Discriminación de estados cuánticos

El término discriminación de estados cuánticos se refiere colectivamente a las técnicas de informática cuántica que, mediante la realización de un pequeño número de mediciones en un sistema físico, permiten identificar su estado cuántico específico. Esto se logra siempre que se conozca de antemano el conjunto de estados posibles del sistema, y ​​que solo sea necesario determinar cuál es. Esta premisa distingue dichas técnicas de la tomografía cuántica, que no impone requisitos adicionales sobre el estado del sistema, pero requiere muchas más mediciones.

Si el conjunto de estados en los que puede encontrarse el sistema investigado se representa mediante vectores ortogonales, la situación es particularmente sencilla. Para determinar inequívocamente el estado del sistema, basta con realizar una medición cuántica en la base formada por estos vectores. El estado cuántico dado puede entonces identificarse sin errores a partir del valor medido. Además, se puede demostrar fácilmente que si los estados individuales no son ortogonales entre sí, no hay forma de distinguirlos con certeza. Por lo tanto, en tal caso, siempre es necesario tener en cuenta la posibilidad de una determinación incorrecta o inconclusa del estado del sistema. Sin embargo, existen técnicas que intentan mitigar esta deficiencia. Salvo excepciones, estas técnicas se pueden dividir en dos grupos: aquellas basadas en la minimización del error y aquellas que permiten determinar el estado de forma inequívoca a costa de una menor eficiencia.

El primer grupo de técnicas se basa en los trabajos de Carl W. Helstrom de las décadas de 1960 y 1970 ^{[ 1 ]} y, en su forma básica, consiste en la implementación de la medición cuántica proyectiva, donde los operadores de medición son representaciones proyectivas. El segundo grupo se basa en las conclusiones de un artículo científico publicado por I.D. Ivanovich en 1987 ^{[ 2 ]} y requiere el uso de la medición generalizada, en la que los elementos del conjunto POVM se toman como operadores de medición. Ambos grupos de técnicas son actualmente objeto de una investigación activa, principalmente teórica, y, aparte de algunos casos especiales, no existe una solución general que permita elegir operadores de medición en forma de fórmula analítica expresable.

Más precisamente, en su formulación estándar, el problema implica realizar algún POVM.${\displaystyle (E_{i})_{i}}$en un estado desconocido dado${\displaystyle \rho }$, bajo la promesa de que el estado recibió es un elemento de una colección de estados${\displaystyle \{\sigma _{i}\}_{i}}$, con${\displaystyle \sigma _{i}}$ocurriendo con probabilidad${\displaystyle p_{i}}$, eso es,${\displaystyle \rho =\sum _{i}p_{i}\sigma _{i}}$La tarea consiste entonces en hallar la probabilidad del POVM.${\displaystyle (E_{i})_{i}}$adivinando correctamente qué estado se recibió. Dado que la probabilidad de que el POVM devuelva el${\displaystyle i}$-ésimo resultado cuando el estado dado era${\displaystyle \sigma _{j}}$tiene la forma${\displaystyle {\text{Prob}}(i|j)=\operatorname {tr} (E_{i}\sigma _{j})}$De ello se deduce que la probabilidad de determinar correctamente el estado es${\displaystyle P_{\rm {éxito}}=\sum _{i}p_{i}\operatorname {tr} (\sigma _{i}E_{i})}$. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

La discriminación de dos estados se puede resolver de forma óptima utilizando la medición de Helstrom . ^{[ 5 ]} Con dos estados ${\displaystyle \{\sigma _{0},\sigma _{1}\}}$vienen dos probabilidades${\displaystyle \{p_{0},p_{1}\}}$y POVM${\displaystyle \{E_{0},E_{1}\}}$. Desde${\displaystyle \sum _{i}E_{i}=I}$para todos los POVM, ${\displaystyle E_{1}=I-E_{0}}$Por lo tanto, la probabilidad de éxito es:

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{\text{éxito}}&=p_{0}\operatorname {tr} (\sigma _{0}E_{0})+p_{1}\operatorname {tr} (\sigma _{1}E_{1})\\&=p_{0}\operatorname {tr} (\sigma _{0}E_{0})+p_{1}\operatorname {tr} (\sigma _{1}I-\sigma _{1}E_{0})\\&=p_{1}+\operatorname {tr} [(p_{0}\sigma _{0}-p_{1}\sigma _{1})E_{0}]\end{aligned}}}$

Para maximizar la probabilidad de éxito, la traza debe maximizarse. Eso se logra cuando${\displaystyle E_{0}}$es un proyector en el espacio propio positivo de${\displaystyle p_{0}\sigma _{0}-p_{1}\sigma _{1}}$, ^{[ 5 ]} y la probabilidad máxima de éxito viene dada por

${\displaystyle P_{\text{éxito}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\|p_{0}\sigma _{0}-p_{1}\sigma _{1}\|_{1},}$

dónde${\displaystyle \|\cdot \|_{1}}$denota la norma de traza .

Si la tarea consiste en discriminar entre más de dos estados cuánticos, no existe una fórmula general para el POVM óptimo y la probabilidad de éxito. No obstante, la probabilidad de éxito óptima, para la tarea de discriminar entre los elementos de un conjunto dado${\displaystyle \{(p_{i},\sigma _{i})\}_{i=1}^{N}}$, siempre se puede escribir como ^{[ 4 ]}$${\displaystyle P_{\rm {éxito}}=\max _{\{E_{i}\}}\sum _{i}p_{i}\operatorname {tr} (E_{i}\sigma _{i}).}$$Esto se obtiene observando que${\displaystyle p_{i}}$es la probabilidad a priori de obtener la${\displaystyle i}$-ésimo estado, y${\displaystyle \operatorname {tr} (E_{i}\sigma _{i})}$es la probabilidad de adivinar (correctamente) que la entrada es${\displaystyle \sigma _{i}}$, condicionado a haber recibido efectivamente el estado${\displaystyle \sigma _{i}}$Sin embargo, se han obtenido soluciones exactas para la discriminación de tres cúbits ^{[ 6 ]} y cuatro cúbits ^{[ 7 ]} .

Si bien esta expresión no puede tener una forma explícita en el caso general, puede resolverse numéricamente mediante programación semidefinida . ^{[ 4 ]} Un enfoque alternativo para discriminar entre un conjunto dado de estados es utilizar la denominada Medida Bastante Buena (PGM), también conocida como medición de raíz cuadrada . Esta es una estrategia de discriminación alternativa que, en general, no es óptima, pero aun así se puede demostrar que funciona bastante bien. ^{[ 8 ]}

• Demostración interactiva sobre la discriminación de estados cuánticos