POVM

En el análisis funcional y la ciencia de la información cuántica , una medida con valores de operador positivo ( POVM ) es una medida cuyos valores son operadores semidefinidos positivos en un espacio de Hilbert . Las POVM son una generalización de las medidas con valores de proyección (PVM) y, en consecuencia, las mediciones cuánticas descritas por las POVM son una generalización de las mediciones cuánticas descritas por las PVM (denominadas mediciones proyectivas ).

En una analogía aproximada, un POVM es a un PVM lo que un estado mixto es a un estado puro . Los estados mixtos son necesarios para especificar el estado de un subsistema de un sistema mayor (véase purificación del estado cuántico ); de forma análoga, los POVM son necesarios para describir el efecto sobre un subsistema de una medición proyectiva realizada sobre un sistema mayor.

Las POVM son el tipo de medición más general en mecánica cuántica y también se pueden utilizar en la teoría cuántica de campos . ^{[ 1 ]} Se utilizan ampliamente en el campo de la información cuántica .

Dejar${\displaystyle {\mathcal {H}}}$denotamos un espacio de Hilbert y${\displaystyle (X,M)}$un espacio medible con${\displaystyle M}$un σ-álgebra de Borel en${\displaystyle X}$. Un POVM es una función${\displaystyle F}$definido en${\displaystyle M}$cuyos valores son operadores autoadjuntos acotados positivos en${\displaystyle {\mathcal {H}}}$de tal manera que para cada${\displaystyle \psi \in {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle E\mapsto \langle F(E)\psi \mid \psi \rangle,}$

es una medida aditiva numerable no negativa en el álgebra σ${\displaystyle M}$y ${\displaystyle F(X)=\operatorname {I} _{\mathcal {H}}}$es el operador identidad . ^{[ 2 ]}

En mecánica cuántica , la propiedad clave de una POVM es que determina una medida de probabilidad en el espacio de resultados, de modo que${\displaystyle \langle F(E)\psi \mid \psi \rangle }$puede interpretarse como la probabilidad del evento${\displaystyle E}$al medir un estado cuántico${\displaystyle |\psi \rangle }$.

En el caso más simple, en el que${\displaystyle X}$es un conjunto finito,${\displaystyle M}$es el conjunto de potencias de${\displaystyle X}$y${\displaystyle {\mathcal {H}}}$Si es de dimensión finita, un POVM es equivalentemente un conjunto de matrices hermíticas semidefinidas positivas.${\displaystyle \{F_{i}\}}$que suman la matriz identidad , ^{[ 3 ] : 90}

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}=\operatorname {I} .}$

Una POVM se diferencia de una medida con valor de proyección en que, para las medidas con valor de proyección, los valores de${\displaystyle F}$Se requiere que sean proyecciones ortogonales .

En el caso discreto, el elemento POVM${\displaystyle F_{i}}$está asociado con el resultado de la medición${\displaystyle i}$, de tal manera que la probabilidad de obtenerlo al realizar una medición cuántica en el estado cuántico${\displaystyle \rho }$es dado por

${\displaystyle {\text{Prob}}(i)=\operatorname {tr} (\rho F_{i})}$,

dónde${\displaystyle \operatorname {tr} }$es el operador traza . Cuando el estado cuántico que se está midiendo es un estado puro${\displaystyle |\psi \rangle }$Esta fórmula se reduce a

${\displaystyle {\text{Prob}}(i)=\operatorname {tr} (|\psi \rangle \langle \psi |F_{i})=\langle \psi |F_{i}|\psi \rangle }$.

El caso discreto de un POVM generaliza el caso más simple de un PVM, que es un conjunto de proyectores ortogonales.${\displaystyle \{\Pi _{i}\}}$que suman la matriz identidad :

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\Pi _{i}=\operatorname {I} ,\quad \Pi _{i}\Pi _{j}=\delta _{ij}\Pi _{i}.}$

Las fórmulas de probabilidad para un PVM son las mismas que para un POVM. Una diferencia importante es que los elementos de un POVM no son necesariamente ortogonales. Como consecuencia, el número de elementos${\displaystyle n}$del POVM puede ser mayor que la dimensión del espacio de Hilbert en el que actúan. Por otro lado, el número de elementos${\displaystyle N}$de la PVM es como máximo la dimensión del espacio de Hilbert.

Nota: Otra forma de escribir esto es "Teorema de Neumark".

El teorema de dilatación de Naimark ^{[ 4 ]} muestra cómo se pueden obtener POVM a partir de PVM que actúan en un espacio mayor. Este resultado es de vital importancia en mecánica cuántica, ya que proporciona una forma de realizar físicamente mediciones POVM. ^{[ 5 ] : 285}

En el caso más simple, de una POVM con un número finito de elementos que actúan sobre un espacio de Hilbert de dimensión finita, el teorema de Naimark dice que si${\displaystyle \{F_{i}\}_{i=1}^{n}}$es un POVM que actúa sobre un espacio de Hilbert${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A}}$de dimensión${\displaystyle d_{A}}$Entonces existe un PVM.${\displaystyle \{\Pi _ {i}\}_ {i=1}^{n}}$actuando en un espacio de Hilbert${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A'}}$de dimensión${\displaystyle d_{A'}}$y una isometría${\displaystyle V:{\mathcal {H}}_{A}\to {\mathcal {H}}_{A'}}$de tal manera que para todos${\displaystyle i}$,

${\displaystyle F_{i}=V^{\dagger }\Pi _{i}V.}$

Para el caso particular de un POVM de rango 1, es decir, cuando${\displaystyle F_{i}=|f_{i}\rangle \langle f_{i}|}$para algunos vectores (no normalizados)${\displaystyle |f_{i}\rangle }$, esta isometría se puede construir como ^{[ 5 ] : 285}

${\displaystyle V=\sum _{i=1}^{n}|i\rangle _{A'}\langle f_{i}|_{A}}$

y el PVM viene dado simplemente por${\displaystyle \Pi _{i}=|i\rangle \langle i|_{A'}}$. Tenga en cuenta que aquí${\displaystyle d_{A'}=n}$.

En el caso general, la isometría y el PVM se pueden construir definiendo ^{[ 6 ] [ 7 ].}${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A'}={\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{B}}$,${\displaystyle \Pi _{i}=\operatorname {I} _{A}\otimes |i\rangle \langle i|_{B}}$, y

${\displaystyle V=\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {F_{i}}}_{A}\otimes {|i\rangle }_{B}.}$

Tenga en cuenta que aquí${\displaystyle d_{A'}=nd_{A}}$, por lo tanto, esta es una construcción más derrochadora.

En cualquier caso, la probabilidad de obtener el resultado${\displaystyle i}$Con este PVM, y el estado transformado adecuadamente por la isometría, es la misma que la probabilidad de obtenerlo con el POVM original:

${\displaystyle {\text{Prob}}(i)=\operatorname {tr} \left(V\rho _{A}V^{\dagger }\Pi _{i}\right)=\operatorname {tr} \left(\rho _{A}V^{\dagger }\Pi _{i}V\right)=\operatorname {tr} (\rho _{A}F_{i})}$

Esta construcción puede convertirse en una receta para una realización física del POVM extendiendo la isometría.${\displaystyle V}$en una unidad${\displaystyle U}$, es decir, encontrar${\displaystyle U}$de tal manera que

${\displaystyle V|i\rangle _{A}=U|i\rangle _{A'}}$

para${\displaystyle i}$del 1 al${\displaystyle d_{A}}$Esto siempre se puede hacer.

La receta para realizar el POVM descrito por${\displaystyle \{F_{i}\}_{i=1}^{n}}$en un estado cuántico${\displaystyle \rho }$El procedimiento consiste entonces en incrustar el estado cuántico en el espacio de Hilbert. ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A'}}$, evolucionarlo con la unidad${\displaystyle U}$y realizar la medición proyectiva descrita por el PVM${\displaystyle \{\Pi _{i}\}_{i=1}^{n}}$.

Supongamos que tienes un sistema cuántico con un espacio de Hilbert bidimensional que sabes que está en uno de los estados${\displaystyle |\psi \rangle }$o el estado${\displaystyle |\varphi \rangle }$y quieres determinar cuál es. Si${\displaystyle |\psi \rangle }$y${\displaystyle |\varphi \rangle }$son ortogonales, esta tarea es fácil: el conjunto${\displaystyle \{|\psi \rangle \langle \psi |,|\varphi \rangle \langle \varphi |\}}$formará un PVM, y una medición proyectiva en esta base determinará el estado con certeza. Sin embargo, si${\displaystyle |\psi \rangle }$y${\displaystyle |\varphi \rangle }$no son ortogonales, esta tarea es imposible , en el sentido de que no hay ninguna medición, ni PVM ni POVM, que los distinga con certeza. ^{[ 3 ] : 87} La imposibilidad de discriminar perfectamente entre estados no ortogonales es la base de los protocolos de información cuántica como la criptografía cuántica , el lanzamiento de moneda cuántica y el dinero cuántico .

La tarea de discriminación inequívoca de estados cuánticos (UQSD) es lo mejor que se puede hacer: nunca cometer un error sobre si el estado es${\displaystyle |\psi \rangle }$o${\displaystyle |\varphi \rangle }$, a costa de obtener a veces un resultado no concluyente. Es posible hacerlo con mediciones proyectivas. ^{[ 8 ]} Por ejemplo, si se mide el PVM${\displaystyle \{|\psi \rangle \langle \psi |,|\psi ^{\perp }\rangle \langle \psi ^{\perp }|\}}$, dónde ${\displaystyle |\psi ^{\perp }\rangle }$es el estado cuántico ortogonal a${\displaystyle |\psi \rangle }$y obtener resultado${\displaystyle |\psi ^{\perp }\rangle \langle \psi ^{\perp }|}$, entonces sabes con certeza que el estado era${\displaystyle |\varphi \rangle }$Si el resultado fue${\displaystyle |\psi \rangle \langle \psi |}$Entonces, la conclusión es inconclusa. El razonamiento análogo se aplica al PVM.${\displaystyle \{|\varphi \rangle \langle \varphi |,|\varphi ^{\perp }\rangle \langle \varphi ^{\perp }|\}}$, dónde${\displaystyle |\varphi ^{\perp }\rangle }$es el estado ortogonal a${\displaystyle |\varphi \rangle }$.

Esto es insatisfactorio, ya que no se pueden detectar ambos.${\displaystyle |\psi \rangle }$y${\displaystyle |\varphi \rangle }$con una sola medición, y la probabilidad de obtener un resultado concluyente es menor que con POVM. El POVM que da la mayor probabilidad de un resultado concluyente en esta tarea viene dado por ^{[ 8 ] [ 9 ]}

${\displaystyle F_{\psi }={\frac {1}{1+|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|\varphi ^{\perp }\rangle \langle \varphi ^{\perp }|}$

${\displaystyle F_{\varphi }={\frac {1}{1+|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|\psi ^{\perp }\rangle \langle \psi ^{\perp }|}$

${\displaystyle F_{?}=\operatorname {I} -F_{\psi }-F_{\varphi }={\frac {2|\langle \varphi |\psi \rangle |}{1+|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|\gamma \rangle \langle \gamma |,}$

dónde

${\displaystyle |\gamma \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2(1+|\langle \varphi |\psi \rangle |)}}}(|\psi \rangle +e^{i\arg(\langle \varphi |\psi \rangle )}|\varphi \rangle ).}$

Tenga en cuenta que${\displaystyle \operatorname {tr} (|\varphi \rangle \langle \varphi |F_{\psi })=\operatorname {tr} (|\psi \rangle \langle \psi |F_{\varphi })=0}$, entonces cuando el resultado${\displaystyle \psi }$se obtiene estamos seguros de que el estado cuántico es${\displaystyle |\psi \rangle }$y cuando el resultado${\displaystyle \varphi }$se obtiene estamos seguros de que el estado cuántico es${\displaystyle |\varphi \rangle }$.

La probabilidad de obtener un resultado concluyente viene dada por

${\displaystyle 1-|\langle \varphi |\psi \rangle |,}$

cuando el sistema cuántico está en estado${\displaystyle |\psi \rangle }$o${\displaystyle |\varphi \rangle }$con la misma probabilidad. Este resultado se conoce como el límite de Ivanović-Dieks-Peres, llamado así en honor a los autores que fueron pioneros en la investigación de UQSD. ^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]}

Dado que los POVM son de rango 1, podemos usar el caso simple de la construcción anterior para obtener una medición proyectiva que realiza físicamente este POVM. Etiquetando los tres estados posibles del espacio de Hilbert ampliado como${\displaystyle |{\text{result ψ}}\rangle }$,${\displaystyle |{\text{result φ}}\rangle }$, y${\displaystyle |{\text{result$ ?}}\rangle } , vemos que el unitario resultante${\displaystyle U_{\text{UQSD}}}$toma el estado${\displaystyle |\psi \rangle }$a

${\displaystyle U_{\text{UQSD}}|\psi \rangle ={\sqrt {1-|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|{\text{result ψ}}\rangle +{\sqrt {|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|{\text{result$ ?}}\rangle ,}

y de manera similar toma el estado${\displaystyle |\varphi \rangle }$a

${\displaystyle U_{\text{UQSD}}|\varphi \rangle ={\sqrt {1-|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|{\text{result φ}}\rangle +e^{-i\arg(\langle \varphi |\psi \rangle )}{\sqrt {|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|{\text{result$ ?}}\rangle .}

Una medición proyectiva proporciona entonces los resultados deseados con las mismas probabilidades que la POVM.

Este POVM se ha utilizado para distinguir experimentalmente estados de polarización no ortogonales de un fotón. La realización del POVM con una medición proyectiva fue ligeramente diferente a la descrita aquí. ^{[ 13 ] [ 14 ]}

• SIC-POVM
• Medición cuántica
• Formulación matemática de la mecánica cuántica
• Matriz de densidad
• Operación cuántica
• Medida con valor de proyección
• Medida vectorial

• POVMs
  • K. Kraus, Estados, efectos y operaciones, Lecture Notes in Physics 190, Springer (1983).
  • AS Holevo , Aspectos probabilísticos y estadísticos de la teoría cuántica, North-Holland Publ. Cy., Ámsterdam (1982).

• Demostración interactiva sobre la discriminación de estados cuánticos