Sección transversal (geometría)

En geometría y ciencia , una sección transversal es la intersección no vacía de un cuerpo sólido en el espacio tridimensional con un plano , o su análogo en espacios de dimensiones superiores . Cortar un objeto en rebanadas crea muchas secciones transversales paralelas. El límite de una sección transversal en el espacio tridimensional que es paralelo a dos de los ejes , es decir, paralelo al plano determinado por estos ejes, a veces se denomina línea de contorno ; por ejemplo, si un plano corta las montañas de un mapa en relieve paralelo al suelo, el resultado es una línea de contorno en el espacio bidimensional que muestra puntos en la superficie de las montañas de igual elevación .

En dibujo técnico, una sección transversal, que es la proyección de un objeto sobre un plano que lo interseca, es una herramienta común para representar la disposición interna de un objeto tridimensional en dos dimensiones. Tradicionalmente se utiliza un sombreado cruzado , cuyo estilo suele indicar el tipo de materiales empleados.

Mediante la tomografía axial computarizada , los ordenadores pueden construir secciones transversales a partir de datos de rayos X.

Si un plano interseca un sólido (un objeto tridimensional), entonces la región común al plano y al sólido se llama sección transversal del sólido. ^{[ 1 ]} Un plano que contiene una sección transversal del sólido puede denominarse plano de corte .

La forma de la sección transversal de un sólido puede depender de la orientación del plano de corte con respecto al sólido. Por ejemplo, mientras que todas las secciones transversales de una esfera son discos, ^{[ 2 ]} las secciones transversales de un cubo dependen de cómo se relaciona el plano de corte con el cubo. Si el plano de corte es perpendicular a una línea que une los centros de dos caras opuestas del cubo, la sección transversal será un cuadrado; sin embargo, si el plano de corte es perpendicular a una diagonal del cubo que une vértices opuestos, la sección transversal puede ser un punto, un triángulo o un hexágono.

Una sección transversal de un poliedro es un polígono .

Las secciones cónicas —círculos , elipses , parábolas e hipérbolas— son secciones planas de un cono con los planos de corte en diferentes ángulos, como se puede ver en el diagrama de la izquierda.

Cualquier sección transversal que pase por el centro de un elipsoide forma una región elíptica, mientras que las secciones planas correspondientes son elipses en su superficie. Estas degeneran en discos y círculos, respectivamente, cuando los planos de corte son perpendiculares a un eje de simetría. En términos más generales, las secciones planas de una cuádrica son secciones cónicas. ^{[ 5 ]}

La sección transversal de un cilindro circular recto sólido que se extiende entre dos bases es un disco si es paralela a la base del cilindro, o una región elíptica (véase el diagrama de la derecha) si no es paralela ni perpendicular a la base. Si el plano de corte es perpendicular a la base, consiste en un rectángulo (no mostrado), a menos que sea tangente al cilindro, en cuyo caso es un único segmento de línea .

El término cilindro también puede referirse a la superficie lateral de un cilindro sólido (véase cilindro (geometría) ). Si se utiliza un cilindro en este sentido, el párrafo anterior quedaría de la siguiente manera: Una sección plana de un cilindro circular recto de longitud finita ^{[ 6 ]} es un círculo si el plano de corte es perpendicular al eje de simetría del cilindro, o una elipse si no es ni paralelo ni perpendicular a dicho eje. Si el plano de corte es paralelo al eje, la sección plana consta de un par de segmentos de línea paralelos, a menos que el plano de corte sea tangente al cilindro, en cuyo caso, la sección plana es un único segmento de línea.

Una gráfica de z = x² + xy + y² ^. Para la derivada parcial en (1, 1, 3) ^que deja y constante, la línea tangente correspondiente es paralela al plano xz .

Sección plana del gráfico anterior que muestra la curva de nivel en el plano xz en y = 1.

Se puede utilizar una sección plana para visualizar la derivada parcial de una función con respecto a uno de sus argumentos, como se muestra. Supongamos que z = f ( x , y ) . Al calcular la derivada parcial de f ( x , y ) con respecto a x , se puede tomar una sección plana de la función f en un valor fijo de y para trazar la curva de nivel de z únicamente en función de x ; entonces, la derivada parcial con respecto a x es la pendiente de la gráfica bidimensional resultante.

El principio de Cavalieri establece que los sólidos con secciones transversales correspondientes de áreas iguales tienen volúmenes iguales.

El área de la sección transversal (${\displaystyle A'}$) de un objeto cuando se ve desde un ángulo particular es el área total de la proyección ortográfica del objeto desde ese ángulo. Por ejemplo, un cilindro de altura h y radio r tiene${\displaystyle A'=\pi r^{2}}$cuando se observa a lo largo de su eje central, y${\displaystyle A'=2rh}$cuando se observa desde una dirección ortogonal. Una esfera de radio r tiene${\displaystyle A'=\pi r^{2}}$visto desde cualquier ángulo. De forma más genérica,${\displaystyle A'}$se puede calcular evaluando la siguiente integral de superficie:

${\displaystyle A'=\iint \limits _{\mathrm {arriba} }d\mathbf {A} \cdot \mathbf {\hat {r}} ,}$

dónde${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$es el vector unitario que apunta en la dirección de visualización hacia el observador,${\displaystyle d\mathbf {A} }$es un elemento de superficie con una normal que apunta hacia afuera, y la integral se toma solo sobre la superficie más superior, esa parte de la superficie que es "visible" desde la perspectiva del observador. Para un cuerpo convexo , cada rayo que atraviesa el objeto desde la perspectiva del observador cruza solo dos superficies. Para tales objetos, la integral se puede tomar sobre toda la superficie (${\displaystyle A}$) tomando el valor absoluto del integrando (de modo que la "parte superior" y la "parte inferior" del objeto no se resten, como lo requeriría el Teorema de la Divergencia aplicado al campo vectorial constante).${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$) y dividiendo por dos:

${\displaystyle A'={\frac {1}{2}}\iint \limits _{A}|d\mathbf {A} \cdot \mathbf {\hat {r}} |}$

En analogía con la sección transversal de un sólido, la sección transversal de un cuerpo n- dimensional en un espacio n- dimensional es la intersección no vacía del cuerpo con un hiperplano (un subespacio ( n -1) -dimensional). Este concepto se ha utilizado a veces para ayudar a visualizar aspectos de espacios de dimensiones superiores. ^{[ 7 ]} Por ejemplo, si un objeto de cuatro dimensiones pasara a través de nuestro espacio tridimensional, veríamos una sección transversal tridimensional del objeto de cuatro dimensiones. En particular, una 4-bola (hiperesfera) que pasa a través del espacio tridimensional aparecería como una 3-bola que aumenta hasta un máximo y luego disminuye de tamaño durante la transición. Este objeto dinámico (desde el punto de vista del espacio tridimensional) es una secuencia de secciones transversales de la 4-bola.

En geología , la estructura del interior de un planeta se suele ilustrar mediante un diagrama de una sección transversal del planeta que pasa por su centro, como en la sección transversal de la Tierra que se muestra a la derecha.

En anatomía, los cortes transversales se utilizan con frecuencia para ilustrar la estructura interna de un órgano, como se muestra a la izquierda.

Un corte transversal del tronco de un árbol , como se muestra a la izquierda, revela anillos de crecimiento que pueden utilizarse para determinar la edad del árbol y las propiedades temporales de su entorno.

• Geometría descriptiva
• Dibujo de vista explosionada
• Proyección gráfica
• Planos (dibujos)
• Medidor de perfil
• Revestimiento de sección ; representación de materiales
• Plano secante

• Albert, Abraham Adrian (2016) [1949], Geometría analítica sólida , Dover, ISBN 978-0-486-81026-3
• Stewart, Ian (2001), Flatterland / como flatland, solo que más , Persus Publishing, ISBN 0-7382-0675-X
• Swokowski, Earl W. (1983), Cálculo con geometría analítica (  Edición alternativa), Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-341-7