Simetría policromática

La simetría policromática es una simetría de color que intercambia tres o más colores en un patrón simétrico. Es una extensión natural de la simetría dicromática . Los grupos de simetría de color se derivan añadiendo a las coordenadas de posición ( x e y en dos dimensiones, x , y y z en tres dimensiones) una coordenada adicional, k , que toma tres o más valores posibles (colores). ^{[ 1 ]}

Un ejemplo de aplicación de la simetría policromática son los cristales de sustancias que contienen moléculas o iones en estados triplete, es decir, con un espín electrónico de magnitud 1. Estos cristales deberían tener, en ocasiones, estructuras en las que los espines de estos grupos tengan proyecciones de +1, 0 y -1 sobre campos magnéticos locales. Si estos tres casos se presentan con igual frecuencia en una disposición ordenada, entonces el grupo espacial magnético de dicho cristal debería ser tricolor. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

El grupo p3 tiene tres centros de rotación diferentes de orden tres (120°), pero no tiene reflexiones ni reflexiones de deslizamiento.

Hay dos formas distintas de colorear el patrón p3 con tres colores: p3 [3] ₁ y p3 [3] _2, donde la cifra entre corchetes indica el número de colores y el subíndice distingue entre varios casos de patrones coloreados. ^{[ 5 ]}

Tomando un solo motivo en el patrón p3 [3] ₁ tiene una operación de simetría 3', que consiste en una rotación de 120° y una permutación cíclica de los tres colores blanco, verde y rojo como se muestra en la animación.

Este patrón p3 [3] ₁ tiene la misma simetría de color que la Teselación hexagonal con animales: estudio de la división regular del plano con reptiles (1939) de MC Escher. Escher reutilizó el diseño en su litografía Reptiles de 1943 y también se utilizó como portada del álbum debut de Mott the Hoople .

Las investigaciones iniciales de Wittke y Garrido (1959) ^{[ 7 ]} y de Niggli y Wondratschek (1960) ^{[ 8 ]} identificaron la relación entre los grupos de color de un objeto y los subgrupos del grupo de simetría geométrica del objeto . En 1961, van der Waerden y Burckhardt ^{[ 9 ]} se basaron en el trabajo anterior al demostrar que los grupos de color pueden definirse de la siguiente manera: en un grupo de color de un patrón (u objeto), cada una de sus operaciones de simetría geométrica s se asocia con una permutación σ de los k colores de tal forma que todos los pares ( s , σ ) forman un grupo. Senechal demostró que las permutaciones están determinadas por los subgrupos del grupo de simetría geométrica G del patrón sin color. ^{[ 10 ]} Cuando cada operación de simetría en G se asocia con una permutación de color única, se dice que el patrón está perfectamente coloreado. ^{[ 11 ] [ 12 ]}

La teoría de Waerden-Burckhardt define un grupo de k colores G ( H ) como determinado por un subgrupo H de índice k en el grupo de simetría G. ^{[ 13 ]} Si el subgrupo H es un subgrupo normal , entonces el grupo cociente G / H permuta todos los colores. ^{[ 14 ]}

• 1956 Belov y sus colaboradores publican los primeros trabajos sobre grupos de simetría policromáticos, en contraposición a los dicromáticos . ^{[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ]} Vainshtein y Koptsik (1994) resumen el trabajo ruso. ^{[ 21 ]}
• 1957 Mackay publica la primera reseña de la obra rusa en inglés. ^{[ 22 ]} Reseñas posteriores fueron publicadas por Koptsik (1968), ^{[ 23 ]} Schwarzenberger (1984), ^{[ 24 ]} en Tilings and patterns de Grünbaum y Shephard (1987), ^{[ 4 ]} por Senechal (1990) ^{[ 10 ]} y por Thomas (2012). ^{[ 25 ]}
• A finales de la década de 1950, las obras de arte de M.C. Escher , basadas en patrones dicromáticos y policromáticos, popularizaron la simetría del color entre los científicos. ^{[ 26 ] [ 27 ]}
• 1961 Definición clara por van der Waerden y Burckhardt de simetría de color en términos de teoría de grupos , independientemente del número de colores o dimensiones involucradas. ^{[ 9 ]}
• 1964 Primera publicación de Simetría coloreada de Shubnikov y Belov en traducción al inglés ^{[ 28 ]}
• 1971 Derivación por Loeb en Color y simetría de configuraciones de simetría de color 2D usando rotocentros. ^{[ 29 ]}
• 1974 Publicación de Symmetry in Science and Art por Shubnikov y Koptsik con amplia cobertura de la simetría policromática. ^{[ 30 ]}
• En 1983, Senechal examina el problema de colorear poliedros simétricamente utilizando la teoría de grupos. ^{[ 13 ] [ 31 ]} Cromwell posteriormente utiliza un enfoque de conteo algorítmico (1997). ^{[ 32 ]}
• En 1988, Washburn y Crowe aplicaron el análisis de simetría del color a patrones y objetos culturales. ^{[ 33 ]} Washburn y Crowe inspiraron trabajos posteriores, por ejemplo, de Makovicky. ^{[ 34 ]}
• En 1997, Lifshitz extendió la teoría de la simetría del color de los cristales periódicos a los cuasiperiódicos. ^{[ 35 ]}
• En 2008 , Conway , Burgiel y Goodman-Strauss publicaron Las simetrías de las cosas , que describe las simetrías que preservan el color de los objetos coloreados utilizando una nueva notación basada en Orbifolds . ^{[ 36 ]}

En la sección de ejemplos anterior se ilustran los dos patrones p3 de 3 colores , los patrones p3 únicos de 4, 6 y 7 colores , uno de los tres patrones p3 de 9 colores y uno de los cuatro patrones p3 de 12 colores.

• Senechal, M. (1975). Grupos puntuales y simetría de color , Z. Krist., 142 , 1-23, doi : 10.1524/zkri.1975.142.16.1
• Lockwood, EH y Macmillan, RH (1978). Simetría geométrica  , Cambridge University Press, Cambridge, 67-70 y 206-208, ISBN 9780521216852
• Senechal, M. (1979). Grupos de color , Discrete Appl. Math., 1 , 51-73, doi : 10.1016/0166-218X(79)90014-3
• Senechal, M. (1988). El Escher algebraico , Topología estructural, 15 , 31-42