Polo y polar

En geometría , un polo y un polar son respectivamente un punto y una línea que tienen una relación recíproca única con respecto a una sección cónica dada .

La reciprocidad polar en una sección cónica dada es la transformación de cada punto del plano en su línea polar y de cada línea del plano en su polo.

Propiedades

Polo y polar tienen varias propiedades útiles:

Si un punto $P$ yace en la línea $l$ , luego el poste $L$ de la línea $l$ se encuentra en el polo $p$ del punto $P$ (Teorema de La Hire)
Si un punto $P$ se mueve a lo largo de una línea $l$ , su polar $p$ gira alrededor del poste $L$ de la línea $l$ .
Si se pueden trazar dos líneas tangentes desde un polo a la sección cónica, entonces su polar pasa por ambos puntos de tangencia.
Si un punto se encuentra sobre la sección cónica, su polar es la tangente que pasa por ese punto a la sección cónica.
Si un punto $P$ yace en su propia línea polar, entonces $P$ está en la sección cónica.
Cada línea tiene, con respecto a una sección cónica no degenerada, exactamente un polo.
Si una línea $l$ interseca una cónica $C$ en ciertos puntos $A$ y $B$ , y $P$ es un punto en $l$ , entonces la intersección de $l$ y el polar de $P$ con respecto a $C$ es el conjugado armónico de $P$ con respecto a $A$ y $B$ .

Caso especial de círculos

El polo de una recta L en un círculo C es un punto Q que es la inversión en C del punto P sobre L más cercano al centro del círculo. Recíprocamente, la recta polar (o polar ) de un punto Q en un círculo C es la recta L tal que su punto P más cercano al centro del círculo es la inversión de Q en C.

La relación entre polos y polares es recíproca. Por lo tanto, si un punto A se encuentra sobre la línea polar q de un punto Q , entonces el punto Q debe encontrarse sobre la línea polar a del punto A. Las dos líneas polares a y q no tienen por qué ser paralelas.

Existe otra descripción de la línea polar de un punto P cuando este se encuentra fuera del círculo C. En este caso, hay dos líneas que pasan por P y son tangentes al círculo , y la polar de P es la línea que une los dos puntos de tangencia (no se muestra aquí). Esto demuestra que polo y línea polar son conceptos de la geometría proyectiva del plano y se generalizan con cualquier cónica no singular en lugar del círculo C.

reciprocación polar

Los conceptos de polo y su línea polar se desarrollaron en la geometría proyectiva . Por ejemplo, la línea polar puede considerarse como el conjunto de conjugados armónicos proyectivos de un punto dado, el polo, con respecto a una cónica. La operación de reemplazar cada punto por su polar y viceversa se conoce como polaridad.

Una polaridad es una correlación que también es una involución .

Para un punto P y su polo p , cualquier otro punto Q en p es el polo de una línea q que pasa por P. Esto constituye una relación recíproca, en la que se conservan las incidencias. ^{[ 1 ]}

Secciones cónicas generales

Los conceptos de polo, polar y reciprocidad pueden generalizarse desde los círculos a otras secciones cónicas, como la elipse , la hipérbola y la parábola . Esta generalización es posible porque las secciones cónicas resultan de la reciprocidad de un círculo en otro, y las propiedades involucradas, como la incidencia y la razón antagónica , se conservan bajo todas las transformaciones proyectivas .

Calcular la polar de un punto

Una sección cónica general puede escribirse como una ecuación de segundo grado en las coordenadas cartesianas ( x , y ) del plano.

$A_{xx}x^{2}+2A_{xy}xy+A_{yy}y^{2}+2B_{x}x+2B_{y}y+C=0$

donde A _xx , A _xy , A _yy , B _x , B _y , y C son las constantes que definen la ecuación. Para dicha sección cónica, la línea polar a un punto polar dado $(ξ, η)$ se define mediante la ecuación

$Dx+Ey+F=0\,$

donde D , E y F son igualmente constantes que dependen de las coordenadas del polo $(ξ, η)$

${\begin{aligned}D&=A_{xx}\xi +A_{xy}\eta +B_{x}\\E&=A_{xy}\xi +A_{yy}\eta +B_{y}\\F&=B_{x}\xi +B_{y}\eta +C\end{aligned}}$

Cálculo del polo de una línea

El poste de la línea $Dx+Ey+F=0$ , en relación con la sección cónica no degenerada $A_{xx}x^{2}+2A_{xy}xy+A_{yy}y^{2}+2B_{x}x+2B_{y}y+C=0$ Se puede calcular en dos pasos.

Primero, calcula los números x, y y z a partir de

${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A_{xx}&A_{xy}&B_{x}\\A_{xy}&A_{yy}&B_{y}\\B_{x}&B_{y}&C\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}D\\E\\F\end{bmatrix}}$

Ahora, el polo es el punto con coordenadas $\left({\frac {x}{z}},{\frac {y}{z}}\right)$

Tablas para relaciones polo-polares

A través de un cuadrilátero completo

En geometría proyectiva , dos líneas en un plano siempre se intersecan. Por lo tanto, dados cuatro puntos que forman un cuadrilátero completo , las líneas que conectan los puntos se cruzan en tres puntos diagonales adicionales .

Dado un punto Z que no pertenece a la cónica C , se trazan dos secantes desde Z que pasan por C y se cruzan en los puntos A , B , D y E. Estos cuatro puntos forman un cuadrilátero completo, y Z se encuentra en uno de los vértices de la diagonal. La línea que une los otros dos vértices de la diagonal es la polar de Z , y Z es el polo de esta línea. ^{[ 2 ]}

Aplicaciones

Los polos y polares fueron definidos por Joseph Diaz Gergonne y desempeñan un papel importante en su solución del problema de Apolonio . ^{[ 3 ]}

En dinámica planar, un polo es un centro de rotación, la polar es la línea de acción de la fuerza y la cónica es la matriz masa-inercia. ^{[ 4 ]} La relación polo-polar se utiliza para definir el centro de percusión de un cuerpo rígido planar. Si el polo es el punto de bisagra, entonces la polar es la línea de acción de percusión como se describe en la teoría de tornillos planares .

Véase también

Bibliografía

Johnson RA (1960). Geometría euclidiana avanzada: Un tratado elemental sobre la geometría del triángulo y el círculo . Nueva York: Dover Publications. págs. 100–105 .
Coxeter HSM , Greitzer SL (1967). Geometría revisitada . Washington : MAA . págs. 132-136 , 150. ISBN 978-0-88385-619-2.
Gray JJ (2007). Mundos de la nada: Un curso sobre la historia de la geometría en el siglo XIX . Londres: Springer Verlag. 21 págs . ISBN 978-1-84628-632-2.
Korn GA, Korn TM (1961). Manual matemático para científicos e ingenieros . Nueva York: McGraw-Hill. págs. 43–45 . LCCN 59014456 . La versión de bolsillo publicada por Dover Publications tiene el ISBN 978-0-486-41147-7.
Wells D (1991). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry . Nueva York: Penguin Books. págs. 190–191 . ISBN 0-14-011813-6.

Referencias

↑ Edwards, Lawrence; Geometría proyectiva , 2.ª ed., Floris (2003). págs. 125-6.
↑ GB Halsted (1906) Geometría proyectiva sintética , página 25 vía Internet Archive
↑ "El problema de Apolonio: un estudio de las soluciones y sus conexiones" (PDF) . Consultado el 4 de junio de 2013 .
↑ Tesis de John Alexiou, Capítulo 5, págs. 80–108. Archivado el 19 de julio de 2011 en Wayback Machine.

Enlaces externos

Animación interactiva con múltiples polos y polares en Cut-the-Knot
Animación interactiva con un polo y su polar
Modelo 3D interactivo con múltiples polos/polares de colores - código abierto
Weisstein, Eric W. "Polar" . MathWorld .
Weisstein, Eric W. "Reciprocidad" . MathWorld .
Weisstein, Eric W. "Polo de inversión" . MundoMatemático .
Weisstein, Eric W. "Curva recíproca" . MathWorld .
Tutorial en Math-abundance

[1] Edwards, Lawrence; Geometría proyectiva , 2.ª ed., Floris (2003). págs. 125-6.

[2] GB Halsted (1906) Geometría proyectiva sintética , página 25 vía Internet Archive

[3] "El problema de Apolonio: un estudio de las soluciones y sus conexiones" (PDF) . Consultado el 4 de junio de 2013 .

[4] Tesis de John Alexiou, Capítulo 5, págs. 80–108. Archivado el 19 de julio de 2011 en Wayback Machine.

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