Curva polar

En geometría algebraica , la primera polar , o simplemente polar, de una curva plana algebraica C de grado n con respecto a un punto Q es una curva algebraica de grado n −1 que contiene todos los puntos de C cuya recta tangente pasa por Q. Se utiliza para investigar la relación entre la curva y su dual , por ejemplo, en la derivación de las fórmulas de Plücker .

Sea C definida en coordenadas homogéneas por f ( x,  y,  z )  =  0 donde f es un polinomio homogéneo de grado n , y sean las coordenadas homogéneas de Q ( a , b , c ). Definamos el operador  

${\displaystyle \Delta _{Q}=a{\partial \over \partial x}+b{\partial \over \partial y}+c{\partial \over \partial z}.}$

Entonces Δ _Q f es un polinomio homogéneo de grado n −1 y Δ _Q f ( x,  y,  z )  =  0 define una curva de grado n −1 llamada primera polar de C con respecto a Q .

Si P = ( p , q , r ) es un punto no singular en la curva C , entonces la ecuación de la tangente en P es  

${\displaystyle x{\partial f \over \partial x}(p,q,r)+y{\partial f \over \partial y}(p,q,r)+z{\partial f \over \partial z}(p,q,r)=0.}$

En particular, P está en la intersección de C y su primera polar con respecto a Q si y solo si Q es tangente a C en P. Para un punto doble de C , las derivadas parciales de f son todas 0, por lo que la primera polar también contiene estos puntos.

La clase de C se define como el número de tangentes que se pueden trazar a C desde un punto que no pertenece a C (contando multiplicidades e incluyendo tangentes imaginarias). Cada una de estas tangentes toca a C en uno de los puntos de intersección de C y la primera polar, y según el teorema de Bézout, hay como máximo n ( n -1) de ellas. Esto establece un límite superior de n ( n -1) para la clase de una curva de grado n . La clase se puede calcular con exactitud contando el número y el tipo de puntos singulares en C (véase la fórmula de Plücker ).

La polar p-ésima de una C para un número natural p se define como Δ _Q ^p f ( x,  y,  z )  =  0. Esta es una curva de grado n − p . Cuando p es n −1, la polar p -ésima es una línea llamada línea polar de C con respecto a Q . De manera similar, cuando p es n −2, la curva se llama cónica polar de C .

Utilizando series de Taylor en varias variables y explotando la homogeneidad, f (λ a +μ p ,  λ b +μ q ,  λ c +μ r ) se puede expandir de dos maneras como

${\displaystyle \mu ^{n}f(p,q,r)+\lambda \mu ^{n-1}\Delta _{Q}f(p,q,r)+{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}\mu ^{n-2}\Delta _{Q}^{2}f(p,q,r)+\dots }$

y

${\displaystyle \lambda ^{n}f(a,b,c)+\mu \lambda ^{n-1}\Delta _{P}f(a,b,c)+{\frac {1}{2}}\mu ^{2}\lambda ^{n-2}\Delta _{P}^{2}f(a,b,c)+\dots .}$

La comparación de los coeficientes de λ ^p μ ^{n − p} muestra que

${\displaystyle {\frac {1}{p!}}\Delta _{Q}^{p}f(p,q,r)={\frac {1}{(np)!}}\Delta _{P}^{np}f(a,b,c).}$

En particular, el p -ésimo polar de C con respecto a Q es el lugar geométrico de los puntos P de modo que el ( n − p )-ésimo polar de C con respecto a ^P pasa por Q. ^{[ 1} ]

Si la recta polar de C con respecto a un punto Q es una recta L , entonces se dice que Q es un polo de L. Una recta dada tiene ( n − 1) ^² polos (contando multiplicidades, etc.), donde n es el grado de C. Para ver esto, elijamos dos puntos P y Q en L. El lugar geométrico de los puntos cuyas rectas polares pasan por P es la primera polar de P y esta es una curva de grado n − 1. De manera similar, el lugar geométrico de los puntos cuyas rectas polares pasan por Q es la primera polar de Q y esta también es una curva de grado n − 1. La recta polar de un punto es L si y solo si contiene tanto a P como a Q , por lo que los polos de L son precisamente los puntos de intersección de las dos primeras polares. Por el teorema de Bézout, estas curvas tienen ( ⁿ − 1) ^² puntos de intersección y estos son los polos de L. ^{[ 2} ]

Para un punto dado Q = ( a , b , c ), la cónica polar es el lugar geométrico de los puntos P tales que Q está en la segunda polar de P. En otras palabras, la ecuación de la cónica polar es  

${\displaystyle \Delta _{(x,y,z)}^{2}f(a,b,c)=x^{2}{\partial ^{2}f \over \partial x^{2}}(a,b,c)+2xy{\partial ^{2}f \over \partial x\partial y}(a,b,c)+\dots =0.}$

La cónica es degenerada si y solo si el determinante del hessiano de f ,

${\displaystyle H(f)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial z}}\\\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial z}}\\\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z\,\partial x}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z\,\partial y}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}\end{bmatrix}},}$

se desvanece. Por lo tanto, la ecuación | H ( f )|=0 define una curva, el lugar geométrico de los puntos cuyas cónicas polares son degeneradas, de grado 3( n − 2 ) llamada curva hessiana de C .

• Hipersuperficie polar
• Polo y polar

• Basset, Alfred Barnard (1901). Un tratado elemental sobre curvas cúbicas y cuárticas . Deighton Bell & Co. págs.  16 y ss.
• Salmon, George (1879). Curvas planas superiores . Hodges, Foster y Figgis. págs.  49 y siguientes.
• Sección 1.2 de Fulton, Introducción a la teoría de la intersección en geometría algebraica , CBMS, AMS, 1984.
• Ivanov, AB (2001) [1994], "Polar" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Ivanov, AB (2001) [1994], "Hessiano (curva algebraica)" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press