variedad abeliana dual

En matemáticas , una variedad abeliana dual se puede definir a partir de una variedad abeliana A , definida sobre un cuerpo k . Una variedad abeliana unidimensional es una curva elíptica , y toda curva elíptica es isomorfa a su dual, pero esto no se cumple para variedades abelianas de dimensiones superiores, por lo que el concepto de dual se vuelve más interesante en dimensiones superiores.

Sea A una variedad abeliana sobre un cuerpo k . Definimos${\displaystyle \operatorname {Pic} ^{0}(A)\subset \operatorname {Pic} (A)}$ser el subgrupo del grupo de Picard que consiste en haces de líneas L tales que${\displaystyle m^{*}L\cong p^{*}L\otimes q^{*}L}$, dónde${\displaystyle m,p,q}$son los mapas de multiplicación y proyección${\displaystyle A\times _{k}A\to A}$respectivamente. Un elemento de${\displaystyle \operatorname {Pic} ^{0}(A)}$se denomina fibrado lineal ^de grado 0 en A. ^{[ 1} ]

A A se le asocia entonces una variedad abeliana dual A ^v (sobre el mismo cuerpo), que es la solución al siguiente problema de módulos . Una familia de fibrados de líneas de grado 0 parametrizada por una k -variedad T se define como un fibrado de líneas L en A × T tal que

1. a pesar de${\displaystyle t\in T}$, la restricción de L a A ×{ t } es un fibrado de líneas de grado 0,
2. La restricción de L a {0}× T es un fibrado lineal trivial (aquí 0 es la identidad de A ).

Luego hay una variedad A ^v y un conjunto de líneas${\displaystyle P\to A\times A^{\vee }}$, llamado fibrado de Poincaré, que es una familia de fibrados de líneas de grado 0 parametrizados por A ^v en el sentido de la definición anterior. ^{[ 2 ]} Además, esta familia es universal, es decir, a cualquier familia L parametrizada por T se le asocia un único morfismo f : T → A ^v tal que L es isomorfo al retroceso de P a lo largo del morfismo 1 _A × f : A × T → A × A ^v . Aplicando esto al caso en que T es un punto, vemos que los puntos de A ^v corresponden a fibrados de líneas de grado 0 en A , por lo que hay una operación de grupo natural en A ^v dada por el producto tensorial de fibrados de líneas, que lo convierte en una variedad abeliana.

En el lenguaje de los functores representables, el resultado anterior se puede enunciar de la siguiente manera. El functor contravariante, que asocia a cada k -variedad T el conjunto de familias de haces de líneas de grado 0 parametrizados por T y a cada k -morfismo f : T → T' la aplicación inducida por el retroceso con f , es representable. El elemento universal que representa este functor es el par ( A ^v , P ).

Esta asociación es una dualidad en el sentido de que existe un isomorfismo natural entre el doble dual A ^vv y A (definido mediante el fibrado de Poincaré) y que es contravariante funtorial , es decir, asocia a todos los morfismos f : A → B morfismos duales f ^v : B ^v → A ^v de forma compatible. La n -torsión de una variedad abeliana y la n -torsión de su dual son duales entre sí cuando n es coprimo con la característica de la base. En general, para todo n , los esquemas de grupo de n- torsión de las variedades abelianas duales son duales de Cartier entre sí. Esto generaliza el emparejamiento de Weil para curvas elípticas.

La teoría se formuló por primera vez de forma adecuada cuando K era el cuerpo de los números complejos . En ese caso, existe una forma general de dualidad entre la variedad albanesa de una variedad completa V y su variedad de Picard ; esto se comprendió, para definiciones en términos de toros complejos , tan pronto como André Weil dio una definición general de variedad albanesa. Para una variedad abeliana A , la variedad albanesa es A misma, por lo que la dual debería ser Pic ⁰ ( A ), la componente conexa del elemento identidad de lo que en la terminología contemporánea es el esquema de Picard .

Para el caso de la variedad jacobiana J de una superficie de Riemann compacta C , la elección de una polarización principal de J da lugar a una identificación de J con su propia variedad de Picard. Esto, en cierto sentido, es simplemente una consecuencia del teorema de Abel . Para variedades abelianas generales, todavía sobre los números complejos, A está en la misma clase de isogenia que su dual. Se puede construir una isogenia explícita mediante el uso de un haz invertible L en A (es decir, en este caso un fibrado lineal holomorfo ), cuando el subgrupo

K ( L )

de traslaciones en L que transforman L en una copia isomorfa es en sí mismo finito. En ese caso, el cociente

A / K ( L )

es isomorfo a la variedad abeliana dual A ^v .

Esta construcción de A ^v se extiende a cualquier campo K de característica cero . ^{[ 3 ]} En términos de esta definición, el fibrado de Poincaré , un fibrado lineal universal, puede definirse en

A × A ^v .

La construcción cuando K tiene característica p utiliza la teoría de esquemas . La definición de K ( L ) debe estar en términos de un esquema de grupo que sea un estabilizador de la teoría de esquemas , y el cociente tomado es ahora un cociente por un esquema de subgrupo. ^{[ 4 ]}

Dejar${\displaystyle f:A\to B}$ser una isogenia de variedades abelianas. (Es decir,${\displaystyle f}$es finito a uno y sobreyectivo.) Construiremos una isogenia${\displaystyle f^{\vee }:B^{\vee }\to A^{\vee }}$utilizando la descripción funtorial de${\displaystyle A^{\vee }}$, que dice que los datos de un mapa${\displaystyle f^{\vee }:B^{\vee }\to A^{\vee }}$es lo mismo que dar una familia de haces de líneas de grado cero en${\displaystyle A}$, parametrizado por${\displaystyle B^{\vee }}$.

Para ello, consideremos la isogenia.${\displaystyle f\times 1_{B^{\vee }}:A\times B^{\vee }\to B\times B^{\vee }}$y${\displaystyle (f\times 1_{B^{\vee }})^{*}P_{B}}$dónde${\displaystyle P_{B}}$es el paquete de la línea Poincare para${\displaystyle B}$. Esta es entonces la familia requerida de haces de líneas de grado cero en${\displaystyle A}$.

Según la descripción funtorial antes mencionada, entonces existe un morfismo.${\displaystyle f^{\vee }:B^{\vee }\to A^{\vee }}$de modo que${\displaystyle (f^{\vee }\times 1_{A})^{*}P_{A}\cong (f\times 1_{B^{\vee }})^{*}P_{B}}$. Se puede demostrar usando esta descripción que este mapa es una isogenia del mismo grado que${\displaystyle f}$y que${\displaystyle f^{\vee \vee }=f}$. ^{[ 5 ]}

Por lo tanto, obtenemos un endofunctor contravariante en la categoría de variedades abelianas que cuadra a la identidad. Este tipo de functor se suele denominar functor dualizante . ^{[ 6 ]}

Un célebre teorema de Mukai ^{[ 7 ]} afirma que existe un isomorfismo de categorías derivadas.${\displaystyle D^{b}(A)\cong D^{b}(A^{\vee })}$, dónde${\displaystyle D^{b}(X)}$denota la categoría derivada acotada de haces coherentes en X. Históricamente, este fue el primer uso de la transformada de Fourier-Mukai y muestra que la categoría derivada acotada no puede necesariamente distinguir variedades no isomorfas.

Recordemos que si X e Y son variedades, y${\displaystyle {\mathcal {K}}\in D^{b}(X\times Y)}$es un complejo de haces coherentes, definimos la transformada de Fourier-Mukai${\displaystyle \Phi _{\mathcal {K}}^{X\to Y}:D^{b}(X)\to D^{b}(Y)}$ser la composición${\displaystyle \Phi _{\mathcal {K}}^{X\to Y}(\cdot )=Rq_{*}({\mathcal {K}}\otimes _{L}Lp^{*}(\cdot ))}$donde p y q son las proyecciones sobre X e Y respectivamente.

Tenga en cuenta que${\displaystyle p}$es plano y por lo tanto${\displaystyle p^{*}}$es exacto a nivel de haces coherentes y en aplicaciones${\displaystyle {\mathcal {K}}}$A menudo es un fibrado de líneas, por lo que normalmente se pueden dejar los functores derivados izquierdos sin derivar en la expresión anterior. Nótese también que se puede definir de forma análoga una transformada de Fourier-Mukai.${\displaystyle \Phi _{\mathcal {K}}^{Y\to X}}$utilizando el mismo núcleo, simplemente intercambiando los mapas de proyección en la fórmula.

El enunciado del teorema de Mukai es entonces el siguiente.

Teorema: Sea A una variedad abeliana de dimensión g y${\displaystyle P_{A}}$el paquete de la línea Poincare en${\displaystyle A\times A^{\vee }}$. Entonces,${\displaystyle \Phi _{P_{A}}^{A^{\vee }\to A}\circ \Phi _{P_{A}}^{A\to A^{\vee }}\cong \iota ^{*}[-g]}$, dónde${\displaystyle \iota :A\to A}$es el mapa de inversión, y${\displaystyle [-g]}$es el functor de desplazamiento. En particular,${\displaystyle \Phi _{P_{A}}^{A\to A^{\vee }}}$es un isomorfismo. ^{[ 8 ]}

• Milne, James S. (2008). Variedades abelianas (v2.00) (PDF) .
• Mumford, David (1985). Variedades abelianas (2.ª  ed.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-560528-0.
• Bhatt, Bhargav (2017). Variedades Abelianas (PDF) .

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