Modelo quiral

En física nuclear , el modelo quiral , introducido por Feza Gürsey en 1960, es un modelo fenomenológico que describe las interacciones efectivas de los mesones en el límite quiral (donde las masas de los quarks tienden a cero), pero sin mencionar necesariamente los quarks. Es un modelo sigma no lineal con el espacio homogéneo principal de un grupo de Lie. $G$ como su variedad objetivo . Cuando se introdujo originalmente el modelo, este grupo de Lie era SU( N ) , donde N es el número de sabores de quarks . La métrica riemanniana de la variedad objetivo viene dada por una constante positiva multiplicada por la forma de Killing que actúa sobre la forma de Maurer-Cartan de SU( N ).

La simetría global interna de este modelo es $G_{L}\times G_{R}$ , las copias izquierda y derecha, respectivamente; donde la copia izquierda actúa como la acción izquierda sobre el espacio objetivo, y la copia derecha actúa como la acción derecha . Fenomenológicamente, la copia izquierda representa rotaciones de sabor entre los quarks levógiros, mientras que la copia derecha describe rotaciones entre los quarks dextrógiros, mientras que estos, L y R, son completamente independientes entre sí. Las piezas axiales de estas simetrías se rompen espontáneamente de modo que los campos escalares correspondientes son los bosones de Nambu-Goldstone requeridos .

El modelo fue estudiado posteriormente en el caso bidimensional como un sistema integrable , en particular como una teoría de campos integrable. Su integrabilidad fue demostrada por Faddeev y Reshetikhin en 1982 mediante el método de dispersión inversa cuántica . El modelo quiral principal bidimensional presenta características de integrabilidad, como una formulación de par de Lax /curvatura cero, un número infinito de simetrías y una simetría de grupo cuántico subyacente (en este caso, la simetría Yangian ).

Este modelo admite solitones topológicos llamados skyrmiones .

Las desviaciones de la simetría quiral exacta se abordan en la teoría de perturbación quiral .

Formulación matemática

En una variedad (considerada como el espaciotiempo ) $M$ y una elección de grupo de Lie compacto $G$ , el contenido del campo es una función $U:M\rightarrow G$ Esto define un campo relacionado. $j_{\mu }=U^{-1}\partial _{\mu }U$ , a ${\mathfrak {g}}$ campo vectorial con valores en (en realidad, campo covectorial) que es la forma de Maurer-Cartan . El modelo quiral principal se define por la densidad lagrangiana ${\mathcal {L}}={\frac {\kappa }{2}}\mathrm {tr} (\partial _ {\mu }U^{-1}\partial ^{\mu }U)=-{\frac {\kappa }{2}}\mathrm {tr} (j_{\mu }j^{\mu }),$ dónde $\kappa$ es un acoplamiento adimensional. En lenguaje de geometría diferencial , el campo $U$ es una sección de un paquete principal $\pi :P\rightarrow M$ con fibras isomorfas al espacio homogéneo principal para $M$ (de ahí que esto defina el modelo quiral principal ).

Fenomenología

Esquema del modelo original de dos sabores.

El modelo quiral de Gürsey (1960; véase también Gell-Mann y Lévy) ahora se reconoce como una teoría efectiva de QCD con dos quarks ligeros, u y d . El lagrangiano de QCD es aproximadamente invariante bajo rotaciones de sabor globales independientes de los campos de quarks levógiros y dextrógiros,

{\begin{cases}q_{\mathsf {L}}\mapsto q_{\mathsf {L}}'=L\ q_{\mathsf {L}}=\exp {\left(-i{\boldsymbol {\theta }}_{\mathsf {L}}\cdot {\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\tau }}\right)}q_{\mathsf {L}}\\q_{\mathsf {R}}\mapsto q_{\mathsf {R}}'=R\ q_{\mathsf {R}}=\exp {\left(-i{\boldsymbol {\theta }}_{\mathsf {R}}\cdot {\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\tau }}\right)}q_{\mathsf {R}}\end{cases}}

donde $τ$ denota las matrices de Pauli en el espacio de sabores y $θ$ _L , $θ$ _R son los ángulos de rotación correspondientes.

El grupo de simetría correspondiente $\ {\text{SU}}(2)_{\mathsf {L}}\times {\text{SU}}(2)_{\mathsf {R}}\$ es el grupo quiral, controlado por las seis corrientes conservadas

L_{\mu }^{i}={\bar {q}}_{\mathsf {L}}\gamma _{\mu }{\tfrac {\tau ^{i}}{2}}q_{\mathsf {L}},\qquad R_{\mu }^{i}={\bar {q}}_{\mathsf {R}}\gamma _{\mu }{\tfrac {\tau ^{i}}{2}}q_{\mathsf {R}}\ ,

que pueden expresarse igualmente bien en términos de las corrientes vectoriales y axiales vectoriales

V_{\mu }^{i}=L_{\mu }^{i}+R_{\mu }^{i},\qquad A_{\mu }^{i}=R_{\mu }^{i}-L_{\mu }^{i}~.

Las cargas conservadas correspondientes generan el álgebra del grupo quiral,

\left[Q_{I}^{i},Q_{I}^{j}\right]=i\epsilon ^{ijk}Q_{I}^{k}\qquad \qquad \left[Q_{\mathsf {L}}^{i},Q_{\mathsf {R}}^{j}\right]=0,

con $I =$ L, R , o, equivalentemente,

\left[Q_{V}^{i},Q_{V}^{j}\right]=i\epsilon ^{ijk}Q_{V}^{k},\qquad \left[Q_{A}^{i},Q_{A}^{j}\right]=i\epsilon ^{ijk}Q_{V}^{k},\qquad \left[Q_{V}^{i},Q_{A}^{j}\right]=i\epsilon ^{ijk}Q_{A}^{k}.

La aplicación de estas relaciones de conmutación a las reacciones hadrónicas dominó los cálculos algebraicos de la época a principios de la década de 1970.

A nivel de hadrones, mesones pseudoescalares, el ámbito del modelo quiral, el quiral $\ {\text{SU}}(2)_{\mathsf {L}}\times {\text{SU}}(2)_{\mathsf {R}}\$ El grupo se descompone espontáneamente en ${\text{SU}}(2)_{V}\ ,$ por el vacío de QCD . Es decir, se realiza de forma no lineal , en el modo Nambu-Goldstone : ¡Los $Q V$ aniquilan el vacío, pero los Q _A no! Esto se visualiza bien a través de un argumento geométrico basado en el hecho de que el álgebra de Lie de ${\text{SU}}(2)_{\mathsf {L}}\times {\text{SU}}(2)_{\mathsf {R}}\$ es isomorfo al de SO(4). El subgrupo no roto, realizado en el modo lineal de Wigner-Weyl, es $\ {\text{SO}}(3)\subset {\text{SO}}(4)\$ que es localmente isomorfo a SU(2) (V: isospín).

Para construir una realización no lineal de SO(4), la representación que describe rotaciones cuadridimensionales de un vector

{\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\pi }}\\\sigma \end{pmatrix}}\equiv {\begin{pmatrix}\pi _{1}\\\pi _{2}\\\pi _{3}\\\sigma \end{pmatrix}},

para una rotación infinitesimal parametrizada por seis ángulos

\left\{\theta _{i}^{V,A}\right\},\qquad i=1,2,3,

es dado por

{\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\pi }}\\\sigma \end{pmatrix}}{\stackrel {SO(4)}{\longrightarrow }}{\begin{pmatrix}{{\boldsymbol {\pi }}'}\\\sigma '\end{pmatrix}}=\left[\mathbf {1} _{4}+\sum _{i=1}^{3}\theta _{i}^{V}\ V_{i}+\sum _{i=1}^{3}\theta _{i}^{A}\ A_{i}\right]{\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\pi }}\\\sigma \end{pmatrix}}

dónde

\sum _{i=1}^{3}\theta _{i}^{V}\ V_{i}={\begin{pmatrix}0&-\theta _{3}^{V}&\theta _{2}^{V}&0\\\theta _{3}^{V}&0&-\theta _{1}^{V}&0\\-\theta _{2}^{V}&\theta _{1}^{V}&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}\qquad \qquad \sum _{i=1}^{3}\theta _{i}^{A}\ A_{i}={\begin{pmatrix}0&0&0&\theta _{1}^{A}\\0&0&0&\theta _{2}^{A}\\0&0&0&\theta _{3}^{A}\\-\theta _{1}^{A}&-\theta _{2}^{A}&-\theta _{3}^{A}&0\end{pmatrix}}.

Las cuatro cantidades reales $(π, σ)$ definen el multiplete quiral no trivial más pequeño y representan el contenido del campo del modelo sigma lineal.

Para pasar de la realización lineal anterior de SO(4) a la no lineal, observamos que, de hecho, solo tres de las cuatro componentes de $(π, σ)$ son independientes con respecto a rotaciones de cuatro dimensiones. Estas tres componentes independientes corresponden a coordenadas en una hiperesfera S3 ^, donde $π$ y $σ$ están sujetas a la restricción

{\boldsymbol {\pi }}^{2}+\sigma ^{2}=F^{2}\ ,

donde $F$ es una constante de desintegración de pión con dimensión = masa .

Utilizando esto para eliminar $σ$ se obtienen las siguientes propiedades de transformación de $π$ bajo SO(4),

{\begin{cases}\theta ^{V}:{\boldsymbol {\pi }}\mapsto {\boldsymbol {\pi }}'={\boldsymbol {\pi }}+{\boldsymbol {\theta }}^{V}\times {\boldsymbol {\pi }}\\\theta ^{A}:{\boldsymbol {\pi }}\mapsto {\boldsymbol {\pi }}'={\boldsymbol {\pi }}+{\boldsymbol {\theta }}^{A}{\sqrt {F^{2}-{\boldsymbol {\pi }}^{2}}}\end{cases}}\qquad {\boldsymbol {\theta }}^{V,A}\equiv \left\{\theta _{i}^{V,A}\right\},\qquad i=1,2,3.

Los términos no lineales (desplazamiento de $π$ ) en el lado derecho de la segunda ecuación subyacen a la realización no lineal de SO(4). El grupo quiral $\ {\text{SU}}(2)_{\mathsf {L}}\times {\text{SU}}(2)_{\mathsf {R}}\simeq {\text{SO}}(4)\$ se realiza de forma no lineal en el triplete de piones, que, sin embargo, siguen transformándose linealmente bajo isospín. $\ {\text{SU}}(2)_{V}\simeq {\text{SO}}(3)\$ rotaciones parametrizadas a través de los ángulos $\ \left\{{\boldsymbol {\theta }}_{V}\right\}~.$ Por el contrario, el $\ \left\{{\boldsymbol {\theta }}_{A}\right\}\$ representan los "desplazamientos" no lineales (ruptura espontánea).

Mediante el mapa espinorial , estas rotaciones de cuatro dimensiones de $(π, σ)$ también se pueden escribir convenientemente utilizando la notación matricial de 2×2 introduciendo la matriz unitaria.

U={\frac {1}{F}}\left(\sigma \mathbf {1} _{2}+i{\boldsymbol {\pi }}\cdot {\boldsymbol {\tau }}\right)\ ,

y exigiendo que las propiedades de transformación de $U$ bajo rotaciones quirales sean

U\longrightarrow U'=LUR^{\dagger }\ ,

dónde $~\theta _{\mathsf {L}}=\theta _{V}-\theta _{A}\ ,\quad \theta _{\mathsf {R}}=\theta _{V}+\theta _{A}~.$

A continuación se produce la transición a la realización no lineal,

U={\frac {1}{F}}\left({\sqrt {F^{2}-{\boldsymbol {\pi }}^{2}\ }}\ \mathbf {1} _{2}+i{\boldsymbol {\pi }}\cdot {\boldsymbol {\tau }}\right)\ ,\qquad {\mathcal {L}}_{\pi }^{(2)}={\tfrac {1}{4}}F^{2}\ \langle \ \partial _{\mu }U\ \partial ^{\mu }U^{\dagger }\ \rangle _{\mathsf {tr}}\ ,

dónde $\ \langle \ldots \rangle _{\mathsf {tr}}\$ denota la traza en el espacio de sabores. Este es un modelo sigma no lineal .

Términos que involucran $\textstyle \ \partial _{\mu }\partial ^{\mu }\ U\$ o $\textstyle \ \partial _{\mu }\partial ^{\mu }\ U^{\dagger }\$ no son independientes y pueden ser llevados a esta forma a través de la integración parcial. La constante ⁠ 1 / 4 ⁠ $F$ ² se elige de tal manera que el lagrangiano coincida con el término libre usual para campos escalares sin masa cuando se escribe en términos de los piones,

\ {\mathcal {L}}_{\pi }^{(2)}={\frac {1}{2}}\partial _{\mu }{\boldsymbol {\pi }}\cdot \partial ^{\mu }{\boldsymbol {\pi }}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial _{\mu }{\boldsymbol {\pi }}\cdot {\boldsymbol {\pi }}}{F}}\right)^{2}+{\mathcal {O}}(\pi ^{6})~.

Parametrización alternativa

Una parametrización alternativa y equivalente (Gürsey, 1960)

{\boldsymbol {\pi }}\mapsto {\boldsymbol {\pi }}~{\frac {\sin(|\pi /F|)}{|\pi /F|}},

produce una expresión más simple para U ,

U=\mathbf {1} \cos |\pi /F|+i{\widehat {\pi }}\cdot {\boldsymbol {\tau }}\sin |\pi /F|=e^{i~{\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {\pi }}/F}.

Nótese la transformada $π$ reparametrizada bajo

LUR^{\dagger }=\exp(i{\boldsymbol {\theta }}_{A}\cdot {\boldsymbol {\tau }}/2-i{\boldsymbol {\theta }}_{V}\cdot {\boldsymbol {\tau }}/2)\exp(i{\boldsymbol {\pi }}\cdot {\boldsymbol {\tau }}/F)\exp(i{\boldsymbol {\theta }}_{A}\cdot {\boldsymbol {\tau }}/2+i{\boldsymbol {\theta }}_{V}\cdot {\boldsymbol {\tau }}/2)

Así pues, manifiestamente idéntico a lo anterior bajo isorrotaciones, $V$ ; y de manera similar a lo anterior, como

{\boldsymbol {\pi }}\longrightarrow {\boldsymbol {\pi }}+{\boldsymbol {\theta }}_{A}F+\cdots ={\boldsymbol {\pi }}+{\boldsymbol {\theta }}_{A}F(|\pi /F|\cot |\pi /F|)

bajo las simetrías rotas, $A$ , los desplazamientos. Esta expresión más simple se generaliza fácilmente (Cronin, 1967) a $N$ quarks ligeros, por lo que $\textstyle {\text{SU}}(N)_{L}\times {\text{SU}}(N)_{R}/{\text{SU}}(N)_{V}.$

Integrabilidad

modelo quiral integrable

Introducido por Richard S. Ward , ^{[ 3 ]} el modelo quiral integrable o modelo de Ward se describe en términos de un campo con valores matriciales. $J:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow U(n)$ y viene dada por la ecuación diferencial parcial $\partial _{t}(J^{-1}J_{t})-\partial _{x}(J^{-1}J_{x})-\partial _{y}(J^{-1}J_{y})-[J^{-1}J_{t},J^{-1}J_{y}]=0.$ Presenta una formulación lagrangiana con el término cinético esperado , junto con un término que se asemeja a un término de Wess-Zumino-Witten . También posee una formulación formalmente idéntica a las ecuaciones de Bogomolny, pero con signatura de Lorentz . La relación entre estas formulaciones se puede encontrar en Dunajski ( 2010 ) .

Se conocen muchas soluciones exactas. ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}

Modelo quiral principal bidimensional

Aquí la variedad subyacente $M$ se considera una superficie de Riemann , en particular el cilindro $\mathbb {C} ^{*}$ o avión $\mathbb {C}$ , convencionalmente dadas coordenadas reales $\tau ,\sigma$ donde en el cilindro $\sigma \sim \sigma +2\pi$ es una coordenada periódica. Para su aplicación a la teoría de cuerdas , este cilindro es la hoja de mundo barrida por la cuerda cerrada. ^{[ 7 ]}

Simetrías globales

Las simetrías globales actúan como simetrías internas en el campo con valores de grupo. $g(x)$ como $\rho _{L}(g')g(x)=g'g(x)$ y $\rho _{R}(g)g(x)=g(x)g'$ . Las corrientes conservadas correspondientes del teorema de Noether son $L_{\alpha }=g^{-1}\partial _{\alpha }g,\qquad R_{\alpha }=\partial _{\alpha }gg^{-1}.$ Las ecuaciones de movimiento resultan ser equivalentes a la conservación de estas corrientes, $\partial _{\alpha }L^{\alpha }=\partial _{\alpha }R^{\alpha }=0,~{\text{ or, in coordinate-free form, }}~d*L=d*R=0.$ Las corrientes satisfacen además la condición de planitud, $dL+{\frac {1}{2}}[L,L]=0~~~{\text{ or, in coordinates, }}~~~\partial _{\alpha }L_{\beta }-\partial _{\beta }L_{\alpha }+[L_{\alpha },L_{\beta }]=0,$ y por lo tanto, las ecuaciones de movimiento pueden formularse completamente en términos de las corrientes.

Tras la cuantización, la combinación axial de estas corrientes desarrolla anomalías quirales, resumidas en el término topológico WZWN mencionado anteriormente .

Formulación Lax

Consideremos la hoja de mundo en coordenadas de cono de luz. $x^{\pm }=t\pm x$ Los componentes de la matriz de Lax apropiada son: $L_{\pm }(x^{+},x^{-};\lambda )={\frac {j_{\pm }}{1\mp \lambda }}.$ El requisito de que la condición de curvatura cero en $L_{\pm }$ a pesar de $\lambda$ es equivalente a la conservación de la corriente y la planitud de la corriente. $j=(j_{+},j_{-})$ , es decir, las ecuaciones de movimiento del modelo quiral principal (PCM).

Véase también

Referencias

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