Cuatrillizo primo

En teoría de números , una cuádrupla prima (a veces llamada cuádrupla prima ) es un conjunto de cuatro números primos de la forma { p , p + 2, p + 6, p + 8}. ^{[ 1 ]} Esto representa la agrupación más cercana posible de cuatro primos mayores que 3, y es la única constelación prima de longitud 4.

Los primeros ocho cuartetos primos son:

{ 5 , 7 , 11 , 13 }, {11, 13, 17 , 19 }, { 101 , 103 , 107 , 109 }, { 191 , 193 , 197 , 199 }, {821, 823, 827, 829}, {1481, 1483, 1487, 1489}, {1871, 1873, 1877, 1879}, {2081, 2083, 2087, 2089} (secuencia A007530 en el OEIS )

Todos los cuádruples primos, excepto {5, 7, 11, 13}, tienen la forma {30 n + 11, 30 n + 13, 30 n + 17, 30 n + 19} para algún entero n . Esta estructura es necesaria para asegurar que ninguno de los cuatro primos sea divisible por 2,  3 o 5. El primer primo de todos estos cuádruples termina en 1 y el último termina en 9 , en base 10. Por lo tanto, un cuádruple primo de esta forma se denomina década prima .

Un cuarteto primo puede describirse como un par consecutivo de primos gemelos , dos conjuntos superpuestos de tríos primos o dos pares mezclados de primos sextuples . Estos primos "cuádruples" también pueden formar el núcleo de quintillos primos y sextillos primos cuando al sumar o restar 8 a sus centros se obtiene un primo.

Todas las décadas primas que comienzan por encima de 5 tienen centros de la forma 210n + 15, 210n + 105 o 210n + 195, ya que los centros deben ser −1, 0 o 1, módulo 7. La forma +15 también puede dar lugar a una quintilla prima (alta); la forma +195 también puede dar lugar a una quintilla (baja); mientras que la forma +105 puede producir ambos tipos de quintillas y posiblemente sextillas primas. No es casualidad que cada primo en una década prima esté desplazado de su centro por una potencia de 2, ya que todos los centros son impares y divisibles tanto por 3 como por 5.

Se desconoce si existen infinitos cuartetos primos. Una prueba de que existen infinitos implicaría la conjetura de los primos gemelos , pero es consistente con el conocimiento actual de que puede haber infinitos pares de primos gemelos y solo un número finito de cuartetos primos. Sin embargo, se conjetura que existen infinitos cuartetos primos. El número de cuartetos primos con n dígitos en base 10 para n = 2, 3, 4, ... es

1, 3, 7, 27, 128, 733, 3869, 23620, 152141, 1028789, 7188960, 51672312, 381226246, 2873279651 (secuencia A120120 en el OEIS ) .

Se conjetura que la fórmula asintótica para el número de cuartetos primos menores que n es${\displaystyle C{\frac {x}{(\ln x)^{4}}}}$, dónde${\displaystyle C\sim 4.151180863}$(secuencia A061642 en el OEIS ) .

A fecha de febrero de 2019 El cuarteto primo más grande conocido tiene 10132 dígitos. ^{[ 2 ]} Comienza con p = 667674063382677 × 2 ³³⁶⁰⁸ − 1 , hallado por Peter Kaiser.

La constante que representa la suma de los recíprocos de todas las cuádruplas primas, la constante de Brun para cuádruplas primas, denotada por B ₄ , es la suma de los recíprocos de todas las cuádruplas primas:

$${\displaystyle B_{4}=\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\right)+\left({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}+{\frac {1}{19}}\right)+\left({\frac {1}{101}}+{\frac {1}{103}}+{\frac {1}{107}}+{\frac {1}{109}}\right)+\cdots }$$

con valor:

B ₄ = 0,87058 83800 ± 0,00000 00005.

Esta constante no debe confundirse con la constante de Brun para primos primos , pares primos de la forma ( p , p + 4) , que también se escribe como B ₄ .

Se alega que el cuarteto primo {11, 13, 17, 19} aparece en el hueso de Ishango, aunque esto es objeto de controversia.

Excluyendo el primer cuarteto primo, la distancia más corta posible entre dos cuartetos { p , p + 2, p + 6, p + 8} y { q , q + 2, q + 6, q + 8} es q − p  =  30. Las primeras ocurrencias de esto son para p = 1006301, 2594951, 3919211, 9600551, 10531061, ... ( OEIS : A059925  ).

El número de Skewes para cuádruples primos { p , p + 2, p + 6, p + 8} es 1172531 ( Tóth (2019) ).

Si { p , p + 2, p + 6, p + 8} es un cuádruple primo y p − 4 o p + 12 también es primo, entonces los cinco primos forman un quintuplete primo , que es la constelación admisible más cercana de cinco primos. Los primeros quintupletes primos con p + 12 son:

{5, 7, 11, 13, 17}, {11, 13, 17, 19, 23}, {101, 103, 107, 109, 113}, {1481, 1483, 1487, 1489, 1493}, {16061, 16063, 16067, 16069, 16073}, {19421, 19423, 19427, 19429, 19433}, {21011, 21013, 21017, 21019, 21023}, {22271, 22273, 22277, 22279, 22283}, {43781, 43783, 43787, 43789, 43793}, {55331, 55333, 55337, 55339, 55343} … OEIS : A022006  .

Los primeros quintillos primos con p − 4 son:

{7, 11, 13, 17, 19}, {97, 101, 103, 107, 109}, {1867, 1871, 1873, 1877, 1879}, {3457, 3461, 3463, 3467, 3469}, {5647, 5651, 5653, 5657, 5659}, {15727, 15731, 15733, 15737, 15739}, {16057, 16061, 16063, 16067, 16069}, {19417, 19421, 19423, 19427, 19429}, {43777, 43781, 43783, 43787, 43789}, {79687, 79691, 79693, 79697, 79699}, {88807, 88811, 88813, 88817, 88819} ... OEIS : A022007  .

Un quintuplete primo contiene dos pares cercanos de primos gemelos, un cuádruple primo y tres tripletes primos superpuestos. El primer primo de un quintuplete que comienza por encima de 5 terminará con el dígito 1 o 7 en base 10 y el último primo terminará con el dígito 3 o 9 .

Se desconoce si existen infinitos quintillos primos. Una vez más, demostrar la conjetura de los primos gemelos no necesariamente prueba que también existan infinitos quintillos primos. Asimismo, demostrar que existen infinitos cuádruples primos no necesariamente prueba que existan infinitos quintillos primos.

El número de Skewes para quintillos primos { p , p + 2, p + 6, p + 8, p + 12} es 21432401 ( Tóth (2019) ).

Si tanto p − 4 como p + 12 son primos, entonces se convierte en un sextillo primo . Los primeros:

{7, 11, 13, 17, 19, 23}, {97, 101, 103, 107, 109, 113}, {16057, 16061, 16063, 16067, 16069, 16073}, {19417, 19421, 19423, 19427, 19429, 19433}, {43777, 43781, 43783, 43787, 43789, 43793} OEIS : A022008 

Algunas fuentes también denominan a {5, 7, 11, 13, 17, 19} un sextillo primo. Nuestra definición, que abarca todos los casos de primos { p − 4, p , p + 2, p + 6, p + 8, p + 12}, se deriva de definir un sextillo primo como la constelación admisible más cercana de seis primos.

Un sextillo primo contiene dos pares cercanos de primos gemelos, un cuádruple primo, cuatro tripletes primos superpuestos y dos quintillos primos superpuestos. El primer primo de un sextillo terminará con el dígito 7 en base 10 y el último primo terminará con el dígito 3 .

Todos los sextillizos primos excepto {7, 11, 13, 17, 19, 23} son de la forma$${\displaystyle \{210n+97,\ 210n+101,\ 210n+103,\ 210n+107,\ 210n+109,\ 210n+113\}}$$para algún entero n . (Esta estructura es necesaria para asegurar que ninguno de los seis primos sea divisible por 2, 3, 5 o 7 ).

Se desconoce si existen infinitos sextillos primos. Una vez más, demostrar la conjetura de los primos gemelos no necesariamente prueba que también existan infinitos sextillos primos. Asimismo, demostrar que existen infinitos quintillos primos no necesariamente prueba que existan infinitos sextillos primos.

Un sexteto primo es la k -tupla más grande con un espaciado no mayor a 4 entre los números primos.

El número de Skewes para la tupla { p , p + 4, p + 6, p + 10, p + 12, p + 16} es 251331775687 ( Tóth (2019) ).

Los cuartetos, quintillos y sextillos primos son ejemplos de constelaciones primas, y las constelaciones primas son a su vez ejemplos de k -tuplas primas. Una constelación prima es una agrupación de k primos, con primo mínimo p y primo máximo p + n , que cumple las dos condiciones siguientes:

• No todos los residuos módulo q están representados para ningún q primo.
• Para cualquier k dado , el valor de n es el mínimo posible

En términos más generales, una k -tupla prima se produce si se cumple la primera condición, pero no necesariamente la segunda.