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notación de procesos puntuales

En probabilidad y estadística , la notación de procesos puntuales comprende el conjunto de notaciones matemáticas utilizadas para representar simbólicamente objetos aleatorios c...

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En probabilidad y estadística , la notación de procesos puntuales comprende el conjunto de notaciones matemáticas utilizadas para representar simbólicamente objetos aleatorios conocidos como procesos puntuales , que se utilizan en campos relacionados como la geometría estocástica , la estadística espacial y la teoría de la percolación continua, y que con frecuencia sirven como modelos matemáticos de fenómenos aleatorios, representables como puntos, en el tiempo, el espacio o ambos.

La notación varía debido a las historias de ciertos campos matemáticos y las diferentes interpretaciones de los procesos puntuales, [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] y toma prestada notación de áreas de estudio matemático como la teoría de la medida y la teoría de conjuntos . [ 1 ]

Interpretación de procesos puntuales

La notación, así como la terminología, de los procesos puntuales dependen de su configuración e interpretación como objetos matemáticos que, bajo ciertas suposiciones, pueden interpretarse como secuencias aleatorias de puntos, conjuntos aleatorios de puntos o medidas de conteo aleatorias . [ 1 ]

Secuencias aleatorias de puntos

En algunos marcos matemáticos, un proceso puntual dado puede considerarse como una secuencia de puntos, cada uno posicionado aleatoriamente en un espacio euclidiano d -dimensional R d [ 1 ] , así como en otros espacios matemáticos más abstractos . En general, la equivalencia de una secuencia aleatoria con otras interpretaciones de un proceso puntual depende del espacio matemático subyacente, pero esto se cumple en el contexto de un espacio euclidiano de dimensión finita R d . [ 4 ]

Conjunto aleatorio de puntos

Un proceso de puntos se denomina simple si ningún par (o más puntos) coinciden en ubicación con probabilidad uno . Dado que a menudo los procesos de puntos son simples y el orden de los puntos no importa, una colección de puntos aleatorios puede considerarse como un conjunto aleatorio de puntos [ 1 ] [ 5 ]. La teoría de conjuntos aleatorios fue desarrollada independientemente por David Kendall y Georges Matheron . En términos de ser considerado como un conjunto aleatorio, una secuencia de puntos aleatorios es un conjunto cerrado aleatorio si la secuencia no tiene puntos de acumulación con probabilidad uno [ 6 ].

Un proceso puntual se suele denotar con una sola letra, por ejemplo: [ 1 ] [ 7 ] [ 8 ]norte{\displaystyle {N}}y si el proceso puntual se considera como un conjunto aleatorio, entonces la notación correspondiente es: [ 1 ]

incógnita∈norte,{\displaystyle x\in {N},}

se utiliza para denotar que un punto aleatorioincógnita{\displaystyle x}es un elemento de (o pertenece a) el proceso puntualnorte{\displaystyle {N}}La teoría de conjuntos aleatorios puede aplicarse a procesos puntuales debido a esta interpretación, que junto con la interpretación de secuencias aleatorias ha dado como resultado que un proceso puntual se escriba como:

{incógnita1,incógnita2,…}={incógnita}i,{\displaystyle \{x_{1},x_{2},\dots \}=\{x\}_{i},}

lo que resalta su interpretación como una secuencia aleatoria o un conjunto cerrado aleatorio de puntos. [ 1 ] Además, a veces una letra mayúscula denota el proceso de puntos, mientras que una minúscula denota un punto del proceso, por lo que, por ejemplo, el puntoincógnita{\displaystyle \textstyle x}(oincógnitai{\displaystyle \textstyle x_ {i}}) pertenece a o es un punto del proceso de puntosincógnita{\displaystyle \textstyle X}, o con notación de conjuntos,incógnita∈incógnita{\displaystyle \textstyle x\en X}. [ 8 ]

Medidas aleatorias

Para denotar el número de puntos denorte{\displaystyle {N}}ubicado en algún conjunto de BorelB{\displaystyle B}, a veces se escribe [ 7 ]

Φ(B)=#(B∩norte),{\displaystyle \Phi (B)=\#(B\cap {N}),}

dóndeΦ(B){\displaystyle \Phi (B)}es una variable aleatoria y#{\displaystyle \#}es una medida de conteo que da el número de puntos en un conjunto. En esta expresión matemática, el proceso de puntos se denota por:

norte{\displaystyle {N}}.

Por otro lado, el símbolo:

Φ{\displaystyle \Phi }

representa el número de puntos denorte{\displaystyle {N}}enB{\displaystyle B}En el contexto de medidas aleatorias, se puede escribir:

Φ(B)=norte{\displaystyle \Phi (B)=n}

para denotar que existe el conjuntoB{\displaystyle B}que contienenorte{\displaystyle n}puntos denorte{\displaystyle {N}}En otras palabras, un proceso puntual puede considerarse como una medida aleatoria que asigna alguna medida entera no negativa a conjuntos. [ 1 ] Esta interpretación ha motivado que un proceso puntual sea considerado simplemente otro nombre para una medida de conteo aleatoria [ 9 ] : 106 y las técnicas de la teoría de la medida aleatoria ofrecen otra forma de estudiar los procesos puntuales, [ 1 ] [ 10 ] lo que también induce el uso de las diversas notaciones utilizadas en la teoría de la integración y la medida. [ a ]

Notación dual

Las diferentes interpretaciones de los procesos puntuales como conjuntos aleatorios y medidas de conteo se capturan con la notación frecuentemente utilizada [ 1 ] [ 3 ] [ 8 ] [ 11 ] en la que:

  • norte{\displaystyle {N}}denota un conjunto de puntos aleatorios.
  • norte(B){\displaystyle {N}(B)}denota una variable aleatoria que da el número de puntos denorte{\displaystyle {N}}enB{\displaystyle B}(por lo tanto, es una medida de conteo aleatoria).

Denotando nuevamente la medida de conteo con#{\displaystyle \#}Esta notación dual implica:

norte(B)=#(B∩norte).{\displaystyle {N}(B)=\#(B\cap {N}).}

Sumas

SiF{\displaystyle f}es alguna función medible en R d , entonces la suma deF(incógnita){\displaystyle f(x)}sobre todos los puntosincógnita{\displaystyle x}ennorte{\displaystyle {N}}puede escribirse de varias maneras [ 1 ] [ 3 ] como por ejemplo:

F(incógnita1)+F(incógnita2)+⋯{\displaystyle f(x_{1})+f(x_{2})+\cdots }

que tiene la apariencia de secuencia aleatoria, o con notación de conjunto como:

∑incógnita∈norteF(incógnita){\displaystyle \sum _{x\in {N}}f(x)}

o, equivalentemente, con la notación de integración como:

∫RdF(incógnita)norte(dincógnita){\displaystyle \int _{{\textbf {R}}^{d}}f(x){N}(dx)}

que pone énfasis en la interpretación denorte{\displaystyle {N}}siendo una medida de conteo aleatoria. Se puede utilizar una notación de integración alternativa para escribir esta integral como:

∫RdFdnorte{\displaystyle \int _{{\textbf {R}}^{d}}f\,d{N}}

La interpretación dual de los procesos puntuales se ilustra al escribir el número denorte{\displaystyle {N}}puntos en un conjuntoB{\displaystyle B}como:

norte(B)=∑incógnita∈norte1B(incógnita){\displaystyle {N}(B)=\sum _{x\in {N}}1_{B}(x)}

donde la función indicadora1B(incógnita)=1{\displaystyle 1_{B}(x)=1}si el puntoincógnita{\displaystyle x}existe enB{\displaystyle B}y cero en caso contrario, lo que en este contexto también se conoce como medida de Dirac . [ 11 ] En esta expresión, la interpretación de medida aleatoria está en el lado izquierdo, mientras que la notación de conjunto aleatorio se utiliza en el lado derecho.

Esperanzas de heredar

El valor promedio o esperado de una suma de funciones sobre un proceso puntual se escribe como: [ 1 ] [ 3 ]

mi[∑incógnita∈norteF(incógnita)]o∫norte∑incógnita∈norteF(incógnita)PAG(dnorte),{\displaystyle E\left[\sum _{x\in {N}}f(x)\right]\qquad {\text{or}}\qquad \int _{\textbf {N}}\sum _{x\in {N}}f(x)P(d{N}),}

donde (en el sentido de medida aleatoria)PAG{\displaystyle P}es una medida de probabilidad apropiada definida en el espacio de medidas de conteonorte{\displaystyle {\textbf {N}}}. El valor esperado denorte(B){\displaystyle {N}(B)} se puede escribir como: [ 1 ]

mi[norte(B)]=mi(∑incógnita∈norte1B(incógnita))o∫norte∑incógnita∈norte1B(incógnita)PAG(dnorte).{\displaystyle E[{N}(B)]=E\left(\sum _{x\in {N}}1_{B}(x)\right)\qquad {\text{or}}\qquad \int _{\textbf {N}}\sum _{x\in {N}}1_{B}(x)P(d{N}).}

que también se conoce como la medida del primer momento de norte{\displaystyle {N}}. La esperanza de dicha suma aleatoria, conocida como proceso de ruido de disparo en la teoría de procesos puntuales, puede calcularse con el teorema de Campbell . [ 2 ]

Usos en otros campos

Los procesos puntuales se emplean en otras disciplinas matemáticas y estadísticas, por lo que la notación puede utilizarse en campos como la geometría estocástica , la estadística espacial o la teoría de la percolación continua , y en áreas que utilizan los métodos y la teoría de estos campos.

Véase también

Notas

  1. ↑ Como se discute en el Capítulo 1 de Stoyan, Kendall y Mechke, [ 1 ] la notación integral variablese aplica en general a todas las integrales aquí y en otros lugares.

Referencias

  1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 D. Stoyan, WS Kendall, J. Mecke y L. Ruschendorf. Geometría estocástica y sus aplicaciones , Segunda edición, Sección 4.1, Wiley Chichester, 1995.
  2. 1 2 Daley, DJ; Vere-Jones, D. (2003). Una introducción a la teoría de los procesos puntuales . Probabilidad y sus aplicaciones. doi : 10.1007/b97277 . ISBN 978-0-387-95541-4.
  3. 1 2 3 4 M. Haenggi. Geometría estocástica para redes inalámbricas . Capítulo 2. Cambridge University Press, 2012.
  4. ↑ Daley, DJ; Vere-Jones, D. (2008). Una introducción a la teoría de los procesos puntuales . Probabilidad y sus aplicaciones. doi : 10.1007/978-0-387-49835-5 . ISBN 978-0-387-21337-8.
  5. ↑ Baddeley, A.; Barany, I.; Schneider, R.; Weil, W. (2007). «Procesos puntuales espaciales y sus aplicaciones». Geometría estocástica . Notas de clase en matemáticas. Vol. 1892. p. 1. doi : 10.1007/978-3-540-38175-4_1 . ISBN   978-3-540-38174-7.
  6. ↑ Schneider, R.; Weil, W. (2008). Geometría estocástica e integral . Probabilidad y sus aplicaciones. doi : 10.1007/978-3-540-78859-1 . ISBN 978-3-540-78858-4.
  7. 1 2 J. FC Kingman . Procesos de Poisson , volumen 3. Oxford University Press, 1992.
  8. 1 2 3 Moller, J.; Plenge Waagepetersen, R. (2003). Inferencia estadística y simulación para procesos puntuales espaciales . Monografías C&H/CRC sobre estadística y probabilidad aplicada. Vol. 100. CiteSeerX 10.1.1.124.1275 . doi : 10.1201/9780203496930 . ISBN   978-1-58488-265-7.
  9. ↑ Molchanov, Ilya (2005). Teoría de conjuntos aleatorios . Probabilidad y sus aplicaciones. doi : 10.1007/1-84628-150-4 . ISBN 978-1-85233-892-3.
  10. ↑ Grandell, Jan (1977). "Procesos puntuales y medidas aleatorias". Advances in Applied Probability . 9 (3): 502– 526. doi : 10.2307/1426111 . JSTOR 1426111 . S2CID 124650005 .  
  11. 1 2 Baccelli, FO (2009). "Geometría estocástica y redes inalámbricas: Volumen I Teoría" (PDF) . Fundamentos y tendencias en redes . 3 ( 3–4 ): 249–449 . doi : 10.1561/1300000006 .