Grados de libertad (mecánica)

En física , el número de grados de libertad ( GDL ) de un sistema mecánico es la cantidad de parámetros independientes necesarios para especificar completamente su configuración o estado. Este número es una propiedad importante en el análisis de sistemas de cuerpos en ingeniería mecánica , ingeniería estructural , ingeniería aeroespacial , robótica y otros campos.

Por ejemplo, la posición de un tren tiene un grado de libertad porque puede especificarse completamente mediante un único valor que expresa la distancia de la locomotora a lo largo de la vía, la cual, a su vez, controla la distancia de sus dependientes, los vagones acoplados.

Como segundo ejemplo, un automóvil con una suspensión muy rígida puede considerarse un cuerpo rígido que se desplaza sobre un plano (un espacio plano bidimensional). Este cuerpo posee tres grados de libertad independientes: dos componentes de traslación (que, en conjunto, determinan su posición) y un ángulo de rotación (que determina su orientación). El derrape o el deslizamiento lateral son buenos ejemplos de los tres grados de libertad independientes de un automóvil.

La posición y orientación de un cuerpo rígido en el espacio se definen mediante tres componentes de traslación y tres componentes de rotación , lo que significa que el cuerpo tiene seis grados de libertad.

Para asegurar que los grados de libertad de un dispositivo mecánico no lo restrinjan ni lo subrestringan ni lo sobrerestringan, su diseño puede gestionarse utilizando el método de restricción exacta . ^{[ 1 ]}

La posición de un cuerpo rígido n -dimensional se define mediante la transformación rígida , [ T ] = [ A , d ], donde d es una traslación n -dimensional y A es una matriz de rotación n × n , que tiene n grados de libertad traslacionales y n ( n − 1)/2 grados de libertad rotacionales. El número de grados de libertad rotacionales proviene de la dimensión del grupo de rotación SO(n) .        

Un cuerpo no rígido o deformable puede considerarse como una colección de muchas partículas diminutas (con un número infinito de grados de libertad), lo que a menudo se aproxima mediante un sistema con un número finito de grados de libertad. Cuando el objetivo principal del estudio es analizar el movimiento con grandes desplazamientos (por ejemplo, para analizar el movimiento de satélites), un cuerpo deformable puede aproximarse como un cuerpo rígido (o incluso como una partícula) para simplificar el análisis.

El grado de libertad de un sistema puede considerarse como el número mínimo de coordenadas necesarias para especificar una configuración. Aplicando esta definición, tenemos:

1. Para una sola partícula en un plano, dos coordenadas definen su ubicación, por lo que tiene dos grados de libertad;
2. Una sola partícula en el espacio requiere tres coordenadas, por lo que tiene tres grados de libertad;
3. Dos partículas en el espacio tienen un total de seis grados de libertad;
4. Si dos partículas en el espacio están obligadas a mantener una distancia constante entre sí, como en el caso de una molécula diatómica, entonces las seis coordenadas deben satisfacer una única ecuación de restricción definida por la fórmula de la distancia. Esto reduce el grado de libertad del sistema a cinco, ya que la fórmula de la distancia se puede usar para calcular la coordenada restante una vez que se especifican las otras cinco.

Un solo cuerpo rígido tiene como máximo seis grados de libertad (6 DOF) 3T3R que consisten en tres traslaciones 3T y tres rotaciones 3R .

Véase también ángulos de Euler .

Por ejemplo, el movimiento de un barco en el mar tiene los seis grados de libertad de un cuerpo rígido y se describe como: ^{[ 2 ]}

Traslación y rotación:

1. Caminar (o avanzar ): Moverse hacia adelante y hacia atrás;
2. Ametrallamiento (o balanceo ): Moverse de izquierda a derecha;
3. Elevar (o agitar ): Moverse hacia arriba y hacia abajo;
4. Rotación de balanceo : Gira de lado a lado;
5. Rotación de cabeceo : Se inclina hacia adelante y hacia atrás;
6. Rotación de guiñada : Gira hacia la izquierda y hacia la derecha;

Por ejemplo, la trayectoria de un avión en vuelo tiene tres grados de libertad y su actitud a lo largo de la trayectoria tiene tres grados de libertad, lo que da un total de seis grados de libertad.

• Para información sobre el balanceo en vuelo y la dinámica de los buques, consulte balanceo (aviación) y balanceo (movimiento de buques) , respectivamente.
  • Una derivada importante es la velocidad de alabeo (o velocidad de alabeo), que es la velocidad angular a la que una aeronave puede cambiar su actitud de alabeo, y que normalmente se expresa en grados por segundo.
• Para información sobre el cabeceo en vuelo y la dinámica de los buques, consulte cabeceo (aviación) y cabeceo (movimiento de buques) , respectivamente.
• Para información sobre guiñada en vuelo y dinámica de buques, consulte guiñada (aviación) y guiñada (movimiento de buques) , respectivamente.
  • Una derivada importante es la velocidad de guiñada (o velocidad angular de guiñada), la velocidad angular de rotación de guiñada, medida con un sensor de velocidad de guiñada .
  • Otro derivado importante es el momento de guiñada, el momento angular de una rotación de guiñada, que es importante para la guiñada adversa en la dinámica de las aeronaves.

La fórmula de movilidad cuenta el número de parámetros que definen la configuración de un conjunto de cuerpos rígidos que están restringidos por articulaciones que conectan estos cuerpos. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

Consideremos un sistema de n cuerpos rígidos que se mueven en el espacio y que tiene 6n grados de libertad medidos con respecto a un sistema de referencia fijo. Para contar los grados de libertad de este sistema, incluimos el cuerpo fijo en el conteo de cuerpos, de modo que la movilidad sea independiente de la elección del cuerpo que forma el sistema de referencia fijo. Entonces, el grado de libertad del sistema sin restricciones de N  = n + 1 es   

${\displaystyle M=6n=6(N-1),\!}$

porque el cuerpo fijo tiene cero grados de libertad con respecto a sí mismo.

Las articulaciones que conectan los cuerpos en este sistema eliminan grados de libertad y reducen la movilidad. Específicamente, las bisagras y los deslizadores imponen cinco restricciones y, por lo tanto, eliminan cinco grados de libertad. Es conveniente definir el número de restricciones c que impone una articulación en función de su grado de libertad f , donde c  =  6  − f . En el caso de una bisagra o un deslizador, que son articulaciones con un grado de libertad, f = 1 y, por lo tanto, c = 6 − 1 = 5.         

El resultado es que la movilidad de un sistema formado por n eslabones móviles y j articulaciones, cada una con libertad f _i , i  =  1,  ...,  j, viene dada por

${\displaystyle M=6n-\sum _{i=1}^{j}\ (6-f_{i})=6(N-1-j)+\sum _{i=1}^{j}\ f_{i}}$

Recordemos que N incluye el enlace fijo.

Hay dos casos especiales importantes: (i) una cadena abierta simple y (ii) una cadena cerrada simple. Una cadena abierta simple consta de n eslabones móviles conectados de extremo a extremo por n articulaciones, con un extremo conectado a un eslabón fijo. Por lo tanto, en este caso N  = j + 1 y la movilidad de la cadena es   

${\displaystyle M=\sum _{i=1}^{j}\ f_{i}}$

Para una cadena cerrada simple, n eslabones móviles están conectados extremo con extremo mediante n  +  1 articulaciones, de manera que los dos extremos están conectados al eslabón fijo formando un bucle. En este caso, tenemos N  = j y la movilidad de la cadena es 

${\displaystyle M=\sum _{i=1}^{j}\ f_{i}-6}$

Un ejemplo de cadena abierta simple es un manipulador robótico serial. Estos sistemas robóticos se construyen a partir de una serie de eslabones conectados por seis articulaciones de revolución o prismáticas de un grado de libertad, por lo que el sistema tiene seis grados de libertad.

Un ejemplo de cadena cerrada simple es el mecanismo espacial de cuatro barras RSSR. La suma de los grados de libertad de estas articulaciones es ocho, por lo que la movilidad del mecanismo es dos, donde uno de los grados de libertad es la rotación del acoplador alrededor de la línea que une las dos articulaciones en S.

Sistemas de cuerpos

Un sistema con varios cuerpos tendría un grado de libertad combinado que es la suma de los grados de libertad de los cuerpos, menos las restricciones internas que puedan tener sobre su movimiento relativo. Un mecanismo o articulación que contiene varios cuerpos rígidos conectados puede tener más grados de libertad que un solo cuerpo rígido. Aquí, el término grados de libertad se usa para describir la cantidad de parámetros necesarios para especificar la posición espacial de una articulación. También se define en el contexto del espacio de configuración, el espacio de tareas y el espacio de trabajo de un robot.

Un tipo específico de articulación es la cadena cinemática abierta , donde un conjunto de eslabones rígidos se conectan en articulaciones ; una articulación puede proporcionar un grado de libertad (bisagra/deslizante) o dos (cilíndrica). Estas cadenas se encuentran comúnmente en robótica , biomecánica y en satélites y otras estructuras espaciales. Se considera que un brazo humano tiene siete grados de libertad (GDL). Un hombro permite el cabeceo, la guiñada y el balanceo, un codo permite el cabeceo y una muñeca permite el cabeceo, la guiñada y el balanceo. Solo tres de esos movimientos serían necesarios para mover la mano a cualquier punto del espacio, pero las personas carecerían de la capacidad de agarrar objetos desde diferentes ángulos o direcciones. Un robot (u objeto) que tiene mecanismos para controlar los seis GDL físicos se denomina holonómico . Un objeto con menos GDL controlables que GDL totales se denomina no holonómico, y un objeto con más GDL controlables que GDL totales (como el brazo humano) se denomina redundante. Aunque hay que tener en cuenta que no es redundante en el brazo humano porque los dos grados de libertad (muñeca y hombro), que representan el mismo movimiento (balanceo), se complementan entre sí, ya que no pueden girar 360 grados completos. Los grados de libertad son como diferentes movimientos que se pueden realizar.

En robótica móvil, un robot con forma de automóvil puede alcanzar cualquier posición y orientación en un espacio bidimensional, por lo que necesita tres grados de libertad (GDL) para describir su postura. Sin embargo, en cualquier punto, solo se puede mover mediante un movimiento hacia adelante y un ángulo de dirección. Por lo tanto, tiene dos GDL de control y tres GDL de representación; es decir, es no holonómico. Un avión de ala fija, con tres o cuatro GDL de control (movimiento hacia adelante, alabeo, cabeceo y, en menor medida, guiñada) en un espacio tridimensional, también es no holonómico, ya que no puede moverse directamente hacia arriba/abajo ni hacia la izquierda/derecha.

Pennestri, Cavacece y Vita han presentado un resumen de fórmulas y métodos para calcular los grados de libertad en sistemas mecánicos. ^{[ 5 ]}

En ingeniería eléctrica, los grados de libertad se utilizan a menudo para describir el número de direcciones en las que una antena de matriz en fase puede formar haces o nulos . Es igual a uno menos que el número de elementos de la matriz, ya que un elemento se utiliza como referencia contra la cual se puede aplicar interferencia constructiva o destructiva utilizando cada uno de los elementos restantes de la antena. En la práctica del radar y en la práctica de los enlaces de comunicación, la dirección del haz es más frecuente en aplicaciones de radar y la dirección del nulo es más frecuente para la supresión de interferencias en enlaces de comunicación.

• Bloqueo de cardán : pérdida de un grado de libertad en un mecanismo tridimensional de tres cardanes. 
• Cinemática – Rama de la física que describe el movimiento de los objetos sin considerar las fuerzas. 
• Par cinemático : conexión entre dos objetos físicos que restringe su movimiento relativo. 
• XR-2 – Robot educativo