Elipsoide de Poinsot

En mecánica clásica , la construcción de Poinsot (en honor a Louis Poinsot ) es un método geométrico para visualizar el movimiento sin torque de un cuerpo rígido en rotación , es decir, el movimiento de un cuerpo rígido sobre el cual no actúan fuerzas externas. Este movimiento tiene cuatro constantes: la energía cinética del cuerpo y las tres componentes del momento angular , expresadas con respecto a un sistema de referencia inercial del laboratorio. El vector de velocidad angular${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$del rotor rígido no es constante , pero satisface las ecuaciones de Euler . La conservación de la energía cinética y el momento angular proporcionan dos restricciones al movimiento de${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$.

Sin resolver explícitamente estas ecuaciones, el movimiento${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$puede describirse geométricamente de la siguiente manera: ^{[ 1 ]}

• El movimiento del cuerpo rígido está determinado enteramente por el movimiento de su elipsoide de inercia , que está rígidamente fijado al cuerpo rígido como un sistema de coordenadas.
• Su elipsoide de inercia rueda, sin deslizarse, sobre el plano invariable , con el centro del elipsoide a una altura constante sobre el plano.
• En todo momento,${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$es el punto de contacto entre el elipsoide y el plano.

El movimiento es cuasiperiódico .${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$traza una curva cerrada en el elipsoide, pero una curva en el plano que no es necesariamente una curva cerrada.

• La curva cerrada en el elipsoide es el polodo .
• La curva en el plano es la herpolhoda .

Si el cuerpo rígido tiene dos momentos de inercia iguales (un caso llamado peonza simétrica ), el segmento de línea desde el origen hasta${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ Describe un cono (y su extremo un círculo). Esta es la precesión sin torsión del eje de rotación del rotor.

La ley de conservación de la energía implica que, en ausencia de disipación de energía o pares aplicados, la energía cinética angular${\displaystyle T\ }$se conserva, por lo tanto${\textstyle {\frac {dT}{dt}}=0}$.

La energía cinética angular puede expresarse en términos del tensor de momento de inercia.${\displaystyle \mathbf {I} }$y el vector de velocidad angular${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}^{T}\cdot \mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}={\frac {1}{2}}I_{1}\omega _{1}^{2}+{\frac {1}{2}}I_{2}\omega _{2}^{2}+{\frac {1}{2}}I_{3}\omega _{3}^{2}}$

dónde${\displaystyle \omega _{k}\ }$son los componentes del vector de velocidad angular${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$y el${\displaystyle I_{k}\ }$son los momentos principales de inercia cuando ambos están en el sistema de referencia del cuerpo. Por lo tanto, la conservación de la energía cinética impone una restricción al vector de velocidad angular tridimensional.${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$; en el sistema de coordenadas del eje principal, debe estar sobre el elipsoide definido por la ecuación anterior, llamado elipsoide de inercia .

La trayectoria trazada sobre este elipsoide por el vector de velocidad angular${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$Se llama polhode (término acuñado por Poinsot a partir de raíces griegas que significan "camino del poste") y generalmente tiene forma circular o de taco .

La ley de conservación del momento angular establece que, en ausencia de pares aplicados, el vector de momento angular permanece constante.${\displaystyle \mathbf {L} }$se conserva en un marco de referencia inercial , por lo tanto${\textstyle {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=0}$.

El vector de momento angular${\displaystyle \mathbf {L} }$puede expresarse en términos del tensor de momento de inercia${\displaystyle \mathbf {I} }$y el vector de velocidad angular${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}}$

lo que lleva a la ecuación

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}^{T}\cdot \mathbf {L} .}$

Dado que el producto escalar de${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$y${\displaystyle \mathbf {L} }$es constante y${\displaystyle \mathbf {L} }$En sí mismo es constante, el vector de velocidad angular${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ tiene una componente constante en la dirección del vector de momento angular.${\displaystyle \mathbf {L} }$Esto impone una segunda restricción al vector.${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$; en el espacio absoluto, debe estar sobre el plano invariable definido por su producto escalar con el vector conservado.${\displaystyle \mathbf {L} }$. El vector normal al plano invariable está alineado con${\displaystyle \mathbf {L} }$. La trayectoria descrita por el vector de velocidad angular${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$En el plano invariable se denomina herpolhode (término acuñado a partir de raíces griegas que significan "camino polar serpenteante").

La herpolhoda es generalmente una curva abierta, lo que significa que la rotación no se repite perfectamente, pero la polhoda es una curva cerrada (véase más abajo). ^{[ 2 ]}

Estas dos restricciones operan en sistemas de referencia diferentes; la restricción elipsoidal se cumple en el sistema de referencia del eje principal (en rotación), mientras que la constante del plano invariable opera en el espacio absoluto. Para relacionar estas restricciones, observamos que el vector gradiente de la energía cinética con respecto al vector de velocidad angular${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$es igual al vector de momento angular${\displaystyle \mathbf {L} }$

${\displaystyle {\frac {dT}{d{\boldsymbol {\omega }}}}=\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}=\mathbf {L} .}$

Por lo tanto, el vector normal al elipsoide de energía cinética en${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$es proporcional a${\displaystyle \mathbf {L} }$, lo cual también es cierto para el plano invariable. Dado que sus vectores normales apuntan en la misma dirección, estas dos superficies se intersecarán tangencialmente.

En conjunto, estos resultados muestran que, en un sistema de referencia absoluto, el vector de velocidad angular instantánea${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$es el punto de intersección entre un plano fijo invariable y un elipsoide de energía cinética tangente a él que rueda sobre él sin deslizarse. Esta es la construcción de Poinsot . (Cabe destacar que la condición de no deslizamiento no excluye la posibilidad de rotación en el punto de contacto. En particular, si el cuerpo gira alrededor de uno de sus ejes principales, el elipsoide simplemente rota sobre un único punto del plano invariante).

En el sistema de referencia de ejes principales (que gira en el espacio absoluto), la dirección del vector de momento angular generalmente no es constante, incluso en ausencia de pares aplicados, sino que varía según lo descrito por las ecuaciones de Euler . Sin embargo, en ausencia de pares aplicados, la magnitud${\displaystyle L\ }$del momento angular y la energía cinética${\displaystyle T\ }$ambos se conservan

${\displaystyle {\begin{aligned}L^{2}&=L_{1}^{2}+L_{2}^{2}+L_{3}^{2}\\[2pt]T&={\frac {L_{1}^{2}}{2I_{1}}}+{\frac {L_{2}^{2}}{2I_{2}}}+{\frac {L_{3}^{2}}{2I_{3}}}\end{aligned}}}$

donde el${\displaystyle L_{k}\ }$son las componentes del vector de momento angular a lo largo de los ejes principales, y el${\displaystyle I_{k}\ }$son los momentos principales de inercia.

Estas leyes de conservación son equivalentes a dos restricciones para el vector de momento angular tridimensional.${\displaystyle \mathbf {L} }$. Las restricciones de energía cinética${\displaystyle \mathbf {L} }$estar sobre un elipsoide en el espacio (${\displaystyle L_{1},L_{2},L_{3}}$), mientras que la restricción del momento angular restringe${\displaystyle \mathbf {L} }$estar tumbado sobre una esfera en este espacio. (En el espacio (${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}}$) utilizado anteriormente, el elipsoide de energía cinética tiene la forma "opuesta" : más largo en la dirección del eje con el momento de inercia más bajo y más estrecho en la dirección del eje con el momento de inercia más alto.) Estas dos superficies se intersecan en dos curvas con forma de borde de taco que definen las posibles soluciones para ${\displaystyle \mathbf {L} }$Esto demuestra que${\displaystyle \mathbf {L} }$y el polo, permanecen en un bucle cerrado, en el marco de referencia móvil del objeto .

La orientación del cuerpo en el espacio tiene, por lo tanto, dos grados de libertad. En primer lugar, algún punto del "borde del taco" tiene que alinearse con${\displaystyle \mathbf {L} ,}$que es un vector constante en el espacio absoluto. En segundo lugar, el cuerpo puede tener cualquier cantidad de rotación alrededor de ese vector. Por lo tanto, en general, la orientación del cuerpo es algún punto en una 2-variedad toroidal dentro de la 3-variedad de todas las orientaciones. En general, el objeto seguirá una trayectoria no periódica en este toro, pero puede seguir una trayectoria periódica. El tiempo que tarda en${\displaystyle \mathbf {L} }$El tiempo necesario para completar un ciclo alrededor de su trayectoria en el marco del cuerpo es constante, pero después de un ciclo el cuerpo habrá rotado una cantidad que puede no ser un número racional de grados, en cuyo caso la orientación no será periódica, sino cuasiperiódica .

En general, el toro está casi determinado por tres parámetros: las relaciones entre el segundo y el tercer momento de inercia y el mayor de los tres momentos de inercia, y la relación${\displaystyle L^{2}/(TI_{3})}$relacionando el momento angular con la energía multiplicada por el momento de inercia más alto. Pero para cualquier conjunto de parámetros de este tipo hay dos toros, porque hay dos "tacos" (que corresponden a dos polodos). Un conjunto de rotaciones de 180° lleva cualquier orientación de un toro a una orientación del otro con el punto opuesto alineado con el vector de momento angular. Si el momento angular está exactamente alineado con un eje principal, el toro degenera en un solo bucle. Si exactamente dos momentos de inercia son iguales (un llamado trompo simétrico ), entonces además de los toros habrá un número infinito de bucles, y si los tres momentos de inercia son iguales, habrá bucles pero no toros. Si los tres momentos de inercia son todos diferentes y${\displaystyle L^{2}=TI_{2}}$pero el eje intermedio no está alineado con el momento angular, entonces el pododo será una curva que va de un extremo del eje intermedio al otro, y${\displaystyle \mathbf {L} }$se desplazará asintóticamente hacia un extremo. Dicho de otro modo, permanece en una mitad de uno de los toros.

Debido a todo esto, cuando los tres momentos de inercia son diferentes y el vector de velocidad angular (o el vector de momento angular) no está cerca del eje de mayor o menor inercia, el cuerpo "gira sobre sí mismo". La mayoría de las lunas giran más o menos alrededor de su eje de mayor inercia (debido a efectos viscosos), pero Hiperión (una luna de Saturno), dos lunas de Plutón y muchos otros cuerpos pequeños del Sistema Solar tienen rotaciones de tipo "voltereta".

Si el cuerpo se pone a girar sobre su eje principal intermedio, entonces la intersección del elipsoide y la esfera es como dos bucles que se cruzan en dos puntos, alineados con ese eje. Si la alineación con el eje intermedio no es perfecta, entonces${\displaystyle \mathbf {L} }$Finalmente se moverá desde este punto por una de las cuatro vías que parten de este punto y se dirigirá al punto opuesto. Esto corresponde a${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$moviéndose hacia su antípoda en el elipsoide de Poinsot. Vea el video a la derecha y el teorema de la raqueta de tenis .

Esta construcción difiere de la construcción de Poinsot porque considera el vector de momento angular.${\displaystyle \mathbf {L} }$en lugar del vector de velocidad angular${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$Parece haber sido desarrollado por Jacques Philippe Marie Binet .

El movimiento se simplifica en el caso de una denominada " trompo simétrico ", que se define como un objeto cuyos dos momentos principales de inercia son iguales. (No nos referimos a un trompo que gira sobre una superficie, ya que en ese caso la gravedad ejerce un torque). Esto generalmente significa que el objeto tiene un eje de simetría rotacional n -ésimo con n al menos 3, o bien simetría circular . (Pero si además posee elementos de simetría tetraédrica quiral , como la simetría octaédrica y la dodecaédrica , entonces los tres momentos de inercia serán iguales y el eje de rotación será constante). Esto incluye la rotación de un esferoide prolato (con forma de balón de rugby ) o la rotación de un esferoide oblato (con forma de esfera aplanada). En este caso, el vector de velocidad angular describe un cono, tanto el polohodo como el herpolhodo son círculos (o un solo punto), y la orientación se puede expresar como una función analítica del tiempo. (Esto no es lo mismo que la precesión axial de un planeta, que es causada por el torque ejercido por el sol y, en el caso de la Tierra, por la luna. Se trata, más bien, de la nutación libre conocida como oscilación de Chandler ).

El movimiento del cuerpo puede considerarse como la combinación de una rotación del eje principal (el eje principal que tiene el momento de inercia diferente, normalmente un eje de simetría) alrededor de su eje.${\displaystyle \mathbf {L} }$, llamada precesión, y una rotación adicional alrededor del eje principal, llamada rotación intrínseca. En la rotación intrínseca, el vector${\displaystyle \mathbf {L} }$se mueve alrededor del cuerpo en el sistema de referencia del cuerpo. En general hay un tercer componente, la rotación alrededor de la línea de nodos, llamada nutación (ver ángulos de Euler ), pero en el caso del trompo simétrico este es cero. Si designamos el eje principal con el subíndice 1 y los ejes perpendiculares a él con el subíndice 2, entonces los componentes de${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$son${\displaystyle \omega _{1}}$y${\displaystyle \omega _{2}.}$La tasa de rotación intrínseca es entonces

$${\displaystyle \omega _{rot}=\left(1-{\frac {I_{1}}{I_{2}}}\right)\omega _{1}}$$

y la tasa de precesión es:

$${\displaystyle \omega _{pre}={\sqrt {\left({\frac {I_{1}}{I_{2}}}\omega _{1}\right)^{2}+\omega _{2}^{2}}}}$$

El ángulo entre el eje principal y el vector de momento angular es constante e igual a:

$${\displaystyle \alpha =\arctan \left({\frac {I_{1}}{I_{2}}}{\frac {\omega _{1}}{\omega _{2}}}\right)}$$

Si${\displaystyle \omega _{rot}/\omega _{pre}}$Si es un número racional, el movimiento será periódico; de lo contrario, será cuasiperiódico.

La proporción${\displaystyle I_{1}/I_{2}}$está en el intervalo (0, 2). Un esferoide prolato tiene un valor menor que 1 y la rotación es en la misma dirección que la precesión. Un ejemplo sería un balón de fútbol mal lanzado . Un esferoide oblato tiene un valor mayor que 1 y la rotación es hacia atrás y menor en comparación con la precesión. Un ejemplo es un disco mal lanzado .

Podemos expresar fácilmente el movimiento del trompo simétrico usando cuaterniones (ver Cuaterniones y rotación espacial ). Tomamos${\displaystyle \mathbf {L} }$apuntando en la dirección z. Desde una posición inicial en la que el "polo norte" del eje principal está inclinado alejándose del eje z en un ángulo${\displaystyle \alpha }$En la dirección x, la rotación hasta el tiempo t es la composición de una rotación intrínseca.${\displaystyle \left(\cos(\omega _{rot}t/2),\ \sin \alpha \sin(\omega _{rot}t/2),\ 0,\ \cos \alpha \sin(\omega _{rot}t/2)\right)}$y una precesión${\displaystyle \left(\cos(\omega _{pre}t/2),\ 0,\ 0,\ \sin(\omega _{pre}t/2)\right):}$

$${\displaystyle {\Big (}\cos(\omega _{pre}t/2),\ 0,\ 0,\ \sin(\omega _{pre}t/2){\Big )}{\Big (}\cos(\omega _{rot}t/2),\ \sin \alpha \sin(\omega _{rot}t/2),\ 0,\ \cos \alpha \sin(\omega _{rot}t/2){\Big )}=}$$

${\displaystyle {\Big (}\cos(\omega _{pre}t/2)\cos(\omega _{rot}t/2)-\cos \alpha \sin(\omega _{pre}t/2)\sin(\omega _{rot}t/2),\ }$${\displaystyle \sin \alpha \cos(\omega _{pre}t/2)\sin(\omega _{rot}t/2),\ }$${\displaystyle \sin \alpha \sin(\omega _{pre}t/2)\sin(\omega _{rot}t/2),\ }$${\displaystyle \sin(\omega _{pre}t/2)\cos(\omega _{rot}t/2)+\cos \alpha \cos(\omega _{pre}t/2)\sin(\omega _{rot}t/2){\Big )}}$

Si tomamos como orientación de referencia aquella en la que el "polo norte" apunta en la dirección negativa del eje z, entonces la orientación en el instante t viene dada por preceder la rotación anterior con una rotación de 180°−α desde la orientación de referencia hasta la orientación inicial, es decir${\displaystyle \left(\sin(\alpha /2),\ 0,\ -\cos(\alpha /2),\ 0\right).}$Al simplificar, esto da como resultado la orientación en el instante t:

${\displaystyle {\Big (}\sin(\alpha /2)\cos((\omega _{pre}-\omega _{rot})t/2),\ }$${\displaystyle \cos(\alpha /2)\sin((\omega _{pre}+\omega _{rot})t/2),\ }$${\displaystyle -\cos(\alpha /2)\cos((\omega _{pre}+\omega _{rot})t/2),\ }$${\displaystyle \sin(\alpha /2)\sin((\omega _{pre}-\omega _{rot})t/2){\Big )}}$

Ejemplo: Consideremos el caso (periódico) en el que${\displaystyle \omega _{rot}=\omega _{pre}}$y lo llamaremos así${\displaystyle \omega _{com}.}$(Esto solo es posible si${\displaystyle I_{1}/I_{2}\leq 1/2.}$) En este caso, la rotación hasta el tiempo t es:

$${\displaystyle {\Big (}\cos ^{2}(\omega _{com}t/2)-\cos \alpha \sin ^{2}(\omega _{com}t/2),\ \sin \alpha \cos(\omega _{com}t/2)\sin(\omega _{com}t/2),\ \sin \alpha \sin ^{2}(\omega _{com}t/2),\ (1+\cos \alpha )\cos(\omega _{com}t/2)\sin(\omega _{com}t/2){\Big )}}$$

lo cual se simplifica a:

$${\displaystyle {\Big (}\cos ^{2}(\omega _{com}t/2)-\cos \alpha \sin ^{2}(\omega _{com}t/2),\ \sin \alpha \sin(\omega _{com}t)/2,\ \sin \alpha \sin ^{2}(\omega _{com}t/2),\ (1+\cos \alpha )\sin(\omega _{com}t)/2{\Big )}}$$

Con respecto a la orientación de referencia con el "polo norte" apuntando en la dirección negativa del eje z, la orientación en el instante t viene dada por:

$${\displaystyle {\Big (}\sin(\alpha /2),\ \cos(\alpha /2)\sin(\omega _{com}t),\ -\cos(\alpha /2)\cos(\omega _{com}t),\ 0{\Big )}}$$

Esto siempre implica una rotación de 180°−α desde la orientación de referencia. A medida que la forma del cuerpo se aproxima a la de una varilla estrecha, la relación${\displaystyle I_{1}/I_{2}}$Cuando α se aproxima a cero, α se aproxima a 90°, y la orientación siempre está ligeramente por encima de 90° con respecto a la orientación de referencia.

Una de las aplicaciones de la construcción de Poinsot es la visualización de la rotación de una nave espacial en órbita. ^{[ 3 ]}

• Poinsot (1834) Theorie Nouvelle de la Rotation des Corps , Bachelier, París.
• Landau LD y Lifshitz EM (1976) Mecánica , 3.ª ed., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8(tapa dura) e ISBN 0-08-029141-4(de tapa blanda).
• Goldstein H. (1980) Mecánica clásica , 2.ª ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9
• Symon KR. (1971) Mecánica , 3.ª ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-07392-7

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