ecuación del medio poroso

El enfoque de similitud para resolver la ecuación del medio poroso fue adoptado por Barenblatt ^{[ 3 ]} y Kompaneets/ Zeldovich , ^{[ 4 ]} que para ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$El objetivo era encontrar una solución satisfactoria:$${\displaystyle u(t,x)={1 \over {t^{\alpha }}}v\left({x \over {t^{\beta }}}\right),\quad t>0}$$para alguna función desconocida${\displaystyle v}$y constantes desconocidas${\displaystyle \alpha ,\beta }$La solución final a la ecuación del medio poroso bajo estas escalas es:$${\displaystyle u(t,x)={1 \over {t^{\alpha }}}\left(b-{m-1 \over {2m}}\beta {\|x\|^{2} \over {t^{2\beta }}}\right)_{+}^{1 \over {m-1}}}$$dónde${\displaystyle \|\cdot \|^{2}}$es el${\displaystyle \ell ^{2}}$- norma ,${\displaystyle (\cdot )_{+}}$es la parte positiva , y los coeficientes vienen dados por:$${\displaystyle \alpha ={n \over {n(m-1)+2}},\quad \beta ={1 \over {n(m-1)+2}}}$$

El nombre de la ecuación del medio poroso proviene de su uso para describir el flujo de un gas ideal en un medio poroso homogéneo. ^{[ 6 ]} Requerimos tres ecuaciones para especificar completamente la densidad del medio.${\displaystyle \rho }$campo de velocidad del flujo${\displaystyle {\bf {v}}}$y presión${\displaystyle p}$La ecuación de continuidad para la conservación de la masa ; la ley de Darcy para el flujo en un medio poroso; y la ecuación de estado de los gases ideales . Estas ecuaciones se resumen a continuación:$${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon {\partial \rho \over {\partial t}}&=-\nabla \cdot (\rho {\bf {v}})&({\text{Conservation of mass}})\\{\bf {v}}&=-{k \over {\mu }}\nabla p&({\text{Darcy's law}})\\p&=p_{0}\rho ^{\gamma }&({\text{Equation of state}})\end{aligned}}}$$dónde${\displaystyle \varepsilon }$es la porosidad ,${\displaystyle k}$es la permeabilidad del medio,${\displaystyle \mu }$es la viscosidad dinámica y${\displaystyle \gamma }$es el exponente politrópico (igual a la relación de capacidad calorífica para procesos isoentrópicos ). Suponiendo porosidad, permeabilidad y viscosidad dinámica constantes, la ecuación diferencial parcial para la densidad es:$${\displaystyle {\partial \rho \over {\partial t}}=c\Delta \left(\rho ^{m}\right)}$$dónde${\displaystyle m=\gamma +1}$y${\displaystyle c=\gamma kp_{0}/(\gamma +1)\varepsilon \mu }$.

Utilizando la ley de conducción de calor de Fourier , la ecuación general para el cambio de temperatura en un medio por conducción es:$${\displaystyle \rho c_{p}{\partial T \over {\partial t}}=\nabla \cdot (\kappa \nabla T)}$$dónde${\displaystyle \rho }$es la densidad del medio,${\displaystyle c_{p}}$es la capacidad calorífica a presión constante y${\displaystyle \kappa }$es la conductividad térmica . Si la conductividad térmica depende de la temperatura según la ley de potencias:$${\displaystyle \kappa =\alpha T^{n}}$$Entonces, la ecuación de transferencia de calor se puede escribir como la ecuación del medio poroso:$${\displaystyle {\partial T \over {\partial t}}=\lambda \Delta \left(T^{m}\right)}$$con${\displaystyle m=n+1}$y${\displaystyle \lambda =\alpha /\rho c_{p}m}$La conductividad térmica de los plasmas de alta temperatura parece seguir una ley de potencias. ^{[ 7 ]}