Clase Pontryagin

Como demostraron Shiing-Shen Chern y André Weil alrededor de 1948, las clases racionales de Pontryagin

${\displaystyle p_{k}(E,\mathbf {Q} )\in H^{4k}(M,\mathbf {Q} )}$

pueden presentarse como formas diferenciales que dependen polinómicamente de la forma de curvatura de un fibrado vectorial. Esta teoría de Chern-Weil reveló una conexión importante entre la topología algebraica y la geometría diferencial global .

Para un haz vectorial${\displaystyle E}$más de un${\displaystyle n}$variedad diferenciable de dimensión${\displaystyle M}$equipado con una conexión , la clase Pontryagin total se expresa como

${\displaystyle p=\left[1-{\frac {{\rm {Tr}}(\Omega ^{2})}{8\pi ^{2}}}+{\frac {{\rm {Tr}}(\Omega ^{2})^{2}-2{\rm {Tr}}(\Omega ^{4})}{128\pi ^{4}}}-{\frac {{\rm {Tr}}(\Omega ^{2})^{3}-6{\rm {Tr}}(\Omega ^{2}){\rm {Tr}}(\Omega ^{4})+8{\rm {Tr}}(\Omega ^{6})}{3072\pi ^{6}}}+\cdots \right]\in H_{dR}^{*}(M),}$

dónde${\displaystyle \Omega }$denota la forma de curvatura y${\displaystyle H_{dR}^{*}(M)}$denota los grupos de cohomología de de Rham .

Las clases de Pontryagin de una variedad diferenciable se definen como las clases de Pontryagin de su fibrado tangente .

Novikov demostró en 1966 que si dos variedades compactas, orientadas y diferenciables son homeomorfas , entonces sus clases racionales de Pontryagin son${\displaystyle p_{k}(M,\mathbf {Q} )}$en${\displaystyle H^{4k}(M,\mathbf {Q} )}$son iguales. Si la dimensión es al menos cinco, hay como máximo un número finito de variedades diferenciables con un tipo de homotopía y clases de Pontryagin dadas. ^{[ 3 ]}

Las clases de Pontryagin de un fibrado vectorial complejo${\displaystyle \pi \colon E\to X}$están completamente determinadas por sus clases de Chern. Esto se deduce del hecho de que${\displaystyle E\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \cong E\oplus {\bar {E}}}$, la fórmula de suma de Whitney y propiedades de las clases de Chern de su fibrado conjugado complejo. Es decir,${\displaystyle c_{i}({\bar {E}})=(-1)^{i}c_{i}(E)}$y${\displaystyle c(E\oplus {\bar {E}})=c(E)c({\bar {E}})}$. Entonces, dada esta relación, podemos ver

${\displaystyle 1-p_{1}(E)+p_{2}(E)-\cdots +(-1)^{n}p_{n}(E)=(1+c_{1}(E)+\cdots +c_{n}(E))\cdot (1-c_{1}(E)+c_{2}(E)-\cdots +(-1)^{n}c_{n}(E))}$^{[ 4 ]} .

Por ejemplo, podemos aplicar esta fórmula para encontrar las clases de Pontryagin de un fibrado vectorial complejo sobre una curva y una superficie. Para una curva, tenemos:

${\displaystyle (1-c_{1}(E))(1+c_{1}(E))=1+c_{1}(E)^{2}}$

Por lo tanto, todas las clases de Pontryagin de haces vectoriales complejos son triviales. En general, observando los dos primeros términos del producto

${\displaystyle (1-c_{1}(E)+c_{2}(E)+\ldots +(-1)^{n}c_{n}(E))(1+c_{1}(E)+c_{2}(E)+\ldots +c_{n}(E))=1-c_{1}(E)^{2}+2c_{2}(E)+\ldots }$

podemos ver que${\displaystyle p_{1}(E)=c_{1}(E)^{2}-2c_{2}(E)}$. En particular, para los paquetes de líneas esto se simplifica aún más ya que${\displaystyle c_{2}(L)=0}$por razones dimensionales.

Recordemos que un polinomio de cuarto grado cuyo lugar geométrico de anulación en${\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}}$es una subvariedad suave es una superficie K3 . Si usamos la secuencia normal

${\displaystyle 0\to {\mathcal {T}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {CP} ^{3}}|_{X}\to {\mathcal {O}}(4)\to 0}$

podemos encontrar

${\displaystyle {\begin{aligned}c({\mathcal {T}}_{X})&={\frac {c({\mathcal {T}}_{\mathbb {CP} ^{3}}|_{X})}{c({\mathcal {O}}(4))}}\\&={\frac {(1+[H])^{4}}{(1+4[H])}}\\&=(1+4[H]+6[H]^{2})\cdot (1-4[H]+16[H]^{2})\\&=1+6[H]^{2}\end{aligned}}}$

demostración${\displaystyle c_{1}(X)=0}$y${\displaystyle c_{2}(X)=6[H]^{2}}$. Desde${\displaystyle [H]^{2}}$corresponde a cuatro puntos, debido al lema de Bézout, tenemos el segundo número de Chern como${\displaystyle 24}$. Desde${\displaystyle p_{1}(X)=-2c_{2}(X)}$en este caso, tenemos${\displaystyle p_{1}(X)=-48}$Este número se puede utilizar para calcular el tercer grupo de homotopía estable de esferas. ^{[ 5 ]}

1. Los números de Pontryagin son invariantes bajo cobordismo orientado ; y junto con los números de Stiefel-Whitney determinan la clase de cobordismo orientado de una variedad orientada.
2. Los números de Pontryagin de las variedades riemannianas cerradas (así como las clases de Pontryagin) se pueden calcular como integrales de ciertos polinomios a partir del tensor de curvatura de una variedad riemanniana.
3. Invariantes como la firma y${\displaystyle {\hat {A}}}$El género se puede expresar mediante números de Pontryagin. Para el teorema que describe la combinación lineal de números de Pontryagin que da la signatura, véase el teorema de la signatura de Hirzebruch .