent (that is, for every infinite sequence of elements of J(R) there is an n such that the product of first n terms are zero), where J(R) is the Jacobson radical of R.
• (Bass' Theorem P) R satisfies the descending chain condition on principal right ideals. (There is no mistake; this condition on right principal ideals is equivalent to the ring being left perfect.)
• Every flat left R-module is projective.
• R/J(R) is semisimple and every non-zero left R-module contains a maximal submodule.
• R contains no infinite orthogonal set of idempotents, and every non-zero right R-module contains a minimal submodule.

• Se sabe que los anillos artinianos derechos o izquierdos , y los anillos semiprimarios, son perfectos tanto a la derecha como a la izquierda.
• El siguiente es un ejemplo (debido a Bass) de un anillo local que es perfecto por la derecha pero no por la izquierda. Sea F un cuerpo y consideremos un cierto anillo de matrices infinitas sobre F.

Consideremos el conjunto de matrices infinitas con entradas indexadas por${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$y que tienen solo un número finito de entradas distintas de cero, todas ellas por encima de la diagonal, y denotamos este conjunto por${\displaystyle J}$. También tome la matriz${\displaystyle I\,}$con todos los 1 en diagonal, y forman el conjunto

${\displaystyle R=\{f\cdot I+j\mid f\in F,j\in J\}\,}$

Se puede demostrar que R es un anillo con identidad, cuyo radical de Jacobson es J. Además, R / J es un cuerpo, por lo que R es local y R es perfecto por la derecha pero no por la izquierda. ^{[ 3 ]}

Para un anillo perfecto izquierdo R :

• De las equivalencias anteriores, todo R -módulo izquierdo tiene un submódulo maximal y una cubierta proyectiva, y los R- módulos izquierdos planos coinciden con los módulos izquierdos proyectivos.
• Un criterio análogo al de Baer es válido para módulos proyectivos.

Sea R un anillo. Entonces R es semiperfecto si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

• R /J( R ) es semisimple y los idempotentes levantan módulo J( R ), donde J( R ) es el radical de Jacobson de R .
• R tiene un conjunto ortogonal completo e ₁ , ..., e _n de idempotentes, donde cada e _i Re _{i es} un anillo local .
• Todo R -módulo izquierdo (derecho) simple tiene una cubierta proyectiva .
• Todo R -módulo izquierdo (derecho) generado de forma finita tiene una cubierta proyectiva.
• La categoría de proyectivo finitamente generado${\displaystyle R}$-modules es Krull-Schmidt .

Algunos ejemplos de anillos semiperfectos son:

• Anillos perfectos a la izquierda (derecha).
• Anillos locales.
• Anillos artinianos de la izquierda (derecha) .
• k - álgebras de dimensión finita .

Dado que un anillo R es semiperfecto si y solo si todo R -módulo izquierdo simple tiene una cubierta proyectiva, todo anillo Morita equivalente a un anillo semiperfecto también es semiperfecto.

Para un anillo semiperfecto fijo R , existe (salvo isomorfismo de anillos) un representante canónico de la clase de anillos Morita equivalente a R , llamado anillo básico para R. Un anillo semiperfecto es básico si y solo si R /J( R ) es un producto directo de anillos de división.

Dado un conjunto ortogonal completo e ₁ , ..., e _n de idempotentes locales, podemos asumir un ordenamiento de este conjunto de tal manera que para algún i≤n los módulos derechos e ₁ R, ..., e _i R formen un conjunto completo de módulos derechos proyectivos finitamente generados. El idempotente e = e ₁ + ... + e _i se denomina entonces idempotente básico y el anillo de esquina B:=eRe isomorfo a End _R ( e ₁ R + ...+ e _i R ) es el anillo básico para R .

El mapa I → IR define la incrustación del retículo de ideales derechos de B en el de R. El mapa I → RIR define un isomorfismo entre el retículo de ideales de B y el retículo de ideales de R. Este isomorfismo respeta la multiplicación de ideales. ^{[ 4 ]}