Transformada inversa de Laplace

En matemáticas , la transformada inversa de Laplace de una función${\displaystyle F}$es una función real${\displaystyle f}$que es continuo por partes , restringido exponencialmente (es decir,${\displaystyle |f(t)|\leq Me^{\alpha t}}$${\displaystyle \forall t\geq 0}$para algunas constantes${\displaystyle M>0}$y​${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$) y tiene la propiedad:

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}(s)=F(s),}$

dónde${\displaystyle {\mathcal {L}}}$denota la transformada de Laplace .

Se puede demostrar que, si una función${\displaystyle F}$tiene la transformada inversa de Laplace${\displaystyle f}$, entonces${\displaystyle f}$está determinado de forma única (considerando como idénticas las funciones que difieren entre sí solo en un conjunto de puntos con medida de Lebesgue cero). Este resultado fue demostrado por primera vez por Mathias Lerch en 1903 y se conoce como el teorema de Lerch. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

La transformada de Laplace y la transformada inversa de Laplace, en conjunto, poseen una serie de propiedades que las hacen útiles para analizar sistemas dinámicos lineales .

Existe una fórmula integral para la transformada inversa de Laplace , llamada fórmula de Bromwich.La fórmula de inversión de ^{[ 3 ]} viene dada por la integral de línea :

${\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}(t)={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{\gamma -iT}^{\gamma +iT}e^{st}F(s)\,ds}$

donde la integración se realiza a lo largo de la línea vertical${\displaystyle {\textrm {Re}}(s)=\gamma }$en el plano complejo tal que${\displaystyle \gamma }$es mayor que la parte real de todas las singularidades de${\displaystyle F}$y${\displaystyle F}$está delimitado en la línea, por ejemplo, si la trayectoria del contorno está en la región de convergencia .

En el caso especial común donde todas las singularidades,${\displaystyle s_{k}}$, satisfacer${\displaystyle \Re (s_{k})<0}$(es decir, se encuentran en el semiplano izquierdo abierto), o${\displaystyle F}$es una función completa , entonces${\displaystyle \gamma }$se puede establecer en cero y la fórmula integral inversa anterior se vuelve idéntica a la transformada inversa de Fourier .

En la práctica, el cálculo de la integral compleja se puede realizar utilizando el teorema de los residuos de Cauchy .

Esta integral está estrechamente relacionada con el teorema de inversión de Mellin para la transformada de Mellin .

La fórmula de inversión de Post para transformadas de Laplace , que lleva el nombre de Emil Post , ^{[ 4 ]} es una fórmula de apariencia simple pero generalmente poco práctica para evaluar una transformada inversa de Laplace.

El enunciado de la fórmula es el siguiente: Sea${\displaystyle f}$sea ​​una función continua en el intervalo${\displaystyle [0,\infty )}$de orden exponencial, es decir

${\displaystyle \sup _{t>0}{\frac {f(t)}{e^{bt}}}<\infty }$

para algún número real${\displaystyle b}$⁠ . Entonces para todos ⁠${\displaystyle s>b}$⁠ , la transformada de Laplace para${\displaystyle f}$existe y es infinitamente diferenciable con respecto a ⁠${\displaystyle s}$⁠ . Además, si${\displaystyle F}$es la transformada de Laplace de${\displaystyle f}$⁠ , entonces la transformada inversa de Laplace de${\displaystyle F}$es dado por

${\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F\}(t)=\lim _{k\to \infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}\left({\frac {k}{t}}\right)^{k+1}F^{(k)}\left({\frac {k}{t}}\right)}$

para​${\displaystyle t>0}$, donde${\displaystyle F^{(k)}}$es el ⁠${\displaystyle k}$⁠ ª derivada de${\displaystyle F}$con respecto a${\displaystyle s}$⁠ .

Como puede verse en la fórmula, la necesidad de evaluar derivadas de órdenes arbitrariamente altos hace que esta fórmula sea poco práctica para la mayoría de los propósitos.

Con la llegada de los ordenadores personales potentes, los principales esfuerzos por utilizar esta fórmula han consistido en abordar las aproximaciones o el análisis asintótico de la transformada inversa de Laplace, utilizando la integral diferencial de Grunwald-Letnikov para evaluar las derivadas.

La inversión de Post ha atraído interés debido a la mejora en la ciencia computacional y al hecho de que no es necesario saber dónde están los polos de${\displaystyle F}$mentira, que permite calcular el comportamiento asintótico para grandes${\displaystyle x}$utilizando transformadas inversas de Mellin para varias funciones aritméticas relacionadas con la hipótesis de Riemann .

• Transformada inversa de Fourier
• fórmula de suma de Poisson

• Tablas de transformadas integrales en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.

Este artículo incorpora material de la fórmula inversa de Mellin en PlanetMath , que está bajo la licencia Creative Commons Attribution/Share-Alike License .