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Articulo de referencia

conjugado armónico proyectivo

D es el conjugado armónico de C con respecto a A y B. A, D, B y C forman un rango armónico. KLMN es un cuadrilátero completo que lo genera. En geometría proyectiva , el punto co...

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D es el conjugado armónico de C con respecto a A y B. A, D, B y C forman un rango armónico. KLMN es un cuadrilátero completo que lo genera.

En geometría proyectiva , el punto conjugado armónico de un punto en la recta proyectiva real con respecto a otros dos puntos se define mediante la siguiente construcción:

Dados tres puntos colineales A, B, C , sea L un punto que no se encuentra en su unión y sea cualquier recta que pase por C que interseca a LA, LB en M, N respectivamente. Si AN y BM se intersecan en K , y LK se interseca a AB en D , entonces D se denomina conjugado armónico de C con respecto a A y B. [ 1 ]

El punto D no depende del punto L que se tome inicialmente, ni de la línea que pase por C que se utilice para hallar M y N. Este hecho se deduce del teorema de Desargues .

En geometría proyectiva real, la conjugación armónica también se puede definir en términos de la razón cruzada como ( A , B ; C , D ) = −1 . 

Criterio de razón cruzada

Los cuatro puntos a veces se denominan rango armónico (en la recta proyectiva real) ya que se observa que D siempre divide el segmento AB internamente en la misma proporción en que C divide AB externamente . Es decir:

Ado¯:Bdo¯=AD¯:DB¯.{\displaystyle {\overline {AC}}:{\overline {BC}}={\overline {AD}}:{\overline {DB}}\,.}

Si estos segmentos ahora se dotan de la interpretación métrica ordinaria de los números reales, serán con signo y formarán una doble proporción conocida como razón cruzada (a veces razón doble ).

(A,B;do,D)=Ado¯AD¯/Bdo¯−DB¯,{\displaystyle (A,B;C,D)={\frac {\overline {AC}}{\overline {AD}}}\left/{\frac {\overline {BC}}{-{\overline {DB}}}}\right.,}

para la cual un rango armónico se caracteriza por un valor de − 1. Por lo tanto, escribimos:

(A,B;do,D)=Ado¯AD¯×BD¯Bdo¯=−1.{\displaystyle (A,B;C,D)={\frac {\overline {AC}}{\overline {AD}}}\times {\frac {\overline {BD}}{\overline {BC}}}=-1.}

El valor de una razón cruzada en general no es único , ya que depende del orden de selección de los segmentos (y hay seis selecciones posibles). Pero para un rango armónico en particular, solo hay tres valores de razón cruzada: { − 1, 1/2, 2}, ya que − 1 es su inverso, por lo que intercambiar los dos últimos puntos simplemente reciprocó cada uno de estos valores pero no produjo ningún valor nuevo, y se conoce clásicamente como la razón cruzada armónica .

En términos de una razón doble, dados los puntos a, b en una línea afín, la razón de división [ 2 ] de un punto x es t(incógnita)=incógnita−aincógnita−b.{\displaystyle t(x)={\frac {xa}{xb}}.} Nótese que cuando a < x < b , entonces t ( x ) es negativo, y que es positivo fuera del intervalo. La razón cruzada(do,d;a,b)=t(do)t(d){\displaystyle (c,d;a,b)={\tfrac {t(c)}{t(d)}}}es una razón de razones de división, o una razón doble. Establecer la razón doble en menos uno significa que cuando t ( c ) + t ( d ) = 0 , entonces c y d son conjugados armónicos con respecto a a y b . Por lo tanto, el criterio de la razón de división es que sean inversos aditivos .

La división armónica de un segmento de línea es un caso especial de la definición de círculo de Apolonio .

En algunos estudios escolares, la configuración de un rango armónico se denomina división armónica .

Del punto medio

El punto medio y el infinito son conjugados armónicos.

Cuando x es el punto medio del segmento de a a b , entonces t(incógnita)=incógnita−aincógnita−b=−1.{\displaystyle t(x)={\frac {xa}{xb}}=-1.} Por el criterio de razón cruzada, el conjugado armónico de x será y cuando t ( y ) = 1 . Pero no hay una solución finita para y en la línea que pasa por a y b . Sin embargo, límitey→∞t(y)=1,{\displaystyle \lim _{y\to \infty }t(y)=1,} de esta manera se motiva la inclusión de un punto en el infinito en la línea proyectiva. Este punto en el infinito sirve como conjugado armónico del punto medio x .

Desde el cuadrilátero completo

Otro enfoque para el conjugado armónico es a través del concepto de un cuadrilátero completo , como KLMN en el diagrama anterior. Basado en cuatro puntos, el cuadrilátero completo tiene pares de lados opuestos y diagonales. En la expresión de conjugados armónicos de HSM Coxeter , las diagonales se consideran un par de lados opuestos:

D es el conjugado armónico de C con respecto a A y B , lo que significa que hay un cuadrilátero IJKL tal que un par de lados opuestos se intersecan en A , y un segundo par en B , mientras que el tercer par se encuentra con AB en C y D. [ 3 ]

Fue Karl von Staudt quien utilizó por primera vez el conjugado armónico como base para la geometría proyectiva, independientemente de consideraciones métricas:

...Staudt logró liberar la geometría proyectiva de la geometría elemental. En su Geometrie der Lage , Staudt introdujo una cuádrupla armónica de elementos independientemente del concepto de razón antagónica, siguiendo una ruta puramente proyectiva, utilizando un cuadrilátero completo. [ 4 ]
paralelogramo con diagonales
P 1 = A , P 2 = S , P 3 = B , P 4 = Q , D = M (ignorar la M verde).

Para ver el cuadrilátero completo aplicado para obtener el punto medio, considere el siguiente pasaje de JW Young:

Si se trazan dos líneas arbitrarias AQ y AS que pasan por A , y líneas BS y BQ que pasan por B , paralelas a AQ y AS respectivamente, las líneas AQ y SB se intersecan, por definición, en un punto R en el infinito, mientras que AS y QB se intersecan, por definición, en un punto P en el infinito. El cuadrilátero completo PQRS tiene entonces dos puntos diagonales en A y B , mientras que el par restante de lados opuestos pasa por M y el punto en el infinito sobre AB . El punto M es, por construcción, el conjugado armónico del punto en el infinito sobre AB con respecto a A y B. Por otro lado, que M sea el punto medio del segmento AB se deduce de la proposición conocida de que las diagonales de un paralelogramo ( PQRS ) se bisecan mutuamente. [ 5 ]

Identidades de Maclaurin y Newton

Dados dos puntosA{\displaystyle A}yB{\displaystyle B}, dejarMETRO{\displaystyle M}ser su punto medio; podemos, sin pérdida de generalidad, darles afijos−1{\displaystyle -1},1{\displaystyle 1}y0{\displaystyle 0}en el plano complejo respectivamente. Entonces, para cualquier puntodo{\displaystyle C}con afijoz{\displaystyle z}, resulta que el conjugado armónico dedo{\displaystyle C}tiene afijo1/z{\displaystyle 1/z}. Llamando a esto conjugado armónicoD{\displaystyle D}produce las siguientes identidades:

  • Maclaurin:METROdo⋅METROD=METROA2=METROB2{\displaystyle MC\cdot MD=MA^{2}=MB^{2}}(que en números complejos simplemente se convierte enz⋅1z=12=(−1)2{\displaystyle z\cdot {\frac {1}{z}}=1^{2}=(-1)^{2}})
  • Newton:DB⋅DA=Ddo⋅DMETRO{\displaystyle DB\cdot DA=DC\cdot DM}(que en números complejos indica que(z+1)(z−1)=(z−0)(z−1z){\displaystyle (z+1)(z-1)=(z-0)(z-{\frac {1}{z}})})

Relaciones cuaternarias

Cuatro puntos ordenados en un rango proyectivo se denominan puntos armónicos cuando existe un tetrastigma en el plano tal que el primero y el tercero son codotes y los otros dos puntos se encuentran en los conectores del tercer codote. [ 6 ]

Si p es un punto que no se encuentra en una recta con puntos armónicos, las uniones de p con los puntos son rectas armónicas . De manera similar, si el eje de un haz de planos es oblicuo a una recta con puntos armónicos, los planos que se encuentran en los puntos son planos armónicos . [ 6 ]

Un conjunto de cuatro en tal relación se ha denominado cuádruple armónico . [ 7 ]

cónicas proyectivas

Una cónica en el plano proyectivo es una curva C que posee la siguiente propiedad: si P es un punto que no pertenece a C , y si una recta variable que pasa por P interseca a C en los puntos A y B , entonces la conjugada armónica variable de P con respecto a A y B describe una recta. El punto P se denomina polo de dicha recta de conjugadas armónicas, y esta recta se denomina recta polar de P con respecto a la cónica. Consulte el artículo «Polo y polar» para obtener más detalles.

Geometría inversa

En el caso de que la cónica sea un círculo, en los diámetros extendidos del círculo, los conjugados armónicos con respecto al círculo son inversos en un círculo . Este hecho se deduce de uno de los teoremas de Smogorzhevsky: [ 8 ]

Si los círculos k y q son mutuamente ortogonales, entonces una línea recta que pasa por el centro de k e interseca a q lo hace en puntos simétricos con respecto a k . 

Es decir, si la línea es un diámetro extendido de k , entonces las intersecciones con q son conjugadas armónicas.

Cónicas y la ecuación de Joachimthal

Consideremos como la curvado{\displaystyle C}una elipse dada por la ecuación

incógnita2a2+y2b2=1.{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}

DejarPAG(incógnita0,y0){\displaystyle P(x_{0},y_{0})}ser un punto fuera de la elipse yL{\displaystyle L}una línea recta desdePAG{\displaystyle P}que se encuentra con la elipse en puntosA{\displaystyle A}yB{\displaystyle B}. DejarA{\displaystyle A}tener coordenadas(ξ,η){\displaystyle (\xi ,\eta )}A continuación, toma un puntoQ(incógnita,y){\displaystyle Q(x,y)}enL{\displaystyle L}y dentro de la elipse que es tal queA{\displaystyle A}divide el segmento de líneaPAGQ{\displaystyle PQ}en la proporción1{\displaystyle 1}aλ{\displaystyle \lambda }, es decir

PAGA=(incógnita0−ξ)2+(y0−η)2=1,AQ=(incógnita−ξ)2+(y−η)2=λ{\displaystyle PA={\sqrt {(x_{0}-\xi )^{2}+(y_{0}-\eta )^{2}}}=1,\;\;\;AQ={\sqrt {(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}}}=\lambda }.

En lugar de resolver estas ecuaciones paraξ{\displaystyle \xi }yη{\displaystyle \eta } Es más fácil verificar por sustitución que las siguientes expresiones son las soluciones, es decir

(ξ,η)=(λincógnita+incógnita0λ+1,λy+y0λ+1).{\displaystyle (\xi ,\eta )={\bigg (}{\frac {\lambda x+x_{0}}{\lambda +1}},{\frac {\lambda y+y_{0}}{\lambda +1}}{\bigg )}.}

Desde el puntoA{\displaystyle A}se encuentra en la elipsedo{\displaystyle C}, uno tiene

1a2(λincógnita+incógnita0λ+1)2+1b2(λy+y0λ+1)2=1,{\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}{\bigg (}{\frac {\lambda x+x_{0}}{\lambda +1}}{\bigg )}^{2}+{\frac {1}{b^{2}}}{\bigg (}{\frac {\lambda y+y_{0}}{\lambda +1}}{\bigg )}^{2}=1,}

o

λ2(incógnita2a2+y2b2−1)+2λ(incógnitaincógnita0a2+yy0b2−1)+(incógnita02a2+y02b2−1)=0.{\displaystyle \lambda ^{2}{\bigg (}{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-1{\bigg )}+2\lambda {\bigg (}{\frac {xx_{0}}{a^{2}}}+{\frac {yy_{0}}{b^{2}}}-1{\bigg )}+{\bigg (}{\frac {x_{0}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y_{0}^{2}}{b^{2}}}-1{\bigg )}=0.}

Esta ecuación, que es una ecuación cuadrática enλ{\displaystyle \lambda }- se llama ecuación de Joachimthal . Sus dos raícesλ1,λ2{\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}}, determinar las posiciones deA{\displaystyle A}yB{\displaystyle B}con relación aPAG{\displaystyle P}yQ{\displaystyle Q}. Asociémonosλ1{\displaystyle \lambda _{1}}conA{\displaystyle A}yλ2{\displaystyle \lambda _{2}}conB{\displaystyle B}. Entonces, los distintos segmentos de línea vienen dados por

QA=1λ1+1(incógnita−incógnita0,y−y0),PAGA=λ1λ1+1(incógnita0−incógnita,y0−y){\displaystyle QA={\frac {1}{\lambda _{1}+1}}(x-x_{0},y-y_{0}),\;\;PA={\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{1}+1}}(x_{0}-x,y_{0}-y)}

y

QB=1λ2+1(incógnita−incógnita0,y−y0),PAGB=λ2λ2+1(incógnita0−incógnita,y0−y).{\displaystyle QB={\frac {1}{\lambda _{2}+1}}(x-x_{0},y-y_{0}),\;\;PB={\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{2}+1}}(x_{0}-x,y_{0}-y).}

Resulta que

PAGBPAGAQAQB=λ2λ1.{\displaystyle {\frac {PB}{PA}}{\frac {QA}{QB}}={\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}}}.}

Cuando esta expresión es−1{\displaystyle -1}, tenemos

QAPAGA=−QBPAGB.{\displaystyle {\frac {QA}{PA}}=-{\frac {QB}{PB}}.}

De este modoA{\displaystyle A}dividePAGQ{\displaystyle PQ}«internamente» en la misma proporción queB{\displaystyle B} dividePAGQ{\displaystyle PQ}``externamente´´. La expresión

PAGBPAGAQAQB{\displaystyle {\frac {PB}{PA}}{\frac {QA}{QB}}}

con valor−1{\displaystyle -1}(lo que la hace autoinversa) se conoce como la razón cruzada armónica . Conλ2/λ1=−1{\displaystyle \lambda _{2}/\lambda _{1}=-1}como arriba, uno tieneλ1+λ2=0{\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}=0}y por lo tanto el coeficiente deλ{\displaystyle \lambda }en la ecuación de Joachimthal desaparece, es decir

incógnitaincógnita0a2+yy0b2−1=0.{\displaystyle {\frac {xx_{0}}{a^{2}}}+{\frac {yy_{0}}{b^{2}}}-1=0.}

Esta es la ecuación de una línea recta llamada línea polar de un punto (polo).PAG(incógnita0,y0){\displaystyle P(x_{0},y_{0})}. Se puede demostrar que este polar dePAG{\displaystyle P}es la cuerda de contacto de las tangentes a la elipse desdePAG{\displaystyle P}. Si ponemosPAG{\displaystyle P}en la elipse (λ1=0,λ2=0{\displaystyle \lambda _{1}=0,\lambda _{2}=0}) la ecuación es la de la tangente enPAG{\displaystyle P}También se puede demostrar que la directriz de la elipse es el polar del foco.

tétradas de Galois

En la geometría de Galois sobre un cuerpo de Galois GF( q ), una recta tiene q + 1 puntos, donde ∞ = (1,0) . En esta recta, cuatro puntos forman una tétrada armónica cuando dos separan armónicamente a los demás. La condición

(do,d;a,b)=−1,  equivalentemente   2(dod+ab)=(do+d)(a+b),{\displaystyle (c,d;a,b)=-1,\ {\text{ equivalently }}\ \ 2(cd+ab)=(c+d)(a+b),}

caracteriza las tétradas armónicas. La atención a estas tétradas llevó a Jean Dieudonné a delinear algunos isomorfismos accidentales de los grupos lineales proyectivos PGL(2, q ) para q = 5, 7, 9 . [ 9 ]

Si q = 2 n , y dados A y B , entonces el conjugado armónico de C es él mismo. [ 10 ]

Conjugados armónicos proyectivos iterados y la proporción áurea.

Sean P₀ , P₁ , P₂ tres puntos distintos en la recta proyectiva real. Consideremos la sucesión infinita de puntos Pₙ , donde Pₙ es el conjugado armónico de Pₙ₋₃ con respecto a Pₙ₋₁ , Pₙ₋₂ para n > 2. Esta sucesión es convergente . [ 11 ]

Para un límite finito P tenemos

límitenorte→∞PAGnorte+1PAGPAGnortePAG=Φ−2=−Φ−2=−3−52,{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {P_{n+1}P}{P_{n}P}}=\Phi -2=-\Phi ^{-2}=-{\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}},}

dóndeΦ=12(1+5){\displaystyle \Phi ={\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {5}})}es la proporción áurea , es decirPAGnorte+1PAG≈−Φ−2PAGnortePAG{\displaystyle P_{n+1}P\approx -\Phi ^{-2}P_{n}P}para n grande . Para un límite infinito tenemos

límitenorte→∞PAGnorte+2PAGnorte+1PAGnorte+1PAGnorte=−1−Φ=−Φ2.{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {P_{n+2}P_{n+1}}{P_{n+1}P_{n}}}=-1-\Phi =-\Phi ^{2}.}

Para una demostración, consideremos el isomorfismo proyectivo.

F(z)=az+bdoz+d{\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}

con

F((−1)norteΦ2norte)=PAGnorte.{\displaystyle f\left((-1)^{n}\Phi ^{2n}\right)=P_{n}.}

Véase también

Referencias

  1. ↑ RL Goodstein y EJF Primrose (1953) Geometría proyectiva axiomática , University College Leicester (editorial). Este texto sigue la geometría sintética . Construcción armónica en la página 11.
  2. ↑ Dirk Struik (1953) Lecciones de geometría analítica y proyectiva , página 7
  3. ↑ HSM Coxeter (1942) Geometría no euclidiana , página 29, University of Toronto Press
  4. ↑ BL Laptev & BA Rozenfel'd (1996) Matemáticas del siglo XIX: Geometría , página 41, Birkhäuser Verlag ISBN 3-7643-5048-2
  5. ↑ John Wesley Young (1930) Geometría proyectiva , página 85, Mathematical Association of America , Chicago: Open Court Publishing
  6. 1 2 G. B. Halsted (1906) Geometría proyectiva sintética , páginas 15 y 16
  7. ↑ Luis Santaló (1966) Geometría proyectiva , página 166, Editorial Universitaria de Buenos Aires
  8. ↑ A. Smogorzhevsky (1982) Geometría lobachevskiana , Editorial Mir , Moscú
  9. ^ Jean Dieudonné (1954) "Les Isomorfismos excepcionales entre les grupos clásicos finis", Revista Canadiense de Matemáticas 6: 305 a 15 doi : 10.4153/CJM-1954-029-0
  10. ↑ Emil Artin (1957) Álgebra geométrica , página 82 vía Internet Archive
  11. ↑ F. Leitenberger (2016) Divisiones armónicas iteradas y la proporción áurea , Forum Geometricorum 16: 429–430
  • Juan Carlos Álvarez (2000) Geometría proyectiva , ver Capítulo 2: El plano proyectivo real, sección 3: Cuádruples armónicos y teorema de von Staudt.
  • Robert Lachlan (1893) Un tratado elemental sobre geometría pura moderna , enlace de las Monografías históricas de matemáticas de la Universidad de Cornell .
  • Bertrand Russell (1903) Principios de matemáticas , página 384.
  • Russell, John Wellesley (1905). Geometría pura . Clarendon Press.