Sistema Postnikov

Los sistemas de Postnikov existen en complejos CW conectados , ^{[ 1 ] : 354} y hay una débil equivalencia de homotopía entre${\displaystyle X}$y su límite inverso , por lo tanto

${\displaystyle X\simeq \varprojlim {}X_ {n}}$,

demostrando que${\displaystyle X}$es una aproximación CW de su límite inverso. Se pueden construir en un complejo CW eliminando iterativamente grupos de homotopía. Si tenemos un mapa${\displaystyle f:S^{n}\to X}$representando una clase de homotopía${\displaystyle [f]\in \pi _{n}(X)}$Podemos realizar el empuje a lo largo del mapa límite.${\displaystyle S^{n}\to e_{n+1}}$, acabando con la clase homotópica. Para${\displaystyle X_{m}}$Este proceso puede repetirse para todos${\displaystyle n>m}$, dando un espacio que tiene grupos de homotopía evanescentes${\displaystyle \pi _{n}(X_{m})}$. Utilizando el hecho de que${\displaystyle X_{n-1}}$se puede construir a partir de${\displaystyle X_{n}}$eliminando todos los mapas de homotopía${\displaystyle S^{n}\to X_{n}}$obtenemos un mapa${\displaystyle X_{n}\to X_{n-1}}$.

Una de las principales propiedades de la torre de Postnikov, que la hace tan poderosa para estudiar mientras se calcula la cohomología, es el hecho de que los espacios${\displaystyle X_{n}}$son homotópicos a un complejo CW${\displaystyle {\mathfrak {X}}_{n}}$que difiere de${\displaystyle X}$solo por células de dimensión${\displaystyle \geq n+2}$.

La secuencia de fibraciones${\displaystyle p_{n}:X_{n}\to X_{n-1}}$^{[ 2 ]} tienen invariantes definidos homotópicamente, es decir, las clases de homotopía de mapas${\displaystyle p_{n}}$, dan un tipo de homotopía bien definido${\displaystyle [X]\in \operatorname {Ob} (hTop)}$. La clase de homotopía de${\displaystyle p_{n}}$proviene de observar la clase de homotopía del mapa clasificador para la fibra${\displaystyle K(\pi _{n}(X),n)}$. El mapa de clasificación asociado es

${\displaystyle X_{n-1}\to B(K(\pi _{n}(X),n))\simeq K(\pi _{n}(X),n+1)}$,

de ahí la clase de homotopía${\displaystyle [p_{n}]}$se clasifica por una clase de homotopía

${\displaystyle [p_{n}]\in [X_{n-1},K(\pi _{n}(X),n+1)]\cong H^{n+1}(X_{n-1},\pi _{n}(X))}$

llamado el n -ésimo invariante de Postnikov de${\displaystyle X}$, puesto que las clases de homotopía de los mapas a los espacios de Eilenberg-Maclane dan cohomología con coeficientes en el grupo abeliano asociado .

Uno de los casos conceptualmente más simples de una torre de Postnikov es el del espacio de Eilenberg-Maclane.${\displaystyle K(G,n)}$Esto da como resultado una torre con

${\displaystyle {\begin{matrix}X_{i}\simeq *&{\text{for }}i<n\\X_{i}\simeq K(G,n)&{\text{for }}i\geq n\end{matrix}}}$

La torre Postnikov para la esfera${\displaystyle S^{2}}$es un caso especial cuyos primeros términos pueden entenderse explícitamente. Dado que tenemos los primeros grupos de homotopía a partir de la simple conexidad de${\displaystyle S^{2}}$, teoría del grado de esferas y la fibración de Hopf , dando${\displaystyle \pi _{k}(S^{2})\simeq \pi _{k}(S^{3})}$para${\displaystyle k\geq 3}$, por eso

${\displaystyle {\begin{matrix}\pi _{1}(S^{2})=&0\\\pi _{2}(S^{2})=&\mathbb {Z} \\\pi _{3}(S^{2})=&\mathbb {Z} \\\pi _{4}(S^{2})=&\mathbb {Z} /2.\end{matrix}}}$

Entonces,${\displaystyle X_{2}=S_{2}^{2}=K(\mathbb {Z} ,2)}$, y${\displaystyle X_{3}}$Proviene de una secuencia de retroceso.

${\displaystyle {\begin{matrix}X_{3}&\to &*\\\downarrow &&\downarrow \\X_{2}&\to &K(\mathbb {Z} ,4),\end{matrix}}}$

que es un elemento en

${\displaystyle [p_{3}]\in [K(\mathbb {Z} ,2),K(\mathbb {Z} ,4)]\cong H^{4}(\mathbb {CP} ^{\infty })=\mathbb {Z} }$.

Si esto fuera trivial implicaría${\displaystyle X_{3}\simeq K(\mathbb {Z} ,2)\times K(\mathbb {Z} ,3)}$Pero, ¡este no es el caso! De hecho, esto es lo que explica por qué los grupoides de infinito estricto no modelan tipos de homotopía. ^{[ 3 ]} Calcular este invariante requiere más trabajo, pero se puede encontrar explícitamente. ^{[ 4 ]} Esta es la forma cuadrática${\displaystyle x\mapsto x^{2}}$en${\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }$proveniente de la fibración de Hopf${\displaystyle S^{3}\to S^{2}}$. Tenga en cuenta que cada elemento en${\displaystyle H^{4}(\mathbb {CP} ^{\infty })}$da un tipo homotópico 3 diferente.

Para un espectro${\displaystyle E}$una torre Postnikov de${\displaystyle E}$es un diagrama en la categoría de homotopía de espectros,${\displaystyle {\text{Ho}}({\textbf {Spectra}})}$, dado por

${\displaystyle \cdots \to E_{(2)}\xrightarrow {p_{2}} E_{(1)}\xrightarrow {p_{1}} E_{(0)}}$,

con mapas

${\displaystyle \tau _{n}:E\to E_{(n)}}$

viajar con el${\displaystyle p_{n}}$mapas. Entonces, esta torre es una torre Postnikov si se cumplen las dos condiciones siguientes:

1. ${\displaystyle \pi _{i}^{\mathbb {S} }\left(E_{(n)}\right)=0}$para${\displaystyle i>n}$,
2. ${\displaystyle \left(\tau _{n}\right)_{*}:\pi _{i}^{\mathbb {S} }(E)\to \pi _{i}^{\mathbb {S} }\left(E_{(n)}\right)}$es un isomorfismo para${\displaystyle i\leq n}$,

dónde${\displaystyle \pi _{i}^{\mathbb {S} }}$son grupos homotópicos estables de un espectro. Resulta que todo espectro tiene una torre de Postnikov y esta torre se puede construir utilizando un procedimiento inductivo similar al descrito anteriormente.

Aviso${\displaystyle X_{1}\to X}$es la portada universal de${\displaystyle X}$ya que es un espacio de cobertura con una cubierta simplemente conectada. Además, cada${\displaystyle X_{n}\to X}$es el universal${\displaystyle n}$-cubierta conectada de${\displaystyle X}$.

Los espacios${\displaystyle X_{n}}$en la torre Whitehead se construyen inductivamente. Si construimos una${\displaystyle K\left(\pi _{n+1}(X),n+1\right)}$eliminando los grupos de homotopía superior en${\displaystyle X_{n}}$, ^{[ 7 ]} obtenemos una incrustación${\displaystyle X_{n}\to K(\pi _{n+1}(X),n+1)}$Si dejamos

${\displaystyle X_{n+1}=\left\{f\colon I\to K\left(\pi _{n+1}(X),n+1\right):f(0)=p{\text{ and }}f(1)\in X_{n}\right\}}$

para algún punto de base fijo${\displaystyle p}$, entonces el mapa inducido${\displaystyle X_{n+1}\to X_{n}}$es un haz de fibras con fibra homeomorfa a

${\displaystyle \Omega K\left(\pi _{n+1}(X),n+1\right)\simeq K\left(\pi _{n+1}(X),n\right)}$,

y así tenemos una fibración de Serre

${\displaystyle K\left(\pi _{n+1}(X),n\right)\to X_{n}\to X_{n-1}}$.

Utilizando la sucesión exacta larga en la teoría de homotopía, tenemos que${\displaystyle \pi _{i}(X_{n})=\pi _{i}\left(X_{n-1}\right)}$para${\displaystyle i\geq n+1}$,${\displaystyle \pi _{i}(X_{n})=\pi _{i}(X_{n-1})=0}$para${\displaystyle i<n-1}$y, finalmente, hay una secuencia exacta

${\displaystyle 0\to \pi _{n+1}\left(X_{n+1})\to \pi _{n+1}(X_{n}\right)\mathrel {\overset {\partial }{\rightarrow }} \pi _{n}K\left(\pi _{n+1}(X),n\right)\to \pi _{n}\left(X_{n+1}\right)\to 0}$,

donde si el morfismo central es un isomorfismo, los otros dos grupos son cero. Esto se puede comprobar observando la inclusión.${\displaystyle X_{n}\to K(\pi _{n+1}(X),n+1)}$y observando que el espacio de Eilenberg-Maclane tiene una descomposición celular.

${\displaystyle X_{n-1}\cup \{{\text{cells of dimension}}\geq n+2\}}$; de este modo,

${\displaystyle \pi _{n+1}\left(X_{n}\right)\cong \pi _{n+1}\left(K\left(\pi _{n+1}(X),n+1\right)\right)\cong \pi _{n}\left(K\left(\pi _{n+1}(X),n\right)\right)}$,

dando el resultado deseado.

Otra forma de ver los componentes de la torre de Whitehead es como una fibra homotópica . Si tomamos

${\displaystyle {\text{Hofiber}}(\phi _{n}:X\to X_{n})}$

Desde la torre Postnikov, obtenemos un espacio${\displaystyle X^{n}}$que tiene

${\displaystyle \pi _{k}(X^{n})={\begin{cases}\pi _{k}(X)&k>n\\0&k\leq n\end{cases}}}$