Mapa de Poincaré

En matemáticas , particularmente en sistemas dinámicos , un mapa de primera recurrencia o mapa de Poincaré , llamado así en honor a Henri Poincaré , es la intersección de una órbita periódica en el espacio de estados de un sistema dinámico continuo con un subespacio de menor dimensión, denominado sección de Poincaré , transversal al flujo del sistema. Más precisamente, se considera una órbita periódica con condiciones iniciales dentro de una sección del espacio, que posteriormente abandona dicha sección, y se observa el punto en el que esta órbita regresa por primera vez a la sección. Luego se crea un mapa que conecta el primer punto con el segundo, de ahí el nombre de mapa de primera recurrencia . La transversalidad de la sección de Poincaré implica que las órbitas periódicas que parten del subespacio fluyen a través de él y no paralelas a él.

Un mapa de Poincaré puede interpretarse como un sistema dinámico discreto con un espacio de estados una dimensión menor que el del sistema dinámico continuo original. Debido a que conserva muchas propiedades de las órbitas periódicas y cuasiperiódicas del sistema original y tiene un espacio de estados de menor dimensión, se suele utilizar para analizar el sistema original de forma más sencilla. En la práctica, esto no siempre es posible, ya que no existe un método general para construir un mapa de Poincaré.

Un mapa de Poincaré se diferencia de un diagrama de recurrencia en que el espacio, no el tiempo, determina cuándo se traza un punto. Por ejemplo, el lugar geométrico de la Luna cuando la Tierra está en el perihelio es un diagrama de recurrencia; el lugar geométrico de la Luna cuando pasa por el plano perpendicular a la órbita terrestre y que atraviesa el Sol y la Tierra en el perihelio es un mapa de Poincaré. Michel Hénon lo utilizó para estudiar el movimiento de las estrellas en una galaxia , ya que la trayectoria de una estrella proyectada sobre un plano parece un enredo, mientras que el mapa de Poincaré muestra la estructura con mayor claridad.

Sea ( R , M , φ ) un sistema dinámico global , donde R son los números reales , M es el espacio de fases y φ es la función de evolución . Sea γ una órbita periódica que pasa por un punto p y S una sección local diferenciable y transversal de φ que pasa por p , llamada sección de Poincaré que pasa por p .

Dado un vecindario abierto y conectado${\displaystyle U\subset S}$de p , una función

${\displaystyle P:U\to S}$

se denomina mapa de Poincaré para la órbita γ en la sección de Poincaré S que pasa por el punto p si

• P ( p ) = p
• P ( U ) es un entorno de p y P : U → P ( U ) es un difeomorfismo
• Para cada punto x en U , la semiórbita positiva de x interseca S por primera vez en P ( x ).

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales en coordenadas polares,${\displaystyle (\theta ,r)\in \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {R} ^{+}}$:

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\theta }}=1\\{\dot {r}}=(1-r^{2})r\end{cases}}}$

El flujo del sistema se puede obtener integrando la ecuación: para el${\displaystyle \theta }$componente que simplemente tenemos ${\displaystyle \theta (t)=\theta _{0}+t}$ mientras que para el${\displaystyle r}$Componente que necesitamos separar las variables e integrar:

${\displaystyle \int {\frac {1}{(1-r^{2})r}}dr=\int dt\Longrightarrow \log \left({\frac {r}{\sqrt {1-r^{2}}}}\right)=t+c}$

Invirtiendo la última expresión se obtiene

${\displaystyle r(t)={\sqrt {\frac {e^{2(t+c)}}{1+e^{2(t+c)}}}}}$

y desde

${\displaystyle r(0)={\sqrt {\frac {e^{2c}}{1+e^{2c}}}}}$

encontramos

${\displaystyle r(t)={\sqrt {\frac {e^{2t}r_{0}^{2}}{1+r_{0}^{2}(e^{2t}-1)}}}={\sqrt {\frac {1}{1+e^{-2t}\left({\frac {1}{r_{0}^{2}}}-1\right)}}}}$

Por lo tanto, el flujo del sistema es

${\displaystyle \Phi _{t}(\theta ,r)=\left(\theta _{0}+t,{\sqrt {\frac {1}{1+e^{-2t}\left({\frac {1}{r_{0}^{2}}}-1\right)}}}\right)}$

El comportamiento del flujo es el siguiente:

• El ángulo${\displaystyle \theta }$aumenta monótonamente y a un ritmo constante.
• El radio${\displaystyle r}$tiende al equilibrio${\displaystyle {\bar {r}}=1}$para cada valor.

Por lo tanto, la solución con datos iniciales${\displaystyle (\theta _ {0},r_ {0}\neq 1)}$dibuja una espiral que tiende hacia el círculo de radio 1.

Podemos tomar como sección de Poincaré para este flujo el eje horizontal positivo, es decir ${\displaystyle \Sigma =\{(\theta ,r)\$ :\ \theta =0\}} : obviamente podemos usar${\displaystyle r}$como coordenada en la sección. Cada punto en${\displaystyle \Sigma }$regresa a la sección después de un tiempo${\displaystyle t=2\pi }$(esto se puede entender observando la evolución del ángulo): podemos tomar como mapa de Poincaré la restricción de${\displaystyle \Phi }$a la sección${\displaystyle \Sigma }$calculado en ese momento${\displaystyle 2\pi }$,${\displaystyle \Phi _{2\pi }|_{\Sigma }}$Por lo tanto, el mapa de Poincaré es  :${\displaystyle \Psi (r)={\sqrt {\frac {1}{1+e^{-4\pi }\left({\frac {1}{r^{2}}}-1\right)}}}}$

El comportamiento de las órbitas del sistema dinámico discreto${\displaystyle (\Sigma,\mathbb {Z},\Psi)}$es lo siguiente:

• El punto${\displaystyle r=1}$está fijo, así que${\displaystyle \Psi ^{n}(1)=1}$por cada${\displaystyle n}$.
• Todos los demás puntos tienden monótonamente al equilibrio,${\displaystyle \Psi ^{n}(z)\a 1}$para${\displaystyle n\to \pm \infty }$.

Los mapas de Poincaré pueden interpretarse como un sistema dinámico discreto . La estabilidad de una órbita periódica del sistema original está estrechamente relacionada con la estabilidad del punto fijo del mapa de Poincaré correspondiente.

Sea ( R , M , φ ) un sistema dinámico diferenciable con órbita periódica γ que pasa por p . Sea

${\displaystyle P:U\to S}$

Sea el mapa de Poincaré correspondiente que pasa por p . Definimos

${\displaystyle P^{0}:=\operatorname {id} _{U}}$

${\displaystyle P^{n+1}:=P\circ P^{n}}$

${\displaystyle P^{-n-1}:=P^{-1}\circ P^{-n}}$

y

${\displaystyle P(n,x):=P^{n}(x)}$

entonces ( Z , U , P ) es un sistema dinámico discreto con espacio de estados U y función de evolución

${\displaystyle P:\mathbb {Z} \times U\to U.}$

Por definición, este sistema tiene un punto fijo en p .

La órbita periódica γ del sistema dinámico continuo es estable si y solo si el punto fijo p del sistema dinámico discreto es estable.

La órbita periódica γ del sistema dinámico continuo es asintóticamente estable si y solo si el punto fijo p del sistema dinámico discreto es asintóticamente estable.

• Recurrencia de Poincaré
• Mapa de Hénon
• Diagrama de recurrencia
• Función de reflexión de Mironenko
• Medida invariante

• Teschl, Gerald . Ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas dinámicos . Providence : American Mathematical Society .

• Shivakumar Jolad, Mapa de Poincaré y su aplicación al problema del 'imán giratorio' , (2005)